高三文科數(shù)學立體幾何空間角專題復習

1、2015屆高三文科數(shù)學立體幾何空間角專題復習考點1：兩異面直線所成的角例1.如圖所示，在長方體中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中點（）求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；（）證明：平面ABM平面A1B1M1例2.（2010全國卷1文數(shù)）直三棱柱中，若，則異面直線與所成的角等于（ C ）(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°變式訓練：1.（2009全國卷文）已知正四棱柱中，=，為中點，則異面直線與所形成角的余弦值為( C )（A） (B) (C) (D) 2.如圖，直三棱柱，點、分別是、的中點，則與所成角的余弦

2、值是（ ） 3.（2012年高考（陜西理）如圖,在空間直角坐標系中有直三棱,則直線與直線夾角的余弦值為（）ABCD 第3題圖 第4題圖 第5題圖4(2007全國·文)如圖，正四棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（）5.（ 2012年高考（四川文理）如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是_.90º 6.（2011年全國二文15）已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為_7.已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 8（2011年上海文）已知是底面邊長為1的正四棱柱

3、，高，求（1）異面直線與所成角的余弦值；（2）四面體的體積.考點2：直線與平面所成的角例3.正方體-中，與平面所成角的余弦值為（ D ）（A） （B） （C） （D） 例4.（2011年天津文17）如圖17，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ADC45°，ADAC1，O為AC的中點，PO平面ABCD，PO2，M為PD的中點(1)證明PB平面ACM；(2)證明AD平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值圖17圖18【解答】 (1)證明：連接BD，MO.在平行四邊形ABCD中，因為O為AC的中點，所以O(shè)為BD的中點又M為PD的中點，所以PBMO.因為PB平面

4、ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)證明：因為ADC45°，且ADAC1，所以DAC90°，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中點N，連接MN，AN.因為M為PD的中點，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直線AM與平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.從而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.變式訓練9.（20008福建卷理）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=

5、BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(D)A.B. C. D. 第9題圖 第10題圖 第11題圖10.（2010四川文理15）如圖，二面角的大小是60°，線段.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是 . 11. 已知長方體中，求直線與平面所成的角。 12.如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面；（）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小. 13.【2012高考天津文科17】（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求異面直

6、線PA與BC所成角的正切值；（II）證明平面PDC平面ABCD；（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值?！窘馕觥浚↖）是與所成角 在中，異面直線與所成角的正切值為（II）面 面 平面平面（III）過點作于點，連接 平面平面面是直線與平面所成角 在中， 在中， 得：直線與平面所成角的正弦值為14.【2012高考湖南文19】（本小題滿分12分） 如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）證明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】【解析】（）因為又是平

7、面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）設(shè)AC和BD相交于點O，連接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積在等腰三角形中，所以故四棱錐的體積為.【點評】本題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由（）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積.15.（201

8、1年·湖南文19）如圖15，在圓錐PO中，已知PO，O的直徑AB2，點C在上，且CAB30°，D為AC的中點(1)證明：AC平面POD；(2)求直線OC和平面PAC所成角的正弦值圖15課標文數(shù)19.G5，G112011·湖南卷 【解答】 (1)因為OAOC，D是AC的中點，所以ACOD.又PO底面O，AC底面O，所以ACPO.而OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面POD.(2)由(1)知，AC平面POD，又AC平面PAC，所以平面POD平面PAC.在平面POD中，過O作OHPD于H，則OH平面PAC.圖16連結(jié)CH，則CH是OC在平面PAC上的射影

9、，所以O(shè)CH是直線OC和平面PAC所成的角在RtODA中，ODOA·sin30°.在RtPOD中，OH.在RtOHC中，sinOCH.故直線OC和平面PAC所成角的正弦值為.考點3：二面角例5. 11.如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐中，平面，且，點是的中點.（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.例6.（2011浙江文20）如圖17，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上(1)證明：APBC；(2)已知BC8，PO4，AO3，OD2，求二面角BAPC的大小 圖17課標文數(shù)20.G112011·浙江卷 【解答】

10、(1)證明：由ABAC，D是BC中點，得ADBC，又PO平面ABC，得POBC，因為POADO，所以BC平面PAD，故BCAP.(2)如圖，在平面APB內(nèi)作BMPA于M，連CM.因為BCPA，得PA平面BMC，所以APCM.故BMC為二面角BAPC的平面角在RtADB中，AB2AD2BD241，得AB.在RtPOD中，PD2PO2OD2，在RtPDB中，PB2PD2BD2，所以PB2PO2OD2BD236，得PB6.在RtPOA中，PA2AO2OP225，得PA5.又cos BPA，從而sinBPA.故BMPBsinBPA4.同理CM4.因為BM2MC2BC2，所以BMC90°，即二

11、面角BAPC的大小為90°.變式訓練：16.（09陜西文）如圖，直三棱柱中， AB=1，ABC=60.()證明：；CBAC1B1A1（）求二面角AB的正切值。 17.（07湖南文）如圖3，已知直二面角，直線CA和平面所成的角為. ()證明； ()求二面角的正切值. ACBP18.如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大小； （）求點到平面的距離 鞏固與提高1.如圖5所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點。（）求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值；()在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F/平面A1BE？證明你的結(jié)論。A DB CA1 D1B1 C1

12、E圖52. 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點，連結(jié)ED，EC，EB和DB(1)求證：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.(第18題)證明：(1)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E為D1C1的中點DD1E為等腰直角三角形，D1ED45°同理C1EC45°，即DEEC在長方體ABCD中，BC平面，又DE平面，BCDE又，DE平面EBC平面DEB過DE，平面DEB平面EBC (2)解：如圖，過E在平面中作EODC于O在長方體ABCD中，面ABCD面，EO面ABCD過O在平面DBC中作OF

13、DB于F，連結(jié)EF，EFBDEFO為二面角EDBC的平面角利用平面幾何知識可得OF， (第18題)又OE1，所以，tanEFO3. 如圖，正方體中，是的中點 （1）求證：平面； （2）求與平面所成的角.4.2014·湖南卷文 如圖1­3所示，已知二面角­MN­的大小為60°，菱形ABCD在面內(nèi)，A，B兩點在棱MN上，BAD60°，E是AB的中點，DO面，垂足為O.圖1­3(1)證明：AB平面ODE；(2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值18解：(1)證明：如圖，因為DO，AB，所以DOAB.連接BD，由題設(shè)知，ABD 是正

14、三角形，又E是AB的中點，所以DEAB.而DODED，故AB平面ODE.(2)因為BCAD，所以BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角，即ADO是BC與OD所成的角由(1)知，AB平面ODE，所以ABOE.又DEAB，于是DEO是二面角­MN­的平面角，從而DEO60°.不妨設(shè)AB2，則AD2，易知DE.在RtDOE中，DODE·sin 60°.連接AO，在RtAOD中，cosADO.故異面直線BC與OD所成角的余弦值為.5.（2009浙江卷文）（本題滿分14分）如圖，平面，分別為的中點（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值（）證明

15、：連接， 在中，分別是的中點，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以6.（2009湖北卷文）（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點E是SD上的點，且DEa(0<1). ()求證：對任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小為600C，

16、求的值。本小題主要考察空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。（滿分12分） （）證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。過點D在平面SAD內(nèi)做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60°=得，

17、即=3， 解得=7.2014·天津卷文 如圖1­4所示，四棱錐P ­ ABCD的底面ABCD是平行四邊形，BABD，AD2，PAPD，E，F(xiàn)分別是棱AD，PC的中點(1)證明：EF平面PAB；(2)若二面角P­AD­B為60°.(i)證明：平面PBC平面ABCD；(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值17解：(1)證明：如圖所示，取PB中點M，連接MF，AM.因為F為PC中點，所以MFBC，且MFBC.由已知有BCAD，BCAD，又由于E為AD中點，因而MFAE且MFAE，故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EFAM.又AM平面P

18、AB，而EF平面PAB，所以EF平面PAB.(2)(i)證明：連接PE，BE.因為PAPD，BABD，而E為AD中點，所以PEAD，BEAD，所以PEB為二面角P ­ AD ­B的平面角在PAD中，由PAPD，AD2，可解得PE2.在ABD中，由BABD，AD2，可解得BE1.在PEB中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得PB，從而PBE90，即BEPB.又BCAD，BEAD，從而BEBC，因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.(ii)連接BF，由(i)知，BE平面PBC，所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角由PB及已知，得ABP為直角，而MBPB，可得AM，故EF.又BE1，故在直角三角形EBF中，sinEFB.所以直線EF與平面PBC所成角的正弦值為.8.2014·浙江卷文 如圖1­5，在四棱錐A ­ BCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90°，ABCD2，DEBE1，AC.圖1­5(1)證明：AC平面BCDE；(2)求直線AE與平面ABC