電磁場(chǎng)與電磁波經(jīng)典課件

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)標(biāo)量場(chǎng)的標(biāo)量場(chǎng)的梯梯度度矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 散度散度矢量場(chǎng)的環(huán)流矢量場(chǎng)的環(huán)流 旋度旋度 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理常用的正交曲線坐標(biāo)系常用的正交曲線坐標(biāo)系第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)一、矢量與矢量場(chǎng)一、矢量與矢量場(chǎng)1 1、標(biāo)量：、標(biāo)量：2 2、矢量、矢量: :矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來(lái)表示 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AAAe AeA矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：AAAeaAae，（現(xiàn)在文獻(xiàn)中用 來(lái)表

2、示單位矢量）常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 注意注意：?jiǎn)挝皇噶坎灰欢ㄊ浅Ｊ噶?。單位矢量不一定是常矢量?xxyyzzxyzAe Ae Ae AAxAyAzA也可以表示為cosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表示 在 方向的投影，是一個(gè)標(biāo)量，(coscoscos )xyzAA eee矢量用坐標(biāo)分量表示矢量用坐標(biāo)分量表示coscoscoscoscoscoscoscoscosAxyzAAxyzeeeeaxyz或其中、分別表示矢量與 、 、 軸正向間的夾角余弦，稱為矢量 的方向余弦。zAxAAyAzxyO3. 矢量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 （1）矢量的加減法）矢

3、量的加減法（3）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積（點(diǎn)積）定義：定義：cosABA BAB xxyyzzA BA BA BA B 數(shù)學(xué)計(jì)算：對(duì)應(yīng)分量相乘的和A BB A矢量的標(biāo)積符合交換律矢量的標(biāo)積符合交換律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeAB0A B /A BA BAB AB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB（2 2）標(biāo)量乘矢量）標(biāo)量乘矢量xxyyzzkAe kAe kAe kA（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）ABsinnABe AB()()()xyzzyyzxxzzxyyxABeA BA BeA BA BeA BA BxyzxyzxyzeeeA BAAABBBA B

4、BA sinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標(biāo)分量表示為用坐標(biāo)分量表示為寫(xiě)成行列式形式為寫(xiě)成行列式形式為不滿足交換律不滿足交換律不滿足結(jié)合律不滿足結(jié)合律0,0,0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee若若 ，則，則ABABAB若若 ，則，則/AB0A B1 1、直角坐標(biāo)系、直角坐標(biāo)系 x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：( )xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)P P（x x0 0,

5、y,y0 0,z,z0 0):):坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量: :zyx,變量取值范圍：變量取值范圍：yxz微分元：微分元：xyzdre dxe dye dz1.2 三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三種常用的正交曲線坐標(biāo)系2 2、圓柱坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系 x y z O P(r0,0,z0) 0 r0 z0 reeze,rzeee單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：( )( )( )( )rxzzA rA r eA r eA r e 其位置矢量：其位置矢量：00rzrr ez e空間任一點(diǎn)空間任一點(diǎn)P(rP(r0 0, ,0 0,z,z0 0) )變量取值范圍變量取值范圍 r020z微分元微分元rzdre

6、 dr e rde dzcos ,sin ,. xryrzz為常數(shù)xyzoz( , )Mx y z( , )P rrxyzo柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為關(guān)系為r 為常數(shù)z 為常數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面22,arctan,. rxyyxzz單位矢量變換單位矢量變換sincosyreeecossinxreeesincosxyeee cossinrxyeeezzee理解：理解： 聯(lián)系力的分解與合成聯(lián)系力的分解與合成xyzo( , , )M x y z( , )P rrezere寫(xiě)成矩陣形式cossin0sincos0001

7、xryzzeeeeeecossin0sincos0001rxyzzeeeeee 轉(zhuǎn)換矩陣都是正交矩陣，正交矩陣定義：AAA AI（*表示共軛轉(zhuǎn)置，實(shí)數(shù)矩陣只需要轉(zhuǎn)置）上式兩邊同時(shí)右乘轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣， 轉(zhuǎn)換矩陣矢量的變換矢量的變換若矢量是用柱坐標(biāo)表示的，將它投影到直角坐標(biāo)系下若矢量是用柱坐標(biāo)表示的，將它投影到直角坐標(biāo)系下x、y、z軸上，則可得該矢量在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式軸上，則可得該矢量在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式sincosyyrAA eAAcossinxxrrzzxrAA eA eA eA eeAA zzAA寫(xiě)成矩陣形式cossin0sincos0001xryzzAAAAAAcossin0si

8、ncos0001rxyzzAAAAAA 柱坐標(biāo)系下的兩個(gè)矢量當(dāng)柱坐標(biāo)系下的兩個(gè)矢量當(dāng)值不相等時(shí)不能直接相加，要轉(zhuǎn)值不相等時(shí)不能直接相加，要轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系后再相加，為什么？換到直角坐標(biāo)系后再相加，為什么？3 3、球面坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reee,reee( )( )( )( )rrA rA r eA r eA r e 位置矢量：位置矢量：0 rrr e變量取值范圍變量取值范圍: :2000 r微分元：微分元：sinrdre dre rde rd r 為常數(shù)為常數(shù)為常數(shù)如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面

9、分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xryrzr球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為Pxyzo),(zyxMrzyxAxyzor22222,arctan,arctanrxyzxyzyx單位矢量變換單位矢量變換sincossinsincosrxyzeeeecos coscos sinsinxyzeeeecossinyxeeesincoscos cossinxreeeesin sincos sincosyreeeecossinzreeexyzoreree矢量的變換矢量的變換sincoscoscossinxxrrxrAA eA e

10、A eA eeAAA sinsincos sincosyyrryrAA eA eA eA eeAAA cossinzzrrzrAA eA eA eA eeAA 1.3 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度q 如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為如果物理量是標(biāo)量，稱該場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)。 例如例如：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。：溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等。q 如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為如果物理量是矢量，稱該場(chǎng)為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)。 例如例如：流速場(chǎng)：流速場(chǎng)、重力場(chǎng)重力場(chǎng)、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。、電場(chǎng)、磁場(chǎng)等。q 如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為如果場(chǎng)與時(shí)間無(wú)關(guān)，稱為靜態(tài)場(chǎng)靜態(tài)場(chǎng)，反之為，反之為時(shí)變場(chǎng)時(shí)變場(chǎng)。時(shí)變標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：時(shí)變標(biāo)量

11、場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對(duì)應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)該區(qū)域上定義了一個(gè)場(chǎng)場(chǎng)。場(chǎng)是物理量數(shù)值的無(wú)窮集合場(chǎng)是物理量數(shù)值的無(wú)窮集合從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場(chǎng)是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：靜態(tài)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)可分別表示為：方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) 在

12、一點(diǎn)在一點(diǎn) P沿某一方向的變化率問(wèn)題沿某一方向的變化率問(wèn)題oyxlP x y P0(,)( , )lim.ff xx yyf x yl定義定義記為記為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的的沿方向沿方向限為函數(shù)在點(diǎn)限為函數(shù)在點(diǎn)的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時(shí)，如果此比值時(shí)，如果此比值趨于趨于沿著沿著比值，當(dāng)比值，當(dāng)之之兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( oyxlP x y Pcoscosyfxflf對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù)),(zyxfu .c o s,c o s,c o sffxfyfzlxyzxyz意義意義：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某

13、方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場(chǎng)沿某方向的空間變化率。l特點(diǎn)特點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)：方向?qū)?shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。3. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度（ 或或 ）graduu概念概念：標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)u在點(diǎn)在點(diǎn)M處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量處的梯度是一個(gè)矢量，它的方向沿場(chǎng)量u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作gradu， 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelmaxu|ul 的最大變化率梯度的計(jì)算式梯度的計(jì)算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密頓算子，xyzeeexyz

14、 即可縮寫(xiě)為 grad uu 梯度的表達(dá)式梯度的表達(dá)式：1zuuuueeez 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 11sinruuuueeerrr 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系xyzuuuueeexyz 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系coscoscoscosccososxyzfeefffxffyzell 標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場(chǎng)在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。1.4 1.4 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 散度散度一、矢量線（力線）一、矢量線（力線） 矢量場(chǎng)的通量 二、矢量場(chǎng)的通量二、矢量場(chǎng)的通量v矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大??；矢量線的疏密表

15、征矢量場(chǎng)的大??；v矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向；矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向； 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS( )SrdAS 若若矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) 分布于空間中，在空間中存分布于空間中，在空間中存在任意曲面在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )A r為為矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r 3 3）物理含義：以流速場(chǎng)為例）物理含義：以流速場(chǎng)為例 討論：討論：1 1）面元矢量面元矢量 定義；定義；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2） ddS nS三、矢量場(chǎng)的散度三、矢量場(chǎng)的散度1、散度的定義、散度的定義2、散度

16、的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；通過(guò)閉合面通過(guò)閉合面S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；0 c) 若若 ，閉合面內(nèi)無(wú)源。，閉合面內(nèi)無(wú)源。0 在場(chǎng)空間在場(chǎng)空間 中任意點(diǎn)中任意點(diǎn)M M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場(chǎng)矢量，則定義場(chǎng)矢量 在在M M 點(diǎn)處的散度為：點(diǎn)處的散度為： ( )A rV( )A r0( )div( )limsvrdrv ASA 2)

17、2) 矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；通量：是一個(gè)積分量，范圍比較大，無(wú)法反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。通量：是一個(gè)積分量，范圍比較大，無(wú)法反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度：是一個(gè)微分值，比較小，能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。散度：是一個(gè)微分值，比較小，能夠反映每一點(diǎn)的性質(zhì)。3、散度的計(jì)算、散度的計(jì)算1) 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( ( 無(wú)源無(wú)源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r 3) 3) 表征該點(diǎn)單位體積內(nèi)源的強(qiáng)度。表征該點(diǎn)單位體積內(nèi)源的強(qiáng)度。 討論：在矢量場(chǎng)中，討論：在矢量場(chǎng)中， 1 1）若）若 ，則該矢量場(chǎng)稱為有

18、源場(chǎng)，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)， 為源密度為源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)。處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無(wú)源場(chǎng)。( )yxzFFFdivF rxyz( )( )() ()xyzxxyyzzdivF rF reeeF eF eF exyz ()( )xyzxxyyzzeeexyzF rF eF eF e 哈密頓算符哈密頓算符2) 在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：3) 在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：1()rzeeerrz ()11( )rzFrFFF rrrrz11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF

19、 rr FFrrrr四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場(chǎng)中場(chǎng) 與邊界與邊界S S上的場(chǎng)上的場(chǎng) 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( )F r( )F r1.5 1.5 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度一、矢量的環(huán)流一、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計(jì)算ACP環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：設(shè)有矢量場(chǎng)設(shè)有矢量場(chǎng) ，沿場(chǎng)中任一閉合的，沿場(chǎng)中任一閉合的有向路徑有向路徑l l的積分，叫作的積分，叫作 沿曲線沿曲線l l的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )A r( )A r( )lA rdl討論：討論：1 1）線元矢量）

20、線元矢量 的定義；的定義；dl3 3）環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流為零，矢量場(chǎng)無(wú)渦漩流動(dòng)；）環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流為零，矢量場(chǎng)無(wú)渦漩流動(dòng)；反之，則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)。反之，則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)。( )( ) cos ( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量場(chǎng)漩渦源分反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。布情況。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1. 1. 環(huán)流面密度環(huán)流面密度在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 空間中，圍繞空間某點(diǎn)空間中，圍繞空間某點(diǎn)M M取一面元取一面元S S，其，其邊界曲線為邊界曲線為C C，面元法線方向?yàn)?，面元法線方向?yàn)?，當(dāng)面元面積無(wú)限縮小，當(dāng)面元面積無(wú)限縮小時(shí)，可定義時(shí)，可定義 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處的環(huán)

21、量面密度處的環(huán)量面密度( )A r n( )A r0limcsA dls SSnACM環(huán)流面密度的計(jì)算公式：環(huán)流面密度的計(jì)算公式：0lim()cos()cos()coscsyyxxzzA dlsAAAAAAyzzxxy 其中其中 為為點(diǎn)點(diǎn)M M處處 的方向余弦的方向余弦 ncoscoscos、2. 2. 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的旋度旋度 在直角坐標(biāo)中，若定義在直角坐標(biāo)中，若定義F F為：為：0limc o s (,)cSAd lFnFFnS式中：式中： 表示面元單位法線方向；表示面元單位法線方向； n()()()yyxxzzxyzAAAAAAFeeeyzzxxy則稱：矢量則稱：矢量F F為矢量為矢量A

22、 A的旋度，記作：的旋度，記作：FrotA 旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲笮仁且粋€(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用環(huán)量密度的方向。用 表示表示rot A物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。3. 3. 旋度的物理意義旋度的物理意義4. 4. 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算1 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；2 2）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度；）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度；1) 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：()()()yyxxzzxyzAAA

23、AAArotAeeeyzzxxy ()xyzxxyyzzeeee Ae Ae AxyzxyzxxxeeeAxyzAAA 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理c()SlddAlAS四、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)四、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì) 意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分線上的線積分。0)(F0)(u1.6 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理一一. . 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的散度散度、旋度旋度和和邊界邊界條件條件（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊

24、界上的分布）唯一確定。這就是（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。亥姆霍茲定理的內(nèi)容。二二. . 矢量場(chǎng)的分類矢量場(chǎng)的分類根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1) 1) 調(diào)和場(chǎng)調(diào)和場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 或或 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為調(diào)和場(chǎng)。為調(diào)和場(chǎng)。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。2) 2) 有源無(wú)旋場(chǎng)有源無(wú)旋場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某