高一數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)教材有講解和答案

1、高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第1講-集合與函數(shù)(上)本講要點:復(fù)雜的集合關(guān)系與運算、函數(shù)定義的深化重點掌握:函數(shù)的迭代1.定義M與P的差集為M-P=x | xM且x不P ,若A=y | y=x2 B=x | -3x3 ,再定義 MN =（M-N)(N-M），求AB2.集合A=中,任意取出一個非空子集,計算它的各元素之和.則所有非空子集的元素之和是 _ .若A=,則所有子集的元素之和是 .3.已知集合,其中,并且都是正整數(shù).若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.*4. 函數(shù)，求(本講重點迭代法)5. 練習(xí):定義:.已知是一次函數(shù).當(dāng)求的解析式(本講重點迭代法)*6.設(shè)f(x)定義在正整數(shù)集

2、上，且f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y)xy。求f(x) (本講重點順序拼湊法)課后作業(yè): 7. 當(dāng)n10時,f(n)=n-3;當(dāng)n<10時,f(n)=ff(n+5) .求f（7）(本講重點迭代法)*8. 已知f(1)=且當(dāng)n1時有=2(n1)。求f(n) (nN+)(本講重點順序拼湊法)9.求集合A = 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c0,的解集是x|mxn,m0,求不等式cx2+bx+a0的解集作業(yè)答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x<1/n或x>1/m 答案:1. 【解】 Ax|x0 B=x|-3x3 A-B=x|x3

3、B-A=x|-3x0 AB=x|-3x0或x32. 【解】分析已知的所有的子集共有個.而對于,顯然中包含的子集與集合的子集個數(shù)相等.這就說明在集合的所有子集中一共出現(xiàn)次,即對所有的求和,可得 集合的所有子集的元素之和為=3. 【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時有若,即,此時應(yīng)有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.綜上可得, 5【解】解：設(shè)f(x)=axb (a0)，記ffff(x)=fn(x)，則 n次 f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a2xb(a1)f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a3xb(a2a1)依次類推有：f10(x)=a

4、10xb(a9a8a1)=a10x由題設(shè)知：a10=1024 且=1023a=2，b=1 或 a=2，b=3f(x)=2x1 或 f(x)=2x38. 解：令y=1，得f(x1)=f(x)x1再依次令x=1，2，n1，有f(2)=f(1)2f(3)=f(2)3f(n1)=f(n2)(n1)f(n)=f(n1)n依次代入，得f(n)=f(1)23(n1)n=f(x)= (xN+)高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第2講-函數(shù)(下)本講要點:1.單調(diào)函數(shù)不等式的解法 2.根據(jù)抽象的函數(shù)條件拼湊出特定值的方法 3.抽象函數(shù)的周期問題*1例 f(x)在x>0上為增函數(shù),且.求:(1)的值.(2)若,解不等

5、式2例 f(x)對任意實數(shù)x與y都有f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,當(dāng)x>0時,f(x)>2(1) 求證:f(x)在R上是增函數(shù)(2) 若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 33練f(x)是定義在x>0的函數(shù),且f(xy) = f(x) + f(y);當(dāng)x>1時有f(x)<0;f(3) = -1.(1) 求f(1)和f(1/9)的值(2) 證明f(x)在x>1上是增函數(shù)(3) 在x > 1上,若不等式f(x) + f(2-x) < 2成立,求x的取值范圍4例幾個關(guān)于周期的常見的規(guī)律:5練習(xí):f(x)是定義在R上的

6、奇函數(shù),且f(x-2) = -f(x),以下結(jié)論正確的是(多選):_A.f(2) = 0B.f(x) = f(x+4)C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱D.f(x+2) = f(-x)課后作業(yè):6 定義在x>0上,當(dāng)x>1時,f(x)>0;對任意的正實數(shù)x和y都有f(xy) = f(x) + f(y).(1) 證明f(x)在x>0上為增函數(shù)(2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) f(2x) > 2 *7已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm),求證f(x)是周期函數(shù)7. 當(dāng)n10時,f(n)=n-3;當(dāng)n<10時,f(n)=ff(n+5) .

7、求f（7）(本講重點迭代法)*8. 已知f(1)=且當(dāng)n1時有=2(n1)。求f(n) (nN+)(本講重點順序拼湊法)9.求集合A = 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c0,的解集是x|mxn,m0,求不等式cx2+bx+a0的解集作業(yè)答案:6. 0<x<1/49 7.周期T=4m7. 當(dāng)n10時,f(n)=n-3;當(dāng)n<10時,f(n)=ff(n+5) .求f（7）(本講重點迭代法)*8. 已知f(1)=且當(dāng)n1時有=2(n1)。求f(n) (nN+)(本講重點順序拼湊法)9.求集合A = 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c0,的解

8、集是x|mxn,m0,求不等式cx2+bx+a0的解集上講課后作業(yè)回顧:化學(xué)5.有4.0克+2價金屬的氧化物與足量的稀鹽酸反應(yīng)后，完全轉(zhuǎn)化為氯化物，測得氯化物的質(zhì)量為9.5克，通過計算指出該金屬的名稱。(差量法)6.取100克膽礬，需加入多少克水才能配成溶質(zhì)質(zhì)量分數(shù)為40%的硫酸銅溶液?( 十字交叉法)高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第3講-函數(shù)的周期專題(下)、簡單的函數(shù)對稱問題本講要點:函數(shù)的周期和對稱問題一直是高考的難點,本講對此進行專題性講解重點掌握:湊f(x)法計算函數(shù)的周期需要的知識背景:函數(shù)的奇偶性,一次函數(shù)、二次函數(shù)1例已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，滿足f（x+1）= - f（x）（

9、1）證明：f（x）是周期函數(shù)，并求最小正周期 （2）當(dāng)x0,1）時，f（x）=x ，求在 -1,0）上的解析式（T=2 ，已求好）（f（x）=-x -1 ，已求好）*2例f(x)圖像滿足下列條件，試證明f(x)為周期函數(shù)（1）關(guān)于x=a, x=b 對稱.（2）關(guān)于(a,0), (b,0)對稱. （3）關(guān)于(a,0), x=b對稱.*3練對函數(shù)f(x),當(dāng)x（-，+）時，f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),證明函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),并求出最小正周期f(x)=f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10) T=10推廣該題，對任意不相等的兩個實數(shù)a,b,如果對任意x

10、滿足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x)，則該函數(shù)是以2(b-a)為周期的周期函數(shù)，證明同上面類似4例設(shè)f(x)和g(x)均為周期函數(shù)，f(x)的周期為2，g(x)的周期為3，問： f(x)±g(x), f(x)g(x) 是否是周期函數(shù)?若是,求出它們的周期?f(x)的周期為2，->f(x+2m)=f(x) g(x)的周期為3，->g(x+3n)=g(x) 2與3的最小公倍數(shù)是6，->f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)±g(x+6s)=f(x)±g(x)->f(x)±g(x)是周期

11、為6的周期函數(shù)； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)->f(x)g(x)也是周期為6的周期函數(shù)。高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第4講- 函數(shù)的對稱專題(下) 第5講- 對稱與周期的關(guān)系本講要點:較復(fù)雜的對稱與周期、函數(shù)的對稱與周期之間的關(guān)系 知識點1:兩個函數(shù)的圖象對稱性性質(zhì)1：與關(guān)于軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。性質(zhì)2：與關(guān)于Y軸對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。性質(zhì)3：與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。性質(zhì)4：與關(guān)于直線對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于對稱。性質(zhì)5：關(guān)于點對稱。換種說法：與若滿足，即它們關(guān)于點對稱。性質(zhì)6：與關(guān)于直線對

12、稱。知識點2:單個函數(shù)的對稱性性質(zhì)1：函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。證明：性質(zhì)2：函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖象關(guān)于點（，）對稱。證明：性質(zhì)3：函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱。證明：知識點3:對稱性和周期性之間的聯(lián)系性質(zhì)1：函數(shù)滿足，求證：函數(shù)是周期函數(shù)。證明：性質(zhì)2：函數(shù)滿足和時，函數(shù)是周期函數(shù)。（函數(shù)圖象有兩個對稱中心（a，）、（b，）時，函數(shù)是周期函數(shù)，且對稱中心距離的兩倍，是函數(shù)的一個周期）證明：性質(zhì)3：函數(shù)有一個對稱中心（a，c）和一個對稱軸（ab）時，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個周期是。證明：推論：若定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點對稱，則是周期函數(shù)，是它的一個周期證明：性質(zhì)4：若函數(shù)

13、對定義域內(nèi)的任意滿足：,則為函數(shù)的周期。（若滿足則的圖象以為圖象的對稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)證明：性質(zhì)5：已知函數(shù)對任意實數(shù),都有，則是以為周期的函數(shù)證明：例題與習(xí)題:1例（2005高考·福建理）是定義在上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個數(shù)的最小值是（ ）A3B4C5D7*2例 的定義域是，且,若. 求 f(2008)的值。3練 函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則_。解：由得，所以，則*4例 若函數(shù)在上是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，且.求的周期；證明的圖象關(guān)于點中心對稱;關(guān)于直線軸對稱, ;討論在上的單調(diào)性；解: 由已知，故周期.設(shè)是圖象上任意一點,則,且關(guān)

14、于點對稱的點為.P關(guān)于直線對稱的點為,點在圖象上,圖象關(guān)于點對稱.又是奇函數(shù), 點在圖象上,圖象關(guān)于直線對稱.設(shè)，則，在上遞增, (*)又 , .所以： ，在上是減函數(shù).5例 已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù).又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值.（1）證明：；（2）求的解析式；*（3）求在上的解析式.解：是以為周期的周期函數(shù)，且在上是奇函數(shù)，.當(dāng)時，由題意可設(shè)，由得，.是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設(shè)而，當(dāng)時，從而時，故時，.當(dāng)時，有，.當(dāng)時，.課后作業(yè):6練 已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則的值為（ B ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因為

15、是定義在上的奇函數(shù)所以，又，故函數(shù)，的周期為4所以，選B 7練定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ A ）（第十二屆高中數(shù)學(xué)希望杯 第二題）(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)解：f (10+x)為偶函數(shù)，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。故選(A)8練設(shè)f(x)是定義在R

16、上的奇函數(shù)，且f(x+2)= f(x),當(dāng)0x1時，f (x) = x，則f (7.5 ) = （B ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，點（0，0）是其對稱中心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(B)高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第6講-歸納總結(jié),作業(yè)回顧物理*5例如圖1一8所示，有兩根不

17、可伸長的柔軟的輕繩，長度分別為 和，它們的下端在C點相連接并懸掛一質(zhì)量為m的重物，上端分別與質(zhì)量可忽略的小圓環(huán)A、B相連，圓環(huán)套在圓形水平橫桿上A、B可在橫桿上滑動，它們與橫桿間的動摩擦因數(shù)分別為1和2，且。試求1和2在各種取值情況下，此系統(tǒng)處于靜態(tài)平衡時兩環(huán)之間的距離AB。物理6作業(yè)A跳傘運動員打開傘后經(jīng)過一段時間,將在空中保持勻速降落,已知運動員和他身上裝備的總重量為G1，圓頂形降落傘傘面的重量為G2，有12條相同的拉線（拉線重量不計）,均勻分布在傘面邊緣上,每根拉線和豎直方向都成30°角。則每根拉線上的張力大小為：(答案在本頁最下邊)A、 B、 C、 D、物理7作業(yè)如圖27所示

18、，AO是質(zhì)量為m的均勻細桿，可繞O軸在豎直平面內(nèi)自動轉(zhuǎn)動。細桿上的P點與放在水平桌面上的圓柱體接觸，圓柱體靠在豎直的擋板上而保持平衡，已知桿的傾角為 ，AP長度是桿長的，各處的摩擦都不計，則擋板對圓柱體的作用力等于 。(答案在本頁最下邊)化學(xué)*5作業(yè)三氟化溴溶于水可發(fā)生如下反應(yīng)： BrF3 H2O HBrO3 Br2 HF O2(1)其中發(fā)生自身氧化還原反應(yīng)的物質(zhì)是_；(2)當(dāng)有5.0 mol水參加反應(yīng)時，由水還原的BrF3的物質(zhì)的量為_，由BrF3還原的BrF3的物質(zhì)的量為_；(3)當(dāng)有5.0 mol水作還原劑參加化學(xué)反應(yīng)時，由水還原的BrF3的物質(zhì)的量為_，由BrF3還原的BrF3的物質(zhì)的

19、量為_；(4)當(dāng)有5.0 mol水未參加氧化還原反應(yīng)時，由水還原的BrF3的物質(zhì)的量為_，由BrF3還原的BrF3的物質(zhì)的量為_。答案：(1)BrF3(2)1.3 mol0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol(或1.8 mol) (4)2.2 mol 1.1 mol高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第6講-第一階段考試(數(shù)學(xué)) 滿分:150分 時間:120分鐘姓名 分數(shù) 一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題只有一項是符合要求的）1、 已知集合A=，B=，則A與B的關(guān)系是 A A B C B D 2、設(shè)全集=1，2，3，4，5,，則集合的子集個數(shù)最多為A. 3 B

20、. 4 C. 7D. 83、設(shè)A=, B=, 下列各圖中能表示從集合A到集合B的映射是4、已知函數(shù)，且的解集為（2，1）則函數(shù)的圖象為5、設(shè)集合A=, B=, 函數(shù)f(x)=若x, 且f f (x),則x的取值范圍是( )A. B. C. D. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”， 那么函數(shù)解析式為，值域為1，7的“孿生函數(shù)”共有（ ）A10個B9個 C8個 D4個7、函數(shù)是 （ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù)D是奇函數(shù)又是偶函數(shù)8、已知 y = f ( x ) 是定義在R 上的偶函數(shù), 且在( 0 ,

21、 + )上是減函數(shù)，如果x1 < 0 , x2 > 0 , 且| x1 | < | x2 | , 則有（ ） Af (x1 ) + f (x2 ) > 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) < 0 C. f (x1 ) f (x2 ) > 0 D. f ( x1 ) f ( x2 ) < 09、設(shè)函數(shù)若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,則關(guān)于x的方程的解的個數(shù)為(A). 1 （B）2 （C）3 （D）4 （ ）10、一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示. 某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示.（至少打開一個水口

22、）給出以下3個論斷：0點到3點只進水不出水；C3點到4點不進水只出水；4點到6點不進水不出水. 則正確論斷的個數(shù)是 A 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空題：本答題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上。11、設(shè)f（x）是定義在（0，+¥）上的減函數(shù)，那么f（2）與f（a2+2a+2）的大小關(guān)系是_ 12、滿足條件0，1A=0,1的所有集合A的個數(shù)是 個13、已知，則不等式的解集是 14、 如果函數(shù)滿足：對任意實數(shù)都有,且，則:_15、已知 三、解答題：（滿分75分，要求寫出詳細的解題過程）16、（滿分12分）設(shè)A=xZ| ，求：（1）； （2）17、（滿分12

23、分）若集合，且，求實數(shù)的值。18、（滿分12分）設(shè)的解集是（3，2）.（1）求f（x）；（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域是0，1時，求函數(shù)f（x）的值域.19、（滿分12分）已知奇函數(shù)（1）求實數(shù)m的值，并在給出的直角坐標系中畫出的圖象；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間1，|a|2上單調(diào)遞增，試確定a的取值范圍. 20、（滿分13分）某民營企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2（注：利潤與投資單位是萬元） （1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式。 （2）該企業(yè)已籌集到10萬元

24、資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能是企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元。（精確到1萬元）。21、（滿分14分）若非零函數(shù)對任意實數(shù)均有，且當(dāng)時，；（1）求證： ；（2）求證：為減函數(shù) （3）當(dāng)時，解不等式參考答案一、選擇題：CDBDC BBCCB二、填空題：11. f（2）> f（a2+2a+2）； 12. 4 ； 13. ； 14. 2010 ； 15. 6三、解答題：16、解：2分（1）又6分（2）又得 12分17、解： A=-3, 2 當(dāng)<0，即時，B= ， B成立 4分 當(dāng)=0，即時，B=, B不成立8分 當(dāng)>0，即時，若B成

25、立 則：B=-3, 2 a= -3x2=-6 12分18、解：（1）由已知方程f（x）=0的兩根為3和2（a<0）由韋達定理得從而6分（2）=而對稱軸從而上為減函數(shù)所以，當(dāng)故所求函數(shù)的值域為12，1812分19、（1）當(dāng) x<0時，x>0，又f（x）為奇函數(shù)， f（x）x22x，m2 4分yf（x）的圖象如右所示 6分（2）由（1）知f（x），8分由圖象可知，在1，1上單調(diào)遞增，要使在1，|a|2上單調(diào)遞增，只需 10分解之得12分20、（1）投資為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，B產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)=，=，. 由圖知，又 從而=，=， 6分（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則B產(chǎn)品投

26、入10-萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為y萬元Y=+=，（）， 令 當(dāng)，此時=3.75 當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時，企業(yè)獲得最大利潤約為4萬元。 12分 21、解：（1） 又若f(x0)=0, 則f(x)=f(x- x0+ x0)=f(x-x0)f(x0)=0與已經(jīng)矛盾， 故 f(x)> 0 4分（2）設(shè)則 又 為非零函數(shù) =,為減函數(shù) 9分（3）由原不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合（2）得：故不等式的解集為； 14分高中思維訓(xùn)練班高一數(shù)學(xué) 第8講-指數(shù)與對數(shù)(一)本講要點:利用對數(shù)增減性比較大小、對數(shù)方程1.試比較與的大小解：對于兩個正數(shù)的大小，作商與1比較是常用的方法，記122003=

27、a0，則有 ÷ =故得：>*2.已知函數(shù)f(x)=logax (a>0,a1,x>0)若x1,x2R+,試比較與的大小解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)x1,x2ÎR+, (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時，取“=”號)，當(dāng)a>1時，有，即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時，取“=”號)當(dāng)a>1時，有，即 (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時，取“=”號)*3例.設(shè)a、b分別是方程log2x + x 5 = 0和2x + x 5 = 0的根，求a + b及l(fā)og2a + 2b解：在直角坐標系內(nèi)分別作出函數(shù)y=2x和y =log2x的圖象，再作直線y=x和y= -x+5，由于y=2x和y=log2x互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，方程log2x+x-5=0的根a就是直線y= -x+5與對數(shù)曲線y=log2x的交點A