第七章：無窮級數(shù)

1、第七章：無窮級數(shù)本章重點(diǎn)是判斷數(shù)項級數(shù)的斂散性，冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)的展開與求和 §7.1 數(shù)項級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是級數(shù)的性質(zhì)，正項級數(shù)的幾個判別法，交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法，任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂 ?？贾R點(diǎn)精講一、數(shù)項級數(shù)的概念1數(shù)項級數(shù)定義定義：設(shè)是一個數(shù)列，則稱表達(dá)式 為一個數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，其中第項稱為級數(shù)的通項或一般項，稱為級數(shù)的前項部分和2級數(shù)收斂的定義定義：若數(shù)項級數(shù)的部分和數(shù)列有極限，則稱級數(shù)收斂，極限值稱為此級數(shù)的和當(dāng)不存在時，則稱級數(shù)發(fā)散 利用級數(shù)收斂的定義，易知當(dāng)時，幾何級數(shù)收斂，和為；當(dāng)，幾何級數(shù)發(fā)散例1.1 判斷下列級數(shù)的斂散性 解：由于 所以 ，故級數(shù)收

2、斂 由于所以，故級數(shù)發(fā)散二、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件1設(shè)都收斂，和分別為，則必收斂，且；評注：若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散；若都發(fā)散，則可能發(fā)散也可能收斂2設(shè)為非零常數(shù)，則級數(shù)與有相同的斂散性；3改變級數(shù)的前有限項，不影響級數(shù)的斂散性；4級數(shù)收斂的必要條件：如果收斂，則；5收斂的級數(shù)在不改變各項次序前提下任意加括號得到的新級數(shù)仍然收斂且和不變評注：若某級數(shù)添加括號后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)亦發(fā)散例1.2 判斷下列級數(shù)的斂散性 解：由于收斂，發(fā)散，所以 發(fā)散，由性質(zhì)5的“注”可知級數(shù)發(fā)散； 由于，不滿足級數(shù)收斂的必要條件，所以級數(shù)發(fā)散三、正項級數(shù)及其斂散性判別法各項為非負(fù)（）的級數(shù)稱為正項級數(shù)1

3、正項級數(shù)收斂的基本定理定理：設(shè)是正項級數(shù)的部分和數(shù)列，則正項級數(shù)收斂的充要條件是數(shù)列有界當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散（時的級數(shù)也叫調(diào)和級數(shù)）2正項級數(shù)的比較判別法定理：（正項級數(shù)比較判別法的非極限形式）設(shè)都是正項級數(shù)，并設(shè)，則 若收斂，則收斂； 若發(fā)散，則發(fā)散定理：（正項級數(shù)比較判別法的極限形式）設(shè)都是正項級數(shù)，并設(shè)或為，則 當(dāng)為非零常數(shù)時，級數(shù)有相同的斂散性； 當(dāng)時，若收斂，則必有收斂； 當(dāng)時，若發(fā)散，則必有發(fā)散評注：用比較判別法的比較對象常取級數(shù)與等比級數(shù)及3正項級數(shù)的比值判別法定理：設(shè)是正項級數(shù)，若或為，則級數(shù)有 當(dāng)時，收斂； 當(dāng)或時，發(fā)散； 當(dāng)時，斂散性不確定評注： 若，則級數(shù)必發(fā)散

4、； 如果正項級數(shù)通項中含有階乘，一般用比值判別法判定該級數(shù)的斂散性； 當(dāng)1或不存在（但不為），則比值判別法失效4正項級數(shù)的根值判別法將比值判別法中的改成，其它文字?jǐn)⑹?、結(jié)論均不改動，即為根值判別法5利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性定理：設(shè)是正項級數(shù)，為的階無窮小，則當(dāng)時，正項級數(shù)收斂；當(dāng)時，正項級數(shù)發(fā)散例1.3 判斷下列級數(shù)的斂散性 解： 由于，而級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)發(fā)散； 由于，所以由比值判別法可得，原級數(shù)收斂； 由于，所以由根值判別法可知，原級數(shù)收斂； 由于為的階無窮小，所以原級數(shù)收斂四、交錯級數(shù)及其斂散性判別法1交錯級數(shù)定義定義：若級數(shù)的各項是正項與負(fù)項交錯出現(xiàn)，即形如 的級數(shù)，

5、稱為交錯級數(shù)2交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法定理：若交錯級數(shù)滿足條件 ； ，則交錯級數(shù)收斂，其和其余項滿足五、任意項級數(shù)及其絕對收斂若級數(shù)的各項為任意實數(shù)，則稱它為任意項級數(shù)1條件收斂、絕對收斂 若收斂，則稱絕對收斂；若發(fā)散但收斂，則稱條件收斂評注：絕對收斂的級數(shù)不因改變各項的位置而改變其斂散性與其和2任意項級數(shù)的判別法定理：若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂即絕對收斂的級數(shù)一定收斂例1.4 判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，指明是絕對收斂還是條件收斂 解： 記因為 所以級數(shù)收斂，故原級數(shù)收斂且為絕對收斂； 記由于，而發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 又是一交錯級數(shù)，且，由萊布尼茲定理知，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂 ?？碱}型及

6、其解法與技巧一、概念、性質(zhì)的理解例 已知，則級數(shù)的和等于_.解：由于，所以根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)可得 從而因此例7.1.2 設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是（A）； （B）； （C）； （D） 解：取，則，此時（A）與（C）都發(fā)散；若取，則，此時（B）發(fā)散；由排除法可得應(yīng)選（D）事實上，若，則，根據(jù)“比較判別法”得收斂從而收斂，故應(yīng)選（D）例7.1.3 已知級數(shù)發(fā)散，則（A）一定收斂， （B）一定發(fā)散（C）不一定收斂 （D）解：假設(shè)收斂，則根據(jù)級數(shù)斂散的性質(zhì)，不改變各項的次序加括號后得到的新級數(shù)仍然收斂，即也收斂這與已知矛盾，故一定發(fā)散應(yīng)選（B）例7.1.4 設(shè)正項級數(shù)的部分和為，又，已知級數(shù)收斂，則級數(shù)

7、必（A）收斂 （B）發(fā)散 （C）斂散性不定 （D）可能收斂也可能發(fā)散解：由于級數(shù)收斂，所以根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故級數(shù)發(fā)散，故應(yīng)選（B）例7.1.5 設(shè)有命題（1） 若收斂，則收斂；（2）若為正項級數(shù)，且，則收斂；（3）若存在極限，且收斂，則收斂；（4）若，又與都收斂，則收斂則上述命題中正確的個數(shù)為（A） （B） （C） （D）解：關(guān)于命題（1），令，則收斂，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（2），令，則為正項級數(shù)，且，但發(fā)散，所以不正確； 關(guān)于命題（3），令，則在極限，且收斂，但發(fā)散，所以不正確；關(guān)于命題（4），因為，所以，因為與都收斂，所以由“比較判別法”知收斂，故收斂故應(yīng)選（A

8、）二、正項級數(shù)斂散性的判定正項級數(shù)判別斂散的思路：首先考察（若不為零，則級數(shù)發(fā)散；若等于零，需進(jìn)一步判定）；根據(jù)一般項的特點(diǎn)選擇相應(yīng)的判別法判定評注： 若一般項中含有階乘或者的乘積形式，通常選用比值判別法： 若一般項中含有以為指數(shù)冪的因式，通常采用根值判別法： 若一般項中含有形如（為實數(shù)）的因式，通常采用比較判別法 如果以上方法還行不通時，則可考慮用斂散的定義判定例7.1.6 判斷下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3） （4） （5） （6）解：（1）用比值法 ，所以原級數(shù)收斂（2）用比值法 ，所以原級數(shù)收斂（3）用根值法 ，所以原級數(shù)發(fā)散（4）用比較法取，因為，而收斂，所以原級數(shù)收斂（5）

9、用比較法 取，因為，而發(fā)散，所以原級數(shù)發(fā)散（6）由于，故由級數(shù)收斂的必要條件知原級數(shù)發(fā)散評注：在考研題中遇到該類問題應(yīng)先看當(dāng)時，級數(shù)的通項是否趨向于零（如果不易看出，可跳過這一步），若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則再看級數(shù)是否為幾何級數(shù)或級數(shù)，因為這兩種級數(shù)的斂散性已知如果不是幾何級數(shù)或級數(shù)，則用比值判別法進(jìn)行判定，如果比值判別法失效，則再用比較判別法進(jìn)行判定常用來做比較的級數(shù)主要有幾何級數(shù)、級數(shù)等例7.1.7 判斷下列級數(shù)的斂散性（1） （2）分析：用比值判別法失效，用比較判別法不易找到用來作比較的級數(shù)，此時一般利用通項關(guān)于無窮小的階判定正項級數(shù)的斂散性解：（1）考查 換成連續(xù)變量，再用

10、羅必達(dá)法則， 取，上述極限值為所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂（2）考查 換成連續(xù)變量，再用羅必達(dá)法則， 取，上述極限值為所以原級數(shù)與同斂散，故原級數(shù)收斂例7.1.8 研究下列級數(shù)的斂散性（1）（是常數(shù)）； （2），這里為任意實數(shù)，為非負(fù)實數(shù)分析：此例中兩個級數(shù)的通項都含有參數(shù)一般說來，級數(shù)的斂散性與這些參數(shù)的取值有關(guān)對這種情況通常由比值判別法進(jìn)行討論解：（1）記，由比值判別法可得 顯然，當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由于，所以，故級數(shù)發(fā)散（2）記，由比值判別法可得 顯然，當(dāng)，為任意實數(shù)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，為任意實數(shù)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，比值判別法失效這時，由級數(shù)的斂散性知，當(dāng)時，級數(shù)收

11、斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散例7.1.9 判別下列級數(shù)的斂散性（1） （2）分析：此例兩個級數(shù)的通項都是由積分給出的正項級數(shù)如果能把積分求出來，再判定其斂散性，這樣做固然可以，但一般工作量較大常用的方法是利用積分的性質(zhì)對積分進(jìn)行估值估值要適當(dāng)：若放大則不等式右端應(yīng)是某收斂的正項級數(shù)的通項；若縮小，則不等式左端應(yīng)是某發(fā)散的正項級數(shù)的通項解：（1）因為時，所以 由于級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂（2）因為函數(shù)在區(qū)間上單減，所以 由于，又因為級數(shù)收斂，所以原級數(shù)收斂三、交錯級數(shù)判定斂散判別交錯級數(shù)斂散性的方法：法一：利用萊布尼茲定理；法二：判定通項取絕對值所成的正項級數(shù)的斂散性，若收斂則原級數(shù)絕對收斂；法三：將通項

12、拆成兩項，若以此兩項分別作通項的級數(shù)都收斂則原級數(shù)收斂；若一收斂另一發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；法四：將級數(shù)并項，若并項后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散評注：法二、法三和法四適應(yīng)于不單調(diào)減少或判定單調(diào)很困難的交錯級數(shù)例7.1.10 判定下列級數(shù)的斂散性（1） （2）（3） （4）解：（1）該級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然令，則，所以單調(diào)減少由萊布尼茲判別法可知，原級數(shù)收斂（2）不難得到數(shù)列不單調(diào)而 ，顯然，級數(shù)發(fā)散；又級數(shù)是交錯級數(shù)，顯然滿足，令，則，所以單調(diào)減少，由萊布尼茲判別法可得，級數(shù)收斂 故由級數(shù)斂散的性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散（3）不難得到不單調(diào)，但有即加括號后得到的新級數(shù)發(fā)散，利用級數(shù)的性質(zhì)可知，原級數(shù)發(fā)散（4

13、）顯然判定數(shù)列的單調(diào)性很麻煩 但 ，而由比值判別法易得到級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂 從而原級數(shù)收斂，且絕對收斂四、判定任意項級數(shù)的斂散性 對任意項級數(shù)，主要研究它絕對收斂性和條件收斂性解題的一般思路：先看當(dāng)時，級數(shù)的通項是否趨向于零，若不趨于零，則級數(shù)發(fā)散；若趨于零，則按正項級數(shù)斂散性的判別法，判定是否收斂，若收斂，則級數(shù)絕對收斂；若發(fā)散，則若上述發(fā)散是由正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法得到，則原級數(shù)發(fā)散；若是由比較判別法判定的，此時應(yīng)利用交錯級數(shù)萊布尼茲判別法或級數(shù)斂散的性質(zhì)判定是否收斂（若收斂則為條件收斂）例7.1.11 討論下列級數(shù)的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂，說明理由（1）

14、為常數(shù)； （2）；（3）解：（1），由于當(dāng)充分大時，保持定號，所以級數(shù)從某項起以后為一交錯級數(shù)當(dāng)不是整數(shù)時，不論取何值，總有，故級數(shù)發(fā)散；當(dāng)是整數(shù)時，有，因而，由于所以利用比較判別法的極限形式可得，當(dāng)時級數(shù)發(fā)散，又因為總是非增的趨于零，故由交錯級數(shù)的“萊布尼茲判別法”知，級數(shù)收斂，且為條件收斂；當(dāng)時，級數(shù)顯然收斂，且絕對收斂（2）由于所以原級數(shù)為交錯級數(shù) 先判定級數(shù)的斂散性由于當(dāng)時，所以 由于級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散 因為原級數(shù)為交錯級數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的條件，因此級數(shù)為條件收斂 （3）這是任意項級數(shù)考慮每三項加一括號所成的級數(shù) 此級數(shù)的通項是的有理式，且分子的次數(shù)僅比分母的次數(shù)低一次，用

15、比較判別法知它是發(fā)散的，由級數(shù)的基本性質(zhì)可得，原級數(shù)發(fā)散五、關(guān)于數(shù)項級數(shù)斂散性的證明題 證明某個未給出通項具體表達(dá)式的級數(shù)收斂或發(fā)散這類題，一般用級數(shù)收斂的定義、比較判別法或級數(shù)的基本性質(zhì)例 證明：如果級數(shù)與收斂，且，則級數(shù)也收斂證明：由可得，；由級數(shù)收斂的基本性質(zhì)可得收斂，故由正項級數(shù)的比較判別法可得收斂又由于，所以級數(shù)收斂例 設(shè)，證明（）存在 ； （）級數(shù)收斂證明：（）由于，所以根據(jù)均值不等式可得故數(shù)列有下界 又因為，所以單調(diào)不增，從而由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知，存在（）由（）可知，所以級數(shù)是正項級數(shù)又因為 ，而正項級數(shù)的前項和 所以正項級數(shù)是收斂的，由比較判別法知，原級數(shù)收斂例 設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域

16、內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂分析：已知條件中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)，可考慮使用泰勒公式完成證明：由于在點(diǎn)連續(xù)，且，所以可得將在點(diǎn)展開成一階泰勒公式，有 由于在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，故存在，使得在的某小鄰域內(nèi)，從而 （當(dāng)充分大時）由比較判別法可知，級數(shù)絕對收斂 若滿足：在區(qū)間上單增；存在，且證明（）收斂 ； （）收斂證明：（）由于，所以，從而級數(shù)收斂（）由于存在，且，所以函數(shù)單調(diào)不增又因為在區(qū)間上單增，所以必有，即級數(shù)是正項級數(shù) 根據(jù)拉格朗日中值定理可得，所以 由（）可知收斂，所以根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂，再根據(jù)級數(shù)收斂的性質(zhì)可得級數(shù)收斂六、其它例 設(shè)正項數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，判定級數(shù)

17、的斂散性解：正項數(shù)列單調(diào)減少，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得，存在，記為（） 因為級數(shù)是交錯級數(shù)，若，由萊布尼茲判別法可知，該級數(shù)收斂但題設(shè)該級數(shù)發(fā)散，所以必定有，于是 由根值判別法知，級數(shù)收斂例7.1.17 討論級數(shù)在哪些處收斂？在哪些處發(fā)散？解： 當(dāng)時，原級數(shù)為，這是交錯級數(shù)，且滿足“萊布尼茲判別法”的條件，故收斂； 當(dāng)時，當(dāng)時， 當(dāng)時，趨向定常數(shù)，故發(fā)散，從而原級數(shù)發(fā)散； 當(dāng)時，由于，所以上式中第一項以后的各項都為負(fù)的考察級數(shù)，由于，所以根據(jù)正項級數(shù)的“比較判別法”的極限形式知，級數(shù)發(fā)散從而，即原級數(shù)發(fā)散綜上所述，當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散例7.1.18 已知，判定級數(shù)的斂散性分析：該級數(shù)的通項

18、以遞推公式給出，這給級數(shù)類型的判定以及通項是否收斂于零帶來困難不妨先假設(shè)級數(shù)通項，再看由遞推公式兩端取極限時能否導(dǎo)出矛盾一旦產(chǎn)生矛盾，便可確定級數(shù)發(fā)散解：若，則這與假設(shè)矛盾因此，原級數(shù)發(fā)散例7.1.19 設(shè)為常數(shù)，討論級數(shù)的斂散性解：由于存在，因此想到分討論當(dāng)時，由于，所以，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，=，所以，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，由于，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂且絕對收斂例7.1.20 已知，對于，設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）求；（）設(shè)是以，和為頂點(diǎn)的三角形的面積，求級數(shù)的和解：（）曲線上點(diǎn)處的切線方程為 從而，從而（）由題意所以 §7.2 冪級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是求冪級數(shù)的收斂域、求冪級數(shù)的和

19、函數(shù)、將函數(shù)展開成冪級數(shù) ?？贾R點(diǎn)精講一、函數(shù)項級數(shù)的概念1函數(shù)項級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)都在上有定義，則稱表達(dá)式 為定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，稱為通項，稱為部分和函數(shù)2收斂域定義：設(shè)是定義在上的一個函數(shù)項級數(shù)，若數(shù)項級數(shù)收斂，則稱是的一個收斂點(diǎn)所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為級數(shù)的收斂域3和函數(shù) 定義：設(shè)函數(shù)項級數(shù)的收斂域為，則任給，存在唯一的實數(shù)，使得成立定義域為的函數(shù)稱為級數(shù)的和函數(shù)評注：求函數(shù)項級數(shù)收斂域時，主要利用收斂域的定義及有關(guān)的數(shù)項級數(shù)的判別法二、冪級數(shù)1冪級數(shù)的定義定義：設(shè)是一實數(shù)列，則稱形如的函數(shù)項級數(shù)為處的冪級數(shù)時的冪級數(shù)為2阿貝爾定理定理：對冪級數(shù)有如下的結(jié)論： 如果該冪級數(shù)在

20、點(diǎn)收斂，則對滿足的一切的對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂； 如果該冪級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則對滿足的一切的對應(yīng)的級數(shù)都發(fā)散例2.1 若冪級數(shù)在處收斂，問此級數(shù)在處是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？解：由阿貝爾定理知，冪級數(shù)在處收斂，則對一切適合不等式（即）的該級數(shù)都絕對收斂故所給級數(shù)在處收斂且絕對收斂三、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間如果冪級數(shù)不是僅在處收斂，也不是在整個數(shù)軸上收斂，則必定存在一個正數(shù)，它具有下述性質(zhì)： 當(dāng)時，絕對收斂； 當(dāng)時，發(fā)散如果冪級數(shù)僅在處收斂，定義；如果冪級數(shù)在內(nèi)收斂，則定義則稱上述為冪級數(shù)的收斂半徑稱開區(qū)間為冪級數(shù)的收斂區(qū)間四、冪級數(shù)收斂半徑的求法求冪級數(shù)的收斂半徑法一： 求極限 令

21、則收斂半徑為；法二：若滿足，則；法三； 求極限 令則收斂半徑為例2.2 求下列冪級數(shù)的收斂域 解： 收斂半徑，所以收斂域為； 收斂半徑當(dāng)時，對應(yīng)級數(shù)為這是收斂的交錯級數(shù)，當(dāng)時，對應(yīng)級數(shù)為這是發(fā)散的級數(shù)，于是該冪級數(shù)收斂域為； 由于令，可得，所以收斂半徑為當(dāng)時，對應(yīng)的級數(shù)為，此級數(shù)發(fā)散，于是原冪級數(shù)的收斂域為五、冪級數(shù)的性質(zhì)設(shè)冪級數(shù)收斂半徑為；收斂半徑為，則1，收斂半徑；2，收斂半徑；3冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù)；4冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為即有 5冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，且積分后所得到的冪級數(shù)的收斂半徑仍為即有 例2.3 用逐項求導(dǎo)或逐

22、項積分求下列冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù) 解： 令，則 所以； 令，則 所以 ，六、函數(shù)展開成冪級數(shù)1函數(shù)展開成冪級數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，若存在冪級數(shù)，使得 則稱在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù)2展開形式的唯一性定理：若函數(shù)在區(qū)間上能展開成處的冪級數(shù) 則其展開式是唯一的，且 七、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)1泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)的定義定義：如果在的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的泰勒級數(shù)當(dāng)時，稱冪級數(shù)為函數(shù)的麥克勞林級數(shù)2函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的充要條件定理：函數(shù)在處的泰勒級數(shù)在上收斂到的充分必要條件是：在處的泰勒公式 的余項在上收斂到零，即對任意的，都有八、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方

23、法1直接法利用泰勒級數(shù)的定義及泰勒級數(shù)收斂的充要條件，將函數(shù)在某個區(qū)間上直接展開成指定點(diǎn)的泰勒級數(shù)的方法2間接法 通過一定的運(yùn)算將函數(shù)轉(zhuǎn)化為其它函數(shù)，進(jìn)而利用新函數(shù)的冪級數(shù)展開將原來的函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法所用的運(yùn)算主要是四則運(yùn)算、（逐項）積分、（逐項）求導(dǎo)、變量代換利用的冪級數(shù)展開式是下列一些常用函數(shù)的麥克勞林展開公式冪級數(shù)常用的七個展開式 ?？碱}型及其解法與技巧一、阿貝爾定理的應(yīng)用例7.2.1 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為2，則冪級數(shù)在下列點(diǎn)處必收斂（A） （B）（C） （D）解：由于與有相同的收斂半徑，所以當(dāng)?shù)臅r候?qū)?yīng)的級數(shù)都絕對收斂，顯然集合中的點(diǎn)都滿足不等式，故選（A）例 如級數(shù)在處收斂，問

24、級數(shù)在處斂散性怎樣？解：由阿貝爾定理，對一切的值，級數(shù)絕對收斂，從而級數(shù)滿足：對一切的值，級數(shù)絕對收斂現(xiàn)顯然不滿足，故級數(shù)在處斂散性不確定例7.2.3 設(shè)收斂，則（A）條件收斂 （B）絕對收斂 （C）發(fā)散 （D）不定解：考查冪級數(shù)，由于收斂，所以冪級數(shù)在點(diǎn)收斂，根據(jù)阿貝爾定理當(dāng)時，對應(yīng)的冪級數(shù)都絕對收斂，所以當(dāng)時，對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂，而此時對應(yīng)級數(shù)為所以應(yīng)選（B）例7.2.4 設(shè)冪級數(shù)在處條件收斂，則該冪級數(shù)的收斂半徑為解：由于在處條件收斂，由阿貝爾定理得，當(dāng)時級數(shù)絕對收斂所以收斂半徑；假設(shè)由收斂半徑的定義知時，對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂，所以級數(shù)在處應(yīng)絕對收斂，矛盾所以因此收斂半徑二、收斂半徑、

25、收斂區(qū)間、收斂域 求冪級數(shù)收斂半徑的方法我們在常考知識點(diǎn)中介紹過，如果冪級數(shù)中的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，這時冪級數(shù)的收斂半徑的計算公式 如果冪級數(shù)中的冪次不是按自然數(shù)順序依次遞增的（如缺少奇數(shù)次冪或缺偶次冪等），這時不能用上面的公式計算收斂半徑，而必須使用正項級數(shù)的比值判別法或根值判別法（即?？贾R點(diǎn)中介紹的法一與法三）求出冪級數(shù)的收斂半徑 設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為為了求冪級數(shù)的收斂域還需判別在與處級數(shù)的斂散性例7.2.5 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域（1） （2） （3）（4） （5） 解：（1）此級數(shù)的冪次是按自然數(shù)順序依次遞增的，其收斂半徑可直接按公式計算： 在處，級數(shù)成為，由例中的

26、（1）可知該級數(shù)發(fā)散；在處，級數(shù)成為，可判定發(fā)散故原級數(shù)的收斂域為 （2）此級數(shù)的收斂半徑也可按公式計算： 在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；在處，級數(shù)成為，由于，而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散因此所給級數(shù)的收斂域為 （3）此級數(shù)缺少的偶次冪故需利用比值判別法求收斂半徑令可得，故收斂半徑為在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂；在處，級數(shù)成為，這是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲定理的條件，故收斂因此所給級數(shù)的收斂域為 （4）此級數(shù)缺少的奇次冪故需利用比值判別法求收斂半徑令可得，故收斂半徑為在處，級數(shù)成為，該級數(shù)顯然收斂；在處，級數(shù)成為，該級數(shù)收斂因此所給級數(shù)的

27、收斂域為（5）此級數(shù)中的的冪次不是按自然順依次遞增的故需用比值判別法求收斂半徑 令可得，故收斂半徑為于是冪級數(shù)的收斂域為例 求冪級數(shù)的收斂域解：設(shè)冪級數(shù)，的收斂半徑分別為，則，因此冪級數(shù)的收斂半徑為 （1） 若，則在，級數(shù)為收斂；在，級數(shù)為發(fā)散，從而收斂域為 （2）若，則在，級數(shù)為收斂；在，級數(shù)為收斂；，從而收斂域為例 已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，求其收斂域解：由于冪級數(shù)級數(shù)在處收斂，由阿貝爾定理可得，當(dāng)時，對應(yīng)的冪級數(shù)絕對收斂，所以收斂半徑；假設(shè)收斂半徑，由收斂半徑的定義可知，時，對應(yīng)的級數(shù)都絕對收斂，而，所以級數(shù)在處絕對收斂，與已知矛盾故綜上可得，收斂半徑又因為級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，故

28、收斂域為三、函數(shù)項級數(shù)求收斂域函數(shù)項級數(shù)求收斂域的基本方法： 用正項級數(shù)比值判別法（或根值判別法）求（或）；解不等式，求出的收斂區(qū)間； 判定級數(shù)與的斂散性評注：函數(shù)項級數(shù)求收斂域有時也利用變量代換化為冪級數(shù)，利用冪級數(shù)求收斂域的方法來完成，或者利用數(shù)項級數(shù)其它判別法、及性質(zhì)完成例7.2.8 求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域（1） （2）解：（1）令，可得而當(dāng)時，所以該級數(shù)也收斂所以原級數(shù)的收斂域為（2）令，可得，即當(dāng)時，所以該級數(shù)也收斂； 當(dāng)時，對應(yīng)的級數(shù)為，它是交錯級數(shù)，由萊布尼茲判別法知，該級數(shù)收斂； 當(dāng)時，對應(yīng)的級數(shù)為，它是正項級數(shù)，由比較判別法知，該級數(shù)發(fā)散故原級數(shù)的收斂域為例7.2.9 求級

29、數(shù)的收斂域解：令，考察級數(shù)的收斂域由于，所以冪級數(shù)的收斂半徑為當(dāng)時，對應(yīng)冪級數(shù)為，由于，所以級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，對應(yīng)冪級數(shù)為，由于級數(shù)和級數(shù)都收斂，所以收斂從而冪級數(shù)的收斂域為由于，所以原級數(shù)的收斂域為四、冪級數(shù)求和函數(shù) 求冪級數(shù)和函數(shù)的基本方法：求出其收斂域；利用冪級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)、逐項求導(dǎo)、逐項積分、或變量代換，將冪級數(shù)化為常用展開式的情形之一，從而得到新級數(shù)的和函數(shù)；對所得到的和函數(shù)做相反的分析運(yùn)算，便得原冪級數(shù)的和函數(shù)評注：若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式，一般可用逐項求導(dǎo)來求和函數(shù)；若冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式，一般可用逐項積分來求和函數(shù)例7.2.10求下列冪級數(shù)的和函數(shù) （1） （2

30、）分析：冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理整式，故應(yīng)利用逐項積分來求和函數(shù)，冪級數(shù)通項的系數(shù)是的有理分式，應(yīng)利用逐項求導(dǎo)來求和函數(shù)解：（1）由于收斂半徑當(dāng)時，對應(yīng)級數(shù)為，發(fā)散；當(dāng)時，對應(yīng)級數(shù)為，該級數(shù)發(fā)散，故冪級數(shù)收斂域為因為 令 ，則 于是 ， 從而，所以和函數(shù)為（2），所以收斂半徑為當(dāng)時，級數(shù)收斂；當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)的收斂域為設(shè)，則，從而所以當(dāng)時，；當(dāng)時，故=例 求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)解：收斂半徑為，所以收斂域為令 顯然 ，又 而 所以，故 例 設(shè)有級數(shù)（）求此級數(shù)的收斂域（）證明此級數(shù)滿足微分方程（）求此級數(shù)的和函數(shù)解：（）因為，故知級數(shù)對任何都收斂，即其收斂域為（）設(shè)，則，所以，（）容易求

31、得上述方程的通解為由，可定出故級數(shù)的和函數(shù)為例7.2.13 設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足 ，（）證明；（）求的表達(dá)式分析：用已知條件推證（）比較簡單對于的表達(dá)式想通過解方程得到非常困難，因為所給方程超出我們所學(xué)范圍，不過可以通過（）把的具體表達(dá)式求出來，利用已知的常用冪級數(shù)展開式把冪級數(shù)的和函數(shù)寫出來證明：（） 由于，從而， 故 所以 ， ；（）因為，所以，于是由（）可得， 所以級數(shù)為，而，故，五、用冪級數(shù)求數(shù)項級數(shù)和求數(shù)項級數(shù)和的方法之一是利用冪級數(shù)的和函數(shù)此方法是：根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造冪級數(shù)（其中取等情形中的一種）；求冪級數(shù)的和函數(shù)，則評注：的構(gòu)造應(yīng)選取易求得和函數(shù)的冪級數(shù)例 求下列數(shù)項級數(shù)

32、的和（1） （2） （3） 解：（1）令，則所以 ，因此（2）令，則所以，因此（3）令，則，所以，因此例 求級數(shù)的和解：由于，令 ，則，所以，從而六、將函數(shù)展開成冪級數(shù) 函數(shù)展開成冪級數(shù)主要用間接展開法 有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù)有理分式函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：將有理分式函數(shù)分解成部分分式的和；將各個部分分式用或 的冪級數(shù)展開式展開；利用冪級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫出的展開式例 將展開成的冪級數(shù)解：由于，而； ，所以例7.2.17 將展開成的冪級數(shù)解：，而 ， ，所以 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：利用三角公式將表示成與和、差的形式；利用與的冪級數(shù)展開式將與展開；利用冪

33、級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫出的展開式例 將展開成的冪級數(shù)解：，而 ，所以 對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù)對數(shù)型函數(shù)展開成冪級數(shù)，一般有以下幾種方法：法一：利用乘積或商的對數(shù)性質(zhì)將對數(shù)函數(shù)拆開（有時需因式分解）成與和、差形式；利用的展開式，將與展開；利用冪級數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)寫出的展開式法二：將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開；利用逐項積分得到的展開式例 將函數(shù)，在處展開成冪級數(shù)解：，而 ， 所以 ，例 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)解：，而 所以 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù) 反三角型函數(shù)展開成冪級數(shù)的一般思路：將函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)展開；利用逐項積分得到的展開式例 將展開成的冪級數(shù)解：，而 所以，又，故 其它形式的函數(shù)展開成冪級數(shù)例 設(shè)，試將展

34、開成的冪級數(shù)，并求的和解：由于，所以因此，當(dāng)或時，+ ，令，則所以 1+2，且=例 將展開成的冪級數(shù)解：由于所以 由得：故 例 將在展開成冪級數(shù)解：依題意有 ，兩端求導(dǎo)得 ，設(shè)在展開成冪級數(shù)，將其代入方程得 即 比較系數(shù)得，由于，故，因此，于是在的冪級數(shù)展開式為評注：冪級數(shù)與微分方程有密切的關(guān)系：本例是通過解方程來展開冪級數(shù)，而例7.2.12是利用解方程來求冪級數(shù)的和函數(shù)七、冪級數(shù)的應(yīng)用例 已知，計算分析：已知條件為某個已知和的數(shù)項級數(shù)，但所求的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個角度來考慮問題既然要用已知條件求出積分，那該積分能否表示成某一級數(shù)的形式呢？于是問題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開成

35、的冪級數(shù)解：由于 ，所以 例 設(shè)，求分析：根據(jù)冪級數(shù)展開式的唯一性，的麥克勞林級數(shù)就是在的冪級數(shù)展開式，所以，即解：由于，所以，從而例 設(shè)，證明：時， 分析：證明恒等式最有力的方法是用拉格朗日中值定理的推論證明：令，則 由拉格朗日中值定理推論可得： 又，從而例 求證分析：等號左邊的級數(shù)固然可以求和函數(shù)，但是等號右邊的積分卻十分困難，這就需要我們從另一個角度來考慮問題既然證明積分的結(jié)果是一級數(shù)，那該級數(shù)能否看作是某一冪級數(shù)逐項積分的結(jié)果呢？于是問題的關(guān)鍵就是如何將被積函數(shù)展開成的冪級數(shù)解：當(dāng)時， 又因為，所以 從而 §7.3 傅里葉級數(shù)本節(jié)重點(diǎn)是傅里葉級數(shù)的狄里赫萊定理、將函數(shù)展開成傅

36、里葉級數(shù) ?？贾R點(diǎn)精講一、傅里葉級數(shù)定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù)，其中叫的傅里葉系數(shù)定義2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積，令 則三角級數(shù)叫以為周期的傅里葉級數(shù)，其中叫的傅里葉系數(shù)例3.1 設(shè)的傅里葉級數(shù)為，則其中的系數(shù)的值為解： ， 其中于是 二、傅里葉級數(shù)的收斂定理定理（狄里赫萊定理）如果在區(qū)間上滿足：（1）只有有限個第一類間斷點(diǎn)；（2）只有有限個極值點(diǎn)則的以為周期的傅里葉級數(shù)的收斂域為，其和函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，在其一個周期上的表達(dá)式為 三、對稱區(qū)間上奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)命題1：若為定義在上的偶函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 命題2：若為定義在上的

37、奇函數(shù)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)為 其中 ?？碱}型及其解法與技巧一、狄里赫萊定理的應(yīng)用例7.3.1 設(shè)，則其以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于，在收斂于解：根據(jù)狄里赫萊定理知：以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于，以為周期的傅里葉級數(shù)在收斂于例7.3.2 設(shè)函數(shù)，而，其中，則 （A） （B） （C） （D）解：是函數(shù)先作奇延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)由于在處連續(xù)，所以由狄里赫萊定理可得而為奇函數(shù)，所以故應(yīng)選（C）例7.3.3 設(shè)，其中，則等于（A） （B） （C） （D）解：是函數(shù)先作偶延拓再作周期為2的周期延拓后的函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)由狄里赫萊定理， 而 ，故應(yīng)選（C）二、將

38、函數(shù)在上展開成傅里葉級數(shù) 這里有兩種情況：一是已知函數(shù)在上的表達(dá)式，且是以為周期的函數(shù)，要將展開成傅里葉級數(shù)；二是僅在上定義，要將展開成傅里葉級數(shù)如果是后一種情況，只需通過周期延拓的方法，在區(qū)間外擴(kuò)充的定義，使它延拓為以為周期的函數(shù)，就變成了前一種情況這兩種情形的解題方法是相同的具體為： 畫出的草圖，驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件；求出傅里葉系數(shù)，寫出的傅里葉級數(shù)；利用狄里赫萊定理得到的傅里葉展開式，并注明展開式成立的范圍評注：畫出的草圖的目的，一是為了驗證狄里赫萊定理的條件；二是為了找到展開式成立的范圍（連續(xù)點(diǎn)都可以展開）例7.3.4 將展開成以6為周期的傅里葉級數(shù)解：畫出的草圖如下所示由圖

39、可見在上滿足狄里赫萊條件又 ， ，所以以6為周期的傅里葉級數(shù)為 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足：，而，所以，三、將函數(shù)在上展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 如函數(shù)在上有定義，要將它展開成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)）的一般思路： 將函數(shù)延拓成上的奇函數(shù)（或偶函數(shù)）；畫出的草圖，驗證是否滿足狄里赫萊定理的條件；求出傅里葉系數(shù)，寫出的傅里葉級數(shù)；利用狄里赫萊定理將展開成正弦級數(shù)（或余弦級數(shù)），并注明展開式成立的范圍例7.3.5 設(shè)，試將展開成周期為4 的余弦級數(shù)解：將延拓成上的偶函數(shù)畫出的草圖如下圖所示：由圖可見在上滿足狄里赫萊條件又 （） 所以以4為周期的傅里葉級數(shù)為 又因為傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足： 所以，故，四

40、、利用函數(shù)的傅里葉展開式，求收斂常數(shù)項級數(shù)的和 利用函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式也是求收斂常數(shù)項級數(shù)和的方法之一，思路為：求出所給函數(shù)的傅里葉展開式；根據(jù)傅里葉系數(shù)的特點(diǎn)，確定傅里葉展開式在某個點(diǎn)所得到的級數(shù)恰為常數(shù)項級數(shù)；用狄里赫萊定理求出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)在的值，即為所求例7.3.6 將函數(shù)， 在展開成以為周期的余弦級數(shù)，并求下列數(shù)項級數(shù)的和（1）； （2）； （3）解： 將作偶延拓，得到上的偶函數(shù)畫出的草圖如圖所示： 由圖可見在上滿足狄里赫萊條件則 所以因為在內(nèi)連續(xù)，的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)滿足，因此 （*） 在式（*）中分別令和，得 ， 由此可得 （1）， （2），再將上兩式逐項相加，又得 故 （3）五、其它例7.3.7 設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，并且傅里葉系數(shù)為求的傅里葉系數(shù)，并利用所得結(jié)果推出分析：是抽象函數(shù)，也不可能得到具體的解析表達(dá)式，因此只能借助于的傅里葉系數(shù)來表示的傅里葉系數(shù)另外應(yīng)該看到求證的等式左端為解：顯然是以為周期的連續(xù)函數(shù)，其傅里葉系數(shù) （交換積