二次函數(shù)與圓的綜合

1、二次函數(shù)與圓的綜合5（2012濟(jì)南）如圖1，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（3，0），B（1，0），與y軸相交于點(diǎn)C，O1為ABC的外接圓，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）求cosCAB的值和O1的半徑；（3）如圖2，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，連接BP，CP，BD，M為弦BD中點(diǎn)，若點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，滿(mǎn)足BMNBPC，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式；（2）如答圖1所示，由AOC為等腰直角三角形，確定CAB=45°，從而求出其三角函數(shù)值；由圓周角定理，確定BO1C為等腰直角三角形，從而

2、求出半徑的長(zhǎng)度；（3）如答圖2所示，首先利用圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線(xiàn)段BM的長(zhǎng)度；點(diǎn)B、P、C的坐標(biāo)已知，求出線(xiàn)段BP、BC、PC的長(zhǎng)度；然后利用BMNBPC相似三角形比例線(xiàn)段關(guān)系，求出線(xiàn)段BN和MN的長(zhǎng)度；最后利用兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程組，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)解答：解：（1）拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（3，0），B（1，0），解得a=1，b=4，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2+4x+3（2）由（1）知，拋物線(xiàn)解析式為：y=x2+4x+3，令x=0，得y=3，C（0，3），OC=OA=3，則AOC為等腰直角三角形，CAB=45°，cosCAB=

3、在RtBOC中，由勾股定理得：BC=如答圖1所示，連接O1B、O1C，由圓周角定理得：BO1C=2BAC=90°，BO1C為等腰直角三角形，O1的半徑O1B=BC=（3）拋物線(xiàn)y=x2+4x+3=（x+2）21，頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，1），對(duì)稱(chēng)軸為x=2又A（3，0），B（1，0），可知點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=2對(duì)稱(chēng)如答圖2所示，由圓及拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知：點(diǎn)D、點(diǎn)C（0，3）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，D（4，3）又點(diǎn)M為BD中點(diǎn)，B（1，0），M（，），BM=；在BPC中，B（1，0），P（2，1），C（0，3），由兩點(diǎn)間的距離公式得：BP=，BC=，PC=BMNBPC，即，解得：BN=，MN=設(shè)N

4、（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式可得：，解之得，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（，）或（，）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圓的性質(zhì)、相似三角形、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式等重要知識(shí)點(diǎn)，涉及的考點(diǎn)較多，試題難度較大難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，需要認(rèn)真分析題意，確定符合條件的點(diǎn)N有兩個(gè)，并畫(huà)出草圖；然后尋找線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，最終正確求得點(diǎn)N的坐標(biāo)6（2011遵義）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（1）求拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖（1），連接AB，在題（1）中的拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使PAB是以AB為

5、直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖（2），連接AC，E為線(xiàn)段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F，當(dāng)OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：（1）根據(jù)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；（2）從當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°與當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，分別求出符合要求的答案；（3）根據(jù)當(dāng)OEAB時(shí)，F(xiàn)EO面積最小，得出OM=ME，求出即可解答：解：（1）拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a

6、0）經(jīng)過(guò)A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，解得：，y=x2x+3；點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，3）；（2）假設(shè)存在，分兩種情況：當(dāng)PAB是以AB為直角邊的直角三角形，且PAB=90°，如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BMx軸于點(diǎn)M，A（3，0），B（4，1），AM=BM=1，BAM=45°，DAO=45°，AO=DO，A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，3），直線(xiàn)AD解析式為：y=kx+b，將A，D分別代入得：0=3k+b，b=3，k=1，y=x+3，y=x2x+3=x+3，x 23x=0，解得：x=0或3，y=3，y=0（不合題意舍去），P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)P、C、D重合，當(dāng)P

7、AB是以AB為直角邊的直角三角形，且PBA=90°，如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BFy軸于點(diǎn)F，由（1）得，F(xiàn)B=4，F(xiàn)BA=45°，DBF=45°，DF=4，D點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，5），B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1），直線(xiàn)BD解析式為：y=kx+b，將B，D分別代入得：1=4k+b，b=5，k=1，y=x+5，y=x2x+3=x+5，x23x4=0，解得：x1=1，x2=4（舍），y=6，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6），點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，6），（0，3）；（3）如圖3：作EMAO于M，直線(xiàn)AB的解析式為：y=x3，tanOAC=1，OAC=45°，OAC=OAF=45°，A

8、CAF，SFEO=OE×OF，OE最小時(shí)SFEO最小，OEAC時(shí)OE最小，ACAFOEAFEOM=45°，MO=EM，E在直線(xiàn)CA上，E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+3），x=x+3，解得：x=，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握7（2011襄陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的O'與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC，ACCD是O'的切線(xiàn)，AD丄CD于點(diǎn)D，tanCAD=，拋物線(xiàn)y=ax2

9、+bx+c過(guò)A，B，C三點(diǎn)（1）求證：CAD=CAB；（2）求拋物線(xiàn)的解析式；判斷拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)E是否在直線(xiàn)CD上，并說(shuō)明理由；（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PBCA是直角梯形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131分析：（1）連接OC，由CD是O的切線(xiàn)，可得OCCD，則可證得OCAD，又由OA=OC，則可證得CAD=CAB；（2）首先證得CAOBCO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=，則可求得CO，AO，BO的長(zhǎng)，然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；首先證得FOCF

10、AD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到F的坐標(biāo)，求得直線(xiàn)DC的解析式，然后將拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可求得答案；（3）根據(jù)題意分別從PABC與PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（1）證明：連接OC，CD是O的切線(xiàn)，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）解：AB是O的直徑，ACB=90°，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（102CO），CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（8，0），B（2，0），C（0，

11、4），拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，c=4，由題意得：，解得：，拋物線(xiàn)的解析式為：y=x2x+4；設(shè)直線(xiàn)DC交x軸于點(diǎn)F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，F(xiàn)OCFAD，8（BF+5）=5（BF+10），BF=，F(xiàn)（，0）；設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y=kx+m，則，解得：，直線(xiàn)DC的解析式為y=x+4，由y=x2x+4=（x+3）2+得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，），將E（3，）代入直線(xiàn)DC的解析式y(tǒng)=x+4中，右邊=×（3）+4=左邊，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上；（3）存在，P1（10，6），P2（10，36）A（8，0），C（0，4），過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為y=x+4

12、，設(shè)過(guò)點(diǎn)B且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)解析式為：y=x+b，把B（2，0）代入得b=1，直線(xiàn)PB的解析式為y=x1，解得，（舍去），P1（10，6）求P2的方法應(yīng)為過(guò)點(diǎn)A作與BC平行的直線(xiàn)，可求出BC解析式，進(jìn)而求出與之平行的直線(xiàn)的解析式，與求P1同法，可求出x1=8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=36P2的坐標(biāo)（10，36）點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，直角梯形等知識(shí)此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用8（2011濰坊）如圖，y關(guān)于x的二次函數(shù)y=（x+m）（x3m）圖象的頂點(diǎn)為M，圖象交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y

13、軸正半軸于D點(diǎn)以AB為直徑作圓，圓心為C定點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），連接ED（m0）（1）寫(xiě)出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)m為何值時(shí)M點(diǎn)在直線(xiàn)ED上？判定此時(shí)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（3）當(dāng)m變化時(shí)，用m表示AED的面積S，并在給出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出S關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論分析：（1）根據(jù)x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征代入即可求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）待定系數(shù)法先求出直線(xiàn)ED的解析式，再根據(jù)切線(xiàn)的判定得出直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；（3）分當(dāng)0m3時(shí)，當(dāng)m3時(shí)兩種情況討論求得關(guān)于m的函數(shù)解答：解：（1）令y=0，則（x+m）（x3m）=0，解得x1

14、=m，x2=3m；令x=0，則y=（0+m）（03m）=m故A（m，0），B（3m，0），D（0，m）（2）設(shè)直線(xiàn)ED的解析式為y=kx+b，將E（3，0），D（0，m）代入得：解得，k=，b=m直線(xiàn)ED的解析式為y=mx+m將y=（x+m）（x3m）化為頂點(diǎn)式：y=（xm）2+m頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m）代入y=mx+m得：m2=mm0，m=1所以，當(dāng)m=1時(shí)，M點(diǎn)在直線(xiàn)DE上連接CD，C為AB中點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)為C（m，0）OD=，OC=1，CD=2，D點(diǎn)在圓上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90°直線(xiàn)ED與C相切（3）

15、當(dāng)0m3時(shí)，SAED=AEOD=m（3m）S=m2+m當(dāng)m3時(shí)，SAED=AEOD=m（m3）即S=m2_ mS關(guān)于m的函數(shù)圖象的示意圖如右：點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有x軸，y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線(xiàn)解析式的確定，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法注意分析題意分情況討論結(jié)果9（2011邵陽(yáng)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A（，0），點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)（位于點(diǎn)A的右側(cè)），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求ACB的度數(shù)；（2）已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的解析式；（3）線(xiàn)段BC上是否存在點(diǎn)D，使BOD為等腰三角形？若存在，則求出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題1171131專(zhuān)題：綜合題分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可以得到ACB的度數(shù)（2）利用三角形相似求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)求出拋物線(xiàn)的解析式（3）分別以O(shè)B為底邊和腰求出等腰三角形中點(diǎn)D的坐標(biāo)解答：解：（1）以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò) 點(diǎn)C，ACB=90°（2）AOCCOB，OC2=AOOB