多屬性決策分析

1、第七章 多屬性決策分析 決策指標的標準化 決策指標權重的確定 加權和法 加權積法 Topsis法 Electre 法（不講） Promethee法（不講）第一節(jié) 多屬性決策的準備工作多屬性決策的準備工作包括：決策問題的描述、相關信息的采集（即形成決策矩陣）、決策數據的預處理和方案的初選（或稱為篩選）。一、決策矩陣 經過對決策問題的描述（包括設立多屬性指標體系）、各指標的數據采集，形成可以規(guī)范化分析的多屬性決策矩陣。(困難，列方程和解方程的關系，理論和實踐之間的關系) 設有n個決策指標fi（1jn），m個備選方案ai 1im），m個方案n個指標構成的矩陣X=(xij)mn稱為決策矩陣。決策矩陣是

2、規(guī)范性分析的基礎。 決策指標分兩類：效益型（正向）指標，數值越大越優(yōu)；成本型指標（逆向指標），數值越小越優(yōu)。指標Xj替 代 方 案Ai期望利潤(萬元)產 品 成品率（%）市 場 占有率（%）（萬元）投資費用產 品 外觀自 行 設 計（A1）6509530110美 觀國 外 引 進（A2）7309735180比 較 美觀改 建（A3）520922550美 觀為了直觀，也可以輔助于決策表二、決策指標的標準化指標體系中各指標均有不同的量綱，有定量和定性，指標之間無法進行比較。將不同量綱的指標，通過適當的變化，化為無量綱的標準化指標，稱為決策指標的標準化，又叫數據預處理。有三個作用：1）變?yōu)檎蛑笜?

3、）非量綱化，消除量綱影響，僅用數值表示優(yōu)劣3）歸一化，把數值均轉變?yōu)?,1區(qū)間上，消除指標值標度差別過大的影響。下面介紹幾個常用的預處理方法。在決策中可以根據情況選擇一種或幾種對指標值進行處理。指標的標準化可以部分解決目標屬性的不可公度性。1、向量歸一化）的歐式距離的場合。（如理想點和負理想點與某種虛擬方案向，常用于計算各方案本方法不改變屬性的方。，即列向量的模為并且每列的平方和等于陣。顯然稱為向量歸一標準化矩則矩陣中，令設決策矩陣11, 10)()1 ,1 (,)(12ijnmijmiijijijnmijyyYnjmixxyxX2、線性比例變化法。一定為為最優(yōu)值，但最劣值不正向指標，化為，并

4、且正、逆向指標均經過變換之后，均有陣。稱為線性比例標準化矩矩陣則，取對于逆向指標則，取中，對于正向指標設決策矩陣0110)()1 ,1 (,min)1 ,1 (, 0max)(*1*1*ijnmijijjijijmijjjijijijmijjnmijyyYnjmixxyxxfnjmixxyxxfxX3、極差變換法變換。稱標準這是一個線性變換，又為最劣值。為最優(yōu)值，正向指標，化為，并且正、逆向指標均經過變換之后，均有陣。稱為極差變換標準化矩矩陣則，取對于逆向指標則，取中，對于正向指標設決策矩陣100110)()1 ,1 (,max,min)1 ,1 (,min,max)(*11*11*ijnmi

5、jjojijojijijmiojijmijjojjojijijijmiojijmijjnmijyyYnjmixxxxyxxxxfnjmixxxxyxxxxfxX4、標準樣本變換法。，方差為矩陣每列的均值為經過變化之后，標準化。稱為標準樣本變換矩陣矩陣樣本均方差其中，樣本均值中，令設決策矩陣10)()(11,1)1 ,1 (,)(121nmijmijijjmiijjjjijijnmijyYxxmsxmxnjmisxxyxX5、定性指標的量化處理如一些可靠性、滿意度等指標往往具有模糊性，可以將指標依問題性質劃分為若干級別，賦以適當的分值。一般可以分為5級、7級、9級等。見例71 P208三、決策指

6、標權的確定多屬性決策問題的特點，也是求解的難點在于目標間的矛盾性和各目標的屬性的不可公度。不可公度性通過決策矩陣的標準化處理得到部分解決；解決目標間的矛盾性靠的是引入權(weight)這一概念。權，又叫權重，是目標重要性的度量。權的概念包含并反映下列幾重因素：決策人對目標的重視程度；各目標屬性的差異程度；各目標屬性的可靠程度確定權重是非常困難的，因為主觀的因素，權重很難準確。確定權的方法有兩大類：主觀賦權法：根據主觀經驗和判斷，用某種方法測定屬性指標的權重；客觀賦權法：根據決策矩陣提供的評價指標的客觀信息，用某種方法測定屬性指標的權重。兩類方法各有利弊，實際應用時可以結合使用。下面介紹幾種常用

7、的確定權的方法1、相對比較法相對比較法是一種主觀賦權法。將所有指標分別按行和列，構成一個正方形的表，根據三級比例標度，指標兩兩比較進行評分，并記入表中相應位置，再將評分按行求和，最后進行歸一化處理，得到各指標的權重。), 2 , 1(, 1, 5 . 0,)(, 0, 5 . 0, 1,11121niaafaaaaAffffffaafffnninjijnjijiijiijiinmijjijijiijijn的權重系數：指標顯然評分值構成矩陣不重要時；比當同樣重要時；比當重要時；比當：三級比例標度的含義是設為對比較評分，其分值按三級比例標度兩兩相個決策指標設有例72 P210使用本方法時要注意：1

8、、指標之間要有可比性；2、應滿足比較的傳遞性（一致性）。2、連環(huán)比較法（古林法）連環(huán)比較法也是一種主觀賦權法。以任意順序排列指標，按順序從前到后，相鄰兩指標比較其相對重要性，依次賦以比率值，并賦以最后一個指標的得分值為1；從后往前，按比率依次求出各指標的修正評分值；最后進行歸一化處理，得到各指標的權重。), 2 , 1(,)4() 1, 2 , 1(, 1) 3(; 1) 1, 2 , 1(, 1)(),21 (2)(),31 ( 3) 1, 2 , 1()2(,) 1 (,111112121nikknikrkrkfrniffffffrnirfffnfffnniiiiiiiinnniiiiii

9、iinn標的權重，即歸一化處理，求出各指值：計算各指標的修正評分根據修正值賦以計算各指標的修正值。同樣重要。和當；或相反較重要比當；或相反重要比當的比率值，比率值鄰兩指標相對重要程度從前到后，依次賦以相；，不妨設為個指標以任意順序排列將個決策指標設有例73 P211本方法容易滿足傳遞性，但也容易產生誤差的傳遞。3、特征向量法應用前兩種方法時，如果目標屬性比較多，一旦主觀賦值一致性不好時也無法進行評估。為了能夠對一致性可以進行評價，Saaty引入了一種使用正數的成對比較矩陣的特征向量原理測量權的方法，叫做特征向量法。這種方法在層次分析法(AHP)采用，也可以用在其他多屬性決策。下面我們講解一下原

10、理。nnnnnnnaaaaaaaaaAAnfffn21222211121121)( :,是判斷矩陣注意，不是決策矩陣，得矩陣兩比較，個指標的重要性進行兩決策者對個決策指標設有3.1 權重的求解思路假設各屬性真實的權重是nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAA212221212111212222111211:有下面的關系是完全準確的話，一定如果矩陣1),(121niiTnWjkikijjiijaaaaankji,1, 2 , 1,都有性質：并且對于任意是正的，反矩陣，即所有元素都這就是所謂一致性正互的特征向量。對應正是最大特征值的最大特征值，而是矩陣這里有下面的關系是完全準確的話，一定如果

11、矩陣得乘以nWAnnWnAWAWAnnnnnnnnTn212121222121211121:),(因此權重向量 的求解方法：W用冪法原理求矩陣A的最大特征值及其對應的特征向量。算術平均法。對于一個一致的判斷矩陣，它每一列歸一化后，就是相應的權重向量；當判斷矩陣不太一致時，每一列歸一化后就是近似的權重向量，可以按行相加后再歸一化（相當算術平均值）。1）將判斷矩陣按列歸一化（即使列和為1）：2）按行求和得一向量：3）再向量歸一化：所得 即為A的特征向量的近似值，也就是權重。ijijijaabjijibWniWiiii,2 , 10),2 , 1(0niWiniiiiinjjijinjjijiTnj

12、jnjnjjjnjjjAWnAAWiAWaAWniaaaaAWWAW1maxmaxmax11max11211max)(1)(,)(), 2 , 1(,),(,可以取算術平均值，即可能值并不完全相同，得到的不一定是完全一致的，由于，個分量，于是的第表示向量記故有而4）求A的最大特征值max幾何平均法。對于一個一致的判斷矩陣，按行求幾何平均值得到的向量是和權重向量成固定比例的，歸一化后就是近似的權重向量。1）將矩陣A按行求幾何平均值：2）對向量 歸一化，令所得 即為A的特征向量的近似值，也就是權重。3）按 求最大特征值。nnjijia1Tn),(211),(21nWniiiii,2 , 1 nii

13、iAWn1max)(1為正矩陣。，則稱如果：設矩陣定義AnjiaaAijnnij), 2 , 1,( , 0,)(13.2 一致性檢驗為互反正矩陣。則稱如果：對于正矩陣定義AnjiaanjiaaAjiijiinnij)., 2 , 1,( ,1)2();, 2 , 1,( , 1) 1 (,)(2為一致性矩陣。則稱如果：對于正矩陣定義AnkjiaaaaAjkikijnnij)., 2 , 1,( ,)(3的一致性。判斷矩陣因此可以用最大特征值；并且其他特征值為征值而一致性矩陣的最大特，值互反正矩陣的最大特征Annn)(0,maxmaxmax則修改判斷矩陣。時，接受判斷矩陣，否當的比值，記作與同

14、階的是一致性指標一致性比率的平均一致性。因此，表示隨機矩陣一致性指標為了可比性，引入隨機越大一致性越差。令一致性指標1 . 0.)(),(.1.)(maxRCIRICRCIRICratioyconsistencindexrandomIRICnnICindexyconsistenc3.3 判斷矩陣的構造 19標度法則標度方法。教授建議用的發(fā)明者個屬性的重要程度。個屬性相對第代表第一個判斷矩陣：個屬性，兩兩比較形成設決策問題有91)(SaatyAHPjiaaAnijnnij得到判斷矩陣后的第一步是要進行一致性檢驗，只有通過檢驗，計算的權向量才有價值。詳細內容參考教材p166p180案例4、最小加權

15、法 又稱最小二乘法，是Chu等人提出的，它涉及線性代數方程組解集，而且從概念上比Saaty的特征向量法更容易理解。是拉格朗日乘數。其中，維的無約束極值。求極值，變成這樣就可以對，拉格朗日函數為：為了求多元極值下列優(yōu)化問題得到：解的特征，權重可以通過中元素具有的矩陣考慮到1) 1(2)(, 0, 1. .)(minSaaty11121112nLaLzNitsazaAninjniiijijiniininjijijjiij的值。和方程組可以求出給定參數元非齊次線性方程組：得令的一階偏導數為零，和對分別令，一階偏導數為的極值，令求iijniinjljljilniililllninjniiijijaNl

16、aaanLNlLLaL,01, 0)()(1, 0)(0) 1(2)(1111112注意：本方法同樣要求判斷矩陣的一致性。5、信息熵法 信息熵法是一個客觀的賦權法，根據決策矩陣所具有的信息量來賦權。 如果某一個屬性（準則）的值對所有的方案都差不多，那么這個屬性對于決策來講作用就不大，即便是這個屬性很重要。如何測定這種效應呢？ 在信息學中，熵是不確定性的一個指標，用概率分布來表示，它認為一個廣泛的分布比具有明顯峰值的分布表示更不確定。Shannon給出的表達方法如下：njjnjjjnPPPkPPPE11211log),(其中其中k是正的常數。當所有的Pi都相等時，即Pi=1/n，熵值最大。指標值

17、的差異越小，對方案的評價作用越低，權重應該減小。nmijijxXnjmixnm)(), 2 , 1;, 2 , 1(決策矩陣個屬性，屬性值為個方案，設決策問題有按列可以計算熵。所以對于每個屬性，每列由于理，得并按列進行歸一化處化矩陣標準化處理，得到標準作或極差變換法用線性比例變換法對決策矩陣, 1, 10), 2 , 1;, 2 , 1(,)()()() 1 (11miijijmiijijijnmijnmijppnjmiyypyYxX), 2 , 1(,log)2(1njppkejmiijmijj個屬性的熵按列計算第，權重相對就要大。較大，對決策作用就大差別越大說明指標值之間的差異系數和熵相反

18、，值個屬性的差異系數計算第), 2 , 1(,1)3(njeggjjjj。實際權重進行決策分析為觀的權，本權重可以作如果決策者事先沒有主個屬性的權重為確定權重。第), 2 , 1(,)4(1njggjnjjjj。得到的新權應該更有效進行修正：可以根據得到的客觀權觀的權如果決策者已經有了主), 2 , 1(,)5(10njnjjjjjjj6543214321550 . 5200018002 . 2775 . 4210020008 . 1535 . 6180027005 . 2955 . 5200015000 . 2)(XXXXXXAAAAD如下：假設都是正向指標例：設某決策矩陣654321432

19、1411923. 025. 02326. 02530. 02250. 02588. 02692. 035. 02093. 02658. 02500. 02118. 01923. 015. 03023. 02278. 03375. 02941. 03462. 025. 02558. 02530. 01875. 02353. 0,XXXXXXAAAAPxxpiijijij進行變換得：使用X1X2X3X4X5X6EjDjj0.94460.00540.06490.98290.01710.20550.99890.00110.01330.99310.00690.08290.97030.02970.3570

20、0.97700.02300.2764分別計算每個屬性的熵、差異系數和標準化權重：可見，X5的權重最大，X3的權重最小。觀察其變化。修正以后得：通過的主觀權重如果決策者已經有預先)4199. 0 ,3616. 0 ,0420. 0 ,0067. 0 ,1041. 0 ,0657. 0()3 . 0 , 2 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 2 . 0(010njjjjjj第二節(jié) 多屬性決策方法1、標準水平法由于多屬性決策時，屬性間具有不可替代性，決策人對部分或全部屬性可能設定標準水平要求。有兩種方式：1）聯(lián)合法決策者設立了必須接受的最小屬性值（標準等級），任何不滿足最小

21、屬性值的方案都被否定，這種方法叫聯(lián)合法。關鍵點在于標準等級（也叫閾值）的設定，要適當。如：考研單科設限、招收新員工、評定職稱2）分離法分離法評價方案是建立在最大的一個屬性值上，達到標準的方案就接受。如：高考特招生、選拔足球運動員（在防守、速度特長）特點：屬性間不可補償在實踐中被大量應用可以保證任何在某方面特別差的個體或方案不被選入只需分出接受或不接受特點：在實踐中被大量應用可以保證所有個體或方案在某方面有特長2、字典法本方法類似查字典。對于一些決策情形下，單個的屬性在決策中的作用很顯著，甚至在最重要的屬性上就可以進行決策。在最重要屬性上，如果某個方案對于其他方案有較高的屬性值，該方案就被選擇，

22、決策結束；如果在最重要的屬性上不能區(qū)分優(yōu)劣，就以第二重要的屬性來進行比較；這個過程可以進行進行，直到一個方案被選中或所有的屬性都被考慮過。如：高校招生，按高考成績排序，同樣成績者，優(yōu)秀三好生優(yōu)先。特點：本方法需要對屬性的重要性排序有可能漏掉更好的方案，如對高考的批評?？赡艿母倪M是不會因為屬性值略高一點就被認為更好。3、簡單線性加權法P212是一種最常用的多屬性決策方法。方法是先確定各決策指標的權重，再對決策矩陣進行標準化處理，求出各方案的線性加權均值，以次作為各方案排序的判據。注意：標準化時，要把所有指標屬性正向化。步驟：1）用適當的方法確定各屬性的權重，設權重向量為1,),(121njjTn

23、W其中3）求出各方案線性加權指標值), 2 , 1(,1miyunjijji4）選擇線性加權指標值最大者為最滿意方案njijjmiimiyuau111*maxmax)(例74 P212且指標都是正向指標。陣為作標準化處理，標準矩對決策矩陣,)()()2nmijnmijyYxX注意：1）簡單線性加權法潛在的假設是各屬性在偏好上獨立，即單個屬性值對于整體評價的影響與其他屬性值相互獨立。如籃球運動員身高和體重不是相互獨立的。2）權重設定的不可靠。如一個權重是0.1，另一個是0.4，多達4倍的關系，是否真正合理？3）假設多個屬性的效用可以分解成單個屬性的效用。如籃球運動員身高和體重需要相匹配。4）但是

24、理論推導、仿真計算和經驗判斷都表明，簡單加權法與復雜的非線性形式產生的結果很相似，而前者有簡單多的理解和使用特點，因此得到普遍的應用。4、理想解法（TOPSIS法）P213由Yoon和Hwang開發(fā)，又稱逼近理想解排序法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）這種方法通過構造多屬性問題的理想解和負理想解，以方案靠近理想解和遠離負理想解兩個基準作為方案排序的準則，來選擇最滿意方案。理想解：就是設想各指標屬性都達到最滿意值的解；負理想解：就是設想各指標屬性都達到最不滿意值的解。理想解和負理想解一般都是虛擬的方案可以將m各方案n個屬性的多屬性決策問題視作在n維空間中的m個點構成的幾何系統(tǒng)中進行處理，此時所有的方案都看成該系統(tǒng)的解。為了直觀起見，用兩個屬性的決策空間：圖中A*為理想解，A為負理想解各方案接近理想解和遠離負理想解的測度：貼近度。貼近度涉及到理