二次函數(shù)圖像與性質(zhì)

1、北師大版九年級(jí)下冊(cè)第二章二次函數(shù)有的放矢學(xué)習(xí)目標(biāo)w 1、會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象；w 2、根據(jù)函數(shù)y=x2和y=-x2圖象，直觀地了解它的性質(zhì).數(shù)形結(jié)合,直觀感受在二次函數(shù)y=x2中,y隨x的變化而變化的規(guī)律是什么？w觀察y=x2的表達(dá)式,選擇適當(dāng)x值,并計(jì)算相應(yīng)的y值,完成下表:w你會(huì)用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=x2的圖象嗎?xy=x x2 2x-3-2-10123y=x x2 2xy=x x2 2有的放矢做一做xy0 0-4-3-2-11234108642-2?xy0 0-4-3-2-11234108642-21觀察圖象,回答問題串 議一議2xy這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸

2、就 是它的對(duì)稱軸. 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線,我們把它叫做拋物線.2xy當(dāng)x0 (在對(duì)稱軸的右側(cè))時(shí), y隨著x的增大而增大. 當(dāng)x=1時(shí)，y=1當(dāng)x=2時(shí)，y=4拋物線y=x2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn),開口向上,并且向上無限伸展;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最小,最小值是0.在學(xué)中做在做中學(xué)w(1)二次函數(shù)y=-x2的圖象是什么形狀？ 做一做你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？w(2)先想一想，然后作出它的圖象w(3)它與二次函數(shù)y=x2的圖象有什么關(guān)系？xy=-x x2 2x-3-2-10123y=-x x2 2x 做一

3、做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描點(diǎn),連線?做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1觀察圖象,回答問題串2xy這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱軸對(duì)稱,y軸就軸就 是它的對(duì)稱軸是它的對(duì)稱軸. 對(duì)稱軸與拋物對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)拋物線的頂點(diǎn).二次函數(shù)二次函數(shù)y= -x2的的圖象形如物體拋射圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線時(shí)所經(jīng)過的路線,我我們把它叫做們把它叫做拋物線拋物線.y2xy 當(dāng)x0 (在對(duì)稱軸的右側(cè))時(shí), y隨著x的增大而減小. y當(dāng)當(dāng)x= -2時(shí)時(shí),y= -4當(dāng)當(dāng)x= -1時(shí)時(shí),y= -1當(dāng)x=

4、1時(shí),y= -1 當(dāng)x=2時(shí),y= -4 拋物線y= -x2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),頂點(diǎn)是它的最高點(diǎn),開口向下,并且向下無限伸展;當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最大,最大值是0.函數(shù)y=ax2(a0)的圖象和性質(zhì) 做一做y=x2y=-x2xy0yx0?它們之間有何關(guān)系？2xy2xy 二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì).頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸.位置與開口方向.增減性與最值拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸位置開口方向增減性最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y軸y軸在x軸的上方(除頂點(diǎn)外)在x軸的下方( 除頂點(diǎn)外)向上向下當(dāng)x=0時(shí),最小值為0.當(dāng)x=0時(shí),最大值為0.在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小. 在對(duì)稱軸的右側(cè)

5、, y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大. 在對(duì)稱軸的右側(cè), y隨著x的增大而減小. 根據(jù)圖形填表： 做一做y=x2和y=-x2是y=ax2當(dāng)a=1時(shí)的特殊例子.a的符號(hào)確定著拋物線的函數(shù)y=ax2(a0)的圖象和性質(zhì): 在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象x0yy= =x2 2y=-=-x2 21.拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸.2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),它的開口向上,并且向上無限伸展； 當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減??；在對(duì)稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)y的值最小.當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸

6、的左側(cè),y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x增大而減小,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最大.二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)2xy2xy 我思，我進(jìn)步w1.已知拋物線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-8）. （1）求此拋物線的函數(shù)解析式； （2）判斷點(diǎn)B（-1，- 4）是否在此拋物線上. （3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo). 例題欣賞?解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函數(shù)解析式為y= -2x2.（2）因?yàn)?,所以點(diǎn)B（-1 ，-4）不在此拋物線上.2) 1(24（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別是 3

7、x)6, 3()6, 3(與知道就做別客氣例題欣賞w2.填空:(1)拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,對(duì)稱軸是 ,在 側(cè),y隨著x的增大而增大；在 側(cè),y隨著x的增大而減小,當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)y的值最小,最小值是 ,拋物線y=2x2在x軸的 方(除頂點(diǎn)外).w(2)拋物線 在x軸的 方(除頂點(diǎn)外),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的 ；在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的 ,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最大,最大值是 ,當(dāng)x 0時(shí),y0時(shí),拋物線y=ax2在x軸的上方（除頂點(diǎn)外）,它的開口向上,并且向上無限伸展；當(dāng)a0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)y的值最小.

8、 當(dāng)a0,開口都向上開口都向上.w想一想想一想, ,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象, ,會(huì)在什么位置會(huì)在什么位置? ? 23xy 213xy在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸(直線直線:x=1)左側(cè)左側(cè)(即即x1時(shí)時(shí)),函數(shù)函數(shù)y=3(x-1)2的值隨的值隨x的增大而增大的增大而增大,.w想一想想一想, ,在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象, ,它的增減性會(huì)是什么樣它的增減性會(huì)是什么樣? ? 議一議議一議駛向勝利的彼岸真知 從實(shí)踐走來?1.1.在上面的坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)在上面

9、的坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象的圖象. .它它與二次函數(shù)與二次函數(shù)y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖象有什么關(guān)系？它是的圖象有什么關(guān)系？它是軸對(duì)稱圖形嗎軸對(duì)稱圖形嗎? ?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么? ? 2.x取哪些值時(shí)取哪些值時(shí),函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x值的增值的增大而增大大而增大?x取哪些值時(shí)取哪些值時(shí),函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而減少？的增大而減少？ w在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=3xy=3x2 2,y=3(x-1),y=3(x-1)2 2和

10、和y=3(x+1)2的圖象的圖象 做一做做一做w完成下表完成下表, ,并比較并比較3x3x2 2,3(x-1),3(x-1)2 2和和3(x+1)2的值的值, ,它們之間有什么關(guān)系它們之間有什么關(guān)系? ? 駛向勝利的彼岸函數(shù)函數(shù)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì)x-4-3-2-10123423xy213 xy213 xy2712303122727123031227 27123031227 27 12 30312 27 圖象是軸對(duì)稱圖形圖象是軸對(duì)稱圖形.對(duì)稱軸是平行于對(duì)稱軸是平行于y軸的直線軸的直線:x= -1.頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)是點(diǎn)(-1,0).二

11、次函數(shù)二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2與與y=3x2的圖象形狀的圖象形狀相同相同,可以看作是拋可以看作是拋物線物線y=3x2整體沿整體沿x軸軸向左平移了向左平移了1 個(gè)單位個(gè)單位.w1.1.函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2 2的圖象的圖象與與y=3xy=3x2 2和和y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的圖的圖象有什么關(guān)系象有什么關(guān)系? ?它是軸對(duì)稱它是軸對(duì)稱圖形嗎圖形嗎? ?它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么坐標(biāo)分別是什么? ? 二次項(xiàng)系數(shù)相同二次項(xiàng)系數(shù)相同a0,開口都向上開口都向上.w想一想想一想, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=3(x+1)y=3(x+1)2

12、 2的圖象的增減性會(huì)怎樣的圖象的增減性會(huì)怎樣? ?23xy213 xy213xy23xy 213xy在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸(直線直線:x=-1)左側(cè)左側(cè)(即即x-1時(shí)時(shí)),函數(shù)函數(shù)y=3(x+1)2的值隨的值隨x的增大而增大的增大而增大,.w猜一猜猜一猜, ,函數(shù)函數(shù)y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的位置和形狀的圖象的位置和形狀. .w請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)請(qǐng)你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x-h)y=a(x-h)2 2的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì). . 213xy2.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2和和

13、y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在在x軸軸的下方的下方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它的開口向下它的開口向下,并且并且向下無限伸展向下無限伸展.23xy 213 xy213 xyy3.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2在對(duì)稱在對(duì)稱軸軸(x=1)的左側(cè)的左側(cè),當(dāng)當(dāng)x1時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小.當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)y的值最大的值最大(是是0);拋物線拋物線y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸(x=-1)的左側(cè)的左側(cè),當(dāng)當(dāng)x-1時(shí)時(shí), y隨著隨著x的增大而減小的增大而減小.當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)時(shí),函函數(shù)數(shù)y的值最大的值最大(是是0).二次

14、函數(shù)函數(shù)y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2, ,y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2和和y=-3xy=-3x2 2的圖象的圖象4.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2可以看作是可以看作是拋物線拋物線y=-3xy=-3x2 2沿沿x軸向右平移了軸向右平移了1個(gè)單位個(gè)單位;拋物線拋物線y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2可以看可以看作是拋物線作是拋物線y=-3xy=-3x2 2沿沿x軸向左平移軸向左平移了了1個(gè)單位個(gè)單位.X=-1X=11.拋物線拋物線y=-3(x-1)y=-3(x-1)2 2的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)是(1,0);對(duì)稱對(duì)稱軸是直線軸是直線:x=1;拋物拋

15、物線線y=-3(x+1)y=-3(x+1)2 2的頂?shù)捻旤c(diǎn)是點(diǎn)是(-1,0);對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是直線直線:x=-1.1.拋物線拋物線y=a(x-y=a(x-h)h)2 2的頂點(diǎn)是的頂點(diǎn)是(h,0),對(duì)稱軸是平行于對(duì)稱軸是平行于y軸的直線軸的直線x=h.3.當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸(x=h)的左側(cè)的左側(cè),y隨著隨著x的的增大而減小增大而減小;在對(duì)稱軸在對(duì)稱軸(x=h)右側(cè)右側(cè),y隨著隨著x的增的增大而增大大而增大;當(dāng)當(dāng)x=h時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù)y的值最小的值最小(是是0).當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),拋拋物線物線y=a(x-h)2在在x軸的上方軸的上方(除頂點(diǎn)外除頂點(diǎn)外),它它的開口向上的開口向上,并并且向上無限伸且向上無限伸展展;當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),向右移向右移 個(gè)單個(gè)單位位;當(dāng)當(dāng)h0)y=a(x-h)2 (a0h0時(shí)時(shí), ,向右平移向右平移; ;當(dāng)當(dāng)h0h0k0時(shí)向上時(shí)向上平移平移; ;當(dāng)當(dāng)k0k