電磁場與電磁波經(jīng)典課件

1、第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)標量場的標量場的梯梯度度矢量場的通量矢量場的通量 散度散度矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理常用的正交曲線坐標系常用的正交曲線坐標系第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 矢量分析基礎(chǔ)矢量分析基礎(chǔ)一、矢量與矢量場一、矢量與矢量場1 1、標量：、標量：2 2、矢量、矢量: :矢量的幾何表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示一個矢量可用一條有方向的線段來表示 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示：AAAe AeA矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量矢量的單位矢量：AAAeaAae，（現(xiàn)在文獻中用 來表

2、示單位矢量）常矢量常矢量：大小和方向均不變的矢量。大小和方向均不變的矢量。 注意注意：單位矢量不一定是常矢量。單位矢量不一定是常矢量。 xxyyzzxyzAe Ae Ae AAxAyAzA也可以表示為cosxcoscosxxyzAAAAAAAA，表示 在 方向的投影，是一個標量，(coscoscos )xyzAA eee矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscoscoscoscoscoscoscosAxyzAAxyzeeeeaxyz或其中、分別表示矢量與 、 、 軸正向間的夾角余弦，稱為矢量 的方向余弦。zAxAAyAzxyO3. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 （1）矢量的加減法）矢

3、量的加減法（3）矢量的標積（點積）矢量的標積（點積）定義：定義：cosABA BAB xxyyzzA BA BA BA B 數(shù)學(xué)計算：對應(yīng)分量相乘的和A BB A矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律1xxyyzzeeeeee0 xyyzzxeeeeeeAB0A B /A BA BAB AB矢量矢量 與與 的夾角的夾角AB（2 2）標量乘矢量）標量乘矢量xxyyzzkAe kAe kAe kA（4）矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）ABsinnABe AB()()()xyzzyyzxxzzxyyxABeA BA BeA BA BeA BA BxyzxyzxyzeeeA BAAABBBA B

4、BA sinABBABA矢量矢量 與與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式形式為寫成行列式形式為不滿足交換律不滿足交換律不滿足結(jié)合律不滿足結(jié)合律0,0,0,xxyyzzxyzyzxzxyeeeeeeeeeeeeeee若若 ，則，則ABABAB若若 ，則，則/AB0A B1 1、直角坐標系、直角坐標系 x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 A xeyeze,xyzeee單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：( )xxyyzzA rA eA eA e 其位置矢量其位置矢量：000 xyzrx ey ez e空間任一點空間任一點P P（x x0 0,

5、y,y0 0,z,z0 0):):坐標變量坐標變量: :zyx,變量取值范圍：變量取值范圍：yxz微分元：微分元：xyzdre dxe dye dz1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系2 2、圓柱坐標系、圓柱坐標系 x y z O P(r0,0,z0) 0 r0 z0 reeze,rzeee單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)：( )( )( )( )rxzzA rA r eA r eA r e 其位置矢量：其位置矢量：00rzrr ez e空間任一點空間任一點P(rP(r0 0, ,0 0,z,z0 0) )變量取值范圍變量取值范圍 r020z微分元微分元rzdre

6、 dr e rde dzcos ,sin ,. xryrzz為常數(shù)xyzoz( , )Mx y z( , )P rrxyzo柱面坐標與直角坐標的柱面坐標與直角坐標的關(guān)系為關(guān)系為r 為常數(shù)z 為常數(shù)如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面22,arctan,. rxyyxzz單位矢量變換單位矢量變換sincosyreeecossinxreeesincosxyeee cossinrxyeeezzee理解：理解： 聯(lián)系力的分解與合成聯(lián)系力的分解與合成xyzo( , , )M x y z( , )P rrezere寫成矩陣形式cossin0sincos0001

7、xryzzeeeeeecossin0sincos0001rxyzzeeeeee 轉(zhuǎn)換矩陣都是正交矩陣，正交矩陣定義：AAA AI（*表示共軛轉(zhuǎn)置，實數(shù)矩陣只需要轉(zhuǎn)置）上式兩邊同時右乘轉(zhuǎn)換矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣， 轉(zhuǎn)換矩陣矢量的變換矢量的變換若矢量是用柱坐標表示的，將它投影到直角坐標系下若矢量是用柱坐標表示的，將它投影到直角坐標系下x、y、z軸上，則可得該矢量在直角坐標系下的表達式軸上，則可得該矢量在直角坐標系下的表達式sincosyyrAA eAAcossinxxrrzzxrAA eA eA eA eeAA zzAA寫成矩陣形式cossin0sincos0001xryzzAAAAAAcossin0si

8、ncos0001rxyzzAAAAAA 柱坐標系下的兩個矢量當柱坐標系下的兩個矢量當值不相等時不能直接相加，要轉(zhuǎn)值不相等時不能直接相加，要轉(zhuǎn)換到直角坐標系后再相加，為什么？換到直角坐標系后再相加，為什么？3 3、球面坐標系、球面坐標系單位方向矢量單位方向矢量：矢量函數(shù)矢量函數(shù)： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reee,reee( )( )( )( )rrA rA r eA r eA r e 位置矢量：位置矢量：0 rrr e變量取值范圍變量取值范圍: :2000 r微分元：微分元：sinrdre dre rde rd r 為常數(shù)為常數(shù)為常數(shù)如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面

9、分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面sincos ,sinsin ,cos .xryrzr球面坐標與直角坐標的關(guān)系為球面坐標與直角坐標的關(guān)系為Pxyzo),(zyxMrzyxAxyzor22222,arctan,arctanrxyzxyzyx單位矢量變換單位矢量變換sincossinsincosrxyzeeeecos coscos sinsinxyzeeeecossinyxeeesincoscos cossinxreeeesin sincos sincosyreeeecossinzreeexyzoreree矢量的變換矢量的變換sincoscoscossinxxrrxrAA eA e

10、A eA eeAAA sinsincos sincosyyrryrAA eA eA eA eeAAA cossinzzrrzrAA eA eA eA eeAA 1.3 標量場的梯度標量場的梯度q 如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q 如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場：流速場、重力場重力場、電場、磁場等。、電場、磁場等。q 如果場與時間無關(guān)，稱為如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量

11、場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個該區(qū)域上定義了一個場場。場是物理量數(shù)值的無窮集合場是物理量數(shù)值的無窮集合從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場標量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) 在

12、一點在一點 P沿某一方向的變化率問題沿某一方向的變化率問題oyxlP x y P0(,)( , )lim.ff xx yyf x yl定義定義記為記為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的的沿方向沿方向限為函數(shù)在點限為函數(shù)在點的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時，如果此比值時，如果此比值趨于趨于沿著沿著比值，當比值，當之之兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( oyxlP x y Pcoscosyfxflf對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)),(zyxfu .c o s,c o s,c o sffxfyfzlxyzxyz意義意義：方向?qū)?shù)表示場沿某

13、方向的空間變化率：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。l特點特點：方向?qū)?shù)既與點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與 方向有關(guān)方向有關(guān)。3. 標量場的梯度標量場的梯度（ 或或 ）graduu概念概念：標量場標量場u在點在點M處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量處的梯度是一個矢量，它的方向沿場量u變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作變化率最大的方向，大小等于其最大變化率，并記作gradu， 其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向max|luuel luelmaxu|ul 的最大變化率梯度的計算式梯度的計算式： xyzuuugrad ueeexyz引入哈密頓算子，xyzeeexyz

14、 即可縮寫為 grad uu 梯度的表達式梯度的表達式：1zuuuueeez 圓柱坐標系圓柱坐標系 11sinruuuueeerrr 球坐標系球坐標系xyzuuuueeexyz 直角坐標系直角坐標系 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系coscoscoscosccososxyzfeefffxffyzell 標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。1.4 1.4 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度一、矢量線（力線）一、矢量線（力線） 矢量場的通量 二、矢量場的通量二、矢量場的通量v矢量線的疏密表征矢量場的大?。皇噶烤€的疏密表

15、征矢量場的大?。籿矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向； 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS( )SrdAS 若若矢量場矢量場 分布于空間中，在空間中存分布于空間中，在空間中存在任意曲面在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )A r為為矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r 3 3）物理含義：以流速場為例）物理含義：以流速場為例 討論：討論：1 1）面元矢量面元矢量 定義；定義；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2） ddS nS三、矢量場的散度三、矢量場的散度1、散度的定義、散度的定義2、散度

16、的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場的散度是一個標量；矢量場的散度是一個標量；通過閉合面通過閉合面S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；0 c) 若若 ，閉合面內(nèi)無源。，閉合面內(nèi)無源。0 在場空間在場空間 中任意點中任意點M M 處作一個閉合曲面，所圍的體積處作一個閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點處的散度為：點處的散度為： ( )A rV( )A r0( )div( )limsvrdrv ASA 2)

17、2) 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；通量：是一個積分量，范圍比較大，無法反映每一點的性質(zhì)。通量：是一個積分量，范圍比較大，無法反映每一點的性質(zhì)。散度：是一個微分值，比較小，能夠反映每一點的性質(zhì)。散度：是一個微分值，比較小，能夠反映每一點的性質(zhì)。3、散度的計算、散度的計算1) 在直角坐標系下：在直角坐標系下：( ( 無源無源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負負源源) )( )0divF r 3) 3) 表征該點單位體積內(nèi)源的強度。表征該點單位體積內(nèi)源的強度。 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中， 1 1）若）若 ，則該矢量場稱為有

18、源場，則該矢量場稱為有源場， 為源密度為源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場稱為無源場。處處成立，則該矢量場稱為無源場。( )yxzFFFdivF rxyz( )( )() ()xyzxxyyzzdivF rF reeeF eF eF exyz ()( )xyzxxyyzzeeexyzF rF eF eF e 哈密頓算符哈密頓算符2) 在圓柱坐標系下：在圓柱坐標系下：3) 在球面坐標系下：在球面坐標系下：1()rzeeerrz ()11( )rzFrFFF rrrrz11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF

19、 rr FFrrrr四、散度定理（矢量場的高斯定理）四、散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場中場 與邊界與邊界S S上的場上的場 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( )F r( )F r1.5 1.5 矢量場的矢量場的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度一、矢量的環(huán)流一、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計算ACP環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：設(shè)有矢量場設(shè)有矢量場 ，沿場中任一閉合的，沿場中任一閉合的有向路徑有向路徑l l的積分，叫作的積分，叫作 沿曲線沿曲線l l的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )A r( )A r( )lA rdl討論：討論：1 1）線元矢量）

20、線元矢量 的定義；的定義；dl3 3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運動。反之，則矢量場存在渦漩運動。( )( ) cos ( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量場漩渦源分反映矢量場漩渦源分布情況。布情況。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1. 1. 環(huán)流面密度環(huán)流面密度在場矢量在場矢量 空間中，圍繞空間某點空間中，圍繞空間某點M M取一面元取一面元S S，其，其邊界曲線為邊界曲線為C C，面元法線方向為，面元法線方向為 ，當面元面積無限縮小，當面元面積無限縮小時，可定義時，可定義 在點在點M M處的環(huán)

21、量面密度處的環(huán)量面密度( )A r n( )A r0limcsA dls SSnACM環(huán)流面密度的計算公式：環(huán)流面密度的計算公式：0lim()cos()cos()coscsyyxxzzA dlsAAAAAAyzzxxy 其中其中 為為點點M M處處 的方向余弦的方向余弦 ncoscoscos、2. 2. 矢量場的矢量場的旋度旋度 在直角坐標中，若定義在直角坐標中，若定義F F為：為：0limc o s (,)cSAd lFnFFnS式中：式中： 表示面元單位法線方向；表示面元單位法線方向； n()()()yyxxzzxyzAAAAAAFeeeyzzxxy則稱：矢量則稱：矢量F F為矢量為矢量A

22、 A的旋度，記作：的旋度，記作：FrotA 旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。用環(huán)量密度的方向。用 表示表示rot A物理意義物理意義：旋渦源密度矢量。旋渦源密度矢量。3. 3. 旋度的物理意義旋度的物理意義4. 4. 旋度的計算旋度的計算1 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；2 2）矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；）矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；1) 在直角坐標系下：在直角坐標系下：()()()yyxxzzxyzAAA

23、AAArotAeeeyzzxxy ()xyzxxyyzzeeee Ae Ae AxyzxyzxxxeeeAxyzAAA 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理c()SlddAlAS四、矢量場旋度的重要性質(zhì)四、矢量場旋度的重要性質(zhì) 意義：矢量場的旋度在曲面上的積意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分線上的線積分。0)(F0)(u1.6 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理一一. . 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度散度、旋度旋度和和邊界邊界條件條件（即矢量場在有限區(qū)域邊

24、界上的分布）唯一確定。這就是（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。亥姆霍茲定理的內(nèi)容。二二. . 矢量場的分類矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1) 1) 調(diào)和場調(diào)和場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 或或 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為調(diào)和場。為調(diào)和場。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。2) 2) 有源無旋場有源無旋場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某