反常積分的斂散性判定方法

1、內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)本科學(xué)年論文反常積分?jǐn)可⑿缘呐卸ǚ椒ㄗ?者 陳志強 學(xué) 院 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級 2012級 學(xué) 號 122094102 指導(dǎo)教師 魏運 導(dǎo)師職稱 教授 最終成績 75分 目 錄摘要 .1關(guān)鍵詞.1 引言-2一、預(yù)備知識. 2 1.無窮限反常積分.2 2.瑕積分.33.反常積分的性質(zhì).3二、反常積分的收斂判別法.4 1無窮積分的收斂判別.4(1).定義判別法.4 (2).比較判別法.4 (3).柯西判別法.5 (4)阿貝爾判別法. 6 (5).狄利克雷判別法.7 2瑕積分的收斂判別. .8 (1).定義判別法.8 (2).定理判別法.9 (3).比較判別

2、法.9 (4).柯西判別法.9 (5).阿貝爾判別法.10 (6).狄利克雷判別法.10參考文獻(xiàn). 11 摘要 在很多實際問題中，要突破積分區(qū)間的有窮性和被積函數(shù)的有界性，由此得到了定積分的兩種形式的推廣：無窮限反常積分和瑕積分。我們將這兩種積分統(tǒng)稱為反常積分。因為反常積分涉及到一個收斂問題，所以反常積分的斂散性判定就顯得非常重要了。本文將對反常積分的斂散性判定進(jìn)行歸納總結(jié)，并給出了相關(guān)定理的證明，舉例說明其應(yīng)用，這樣將有助于我們靈活的運用各種等價定理判斷反常積分的斂散性。關(guān)鍵詞：反常積分 瑕積分 極限 斂散性 引言近些年以來，一些數(shù)學(xué)工作者對反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e方法做了研究并取得了許多重要的

3、進(jìn)展。如華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上冊），對反常積分積分的定義，性質(zhì)的運用及講義其判別收斂性的方法。華中科技大學(xué)出版的數(shù)學(xué)分析理論方法與技巧，也對反常積分?jǐn)可⑿耘袆e做了詳細(xì)的講解，還用圖形的方法說明其意義。引申出反常積分?jǐn)可⑿缘牡葍r定義，并通過例題說明其應(yīng)用。眾多學(xué)者研究的內(nèi)容全而廣，實用性很高，尤其是在研究斂散性的判別很明顯，這對我現(xiàn)所研究的論文題目提供了大量的理論依據(jù)和參考文獻(xiàn)，對我完成此次論文有很大的幫助，但絕大多數(shù)文獻(xiàn)只是對其一種方法進(jìn)行研究，而本文將對其進(jìn)行歸納總結(jié)，舉例說明其應(yīng)用。一 、 預(yù)備知識1.無窮限反常積分定義1.1設(shè)函數(shù)在，）有定義，若在，A上可積（A>a）且

4、當(dāng)A時， 存在，稱反常積分 收斂，否則稱反常積分 與發(fā)散。對反常積分與注意：只有當(dāng)和都收斂時，才認(rèn)為是收斂的。2.瑕積分定義1：設(shè)f(x)在a的任何鄰域內(nèi)均無界，則稱a為f(x)的一個瑕點定義2：設(shè)f(x)在內(nèi)有定義，且b為唯一瑕點，若存在，稱瑕積分收斂定義3：設(shè)C且為f(x)的一個瑕點，若和均收斂，則稱瑕積分3.反常積分的性質(zhì)(1)Cauchy收斂原理：收斂>0，>a,當(dāng)>>時，有<(2)線性性質(zhì)：若與都收斂，則對任意常數(shù)，也收斂，且有=(3)積分區(qū)間可加性，若收斂，則b,=.(4)若收斂，則。2、 反常積分的斂散性判別法1.無窮積分的斂散性判別 （1）定義判別

5、法設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積.如果存在極限 ，則稱收斂，否則發(fā)散，即相應(yīng)定積分的極限存在廣義積分收斂，定積分的極限不存在廣義積分發(fā)散例1.1計算無窮積分 （是常數(shù)，且）解：式中 (2).比較判別法的普通形式：在有定義，且（a）<<（b）=+=+例1.2 討論的收斂性 解：由于 ， 因為為收斂，所以根據(jù)比較判別法為絕對收斂。(3).比較判別法的極限形式：在有定義，且非負(fù)，且則： （a）當(dāng)<< （b）= （c）<<時，具有相同點斂散性。 證：（1)若，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A（A>a）使得當(dāng)時成立 即 于是由比較判別法，當(dāng)收斂時也收斂

6、（2）若，由極限的性質(zhì)，存在常數(shù)A（A），使得當(dāng)時成立 其中0于是由比較判別法，當(dāng)發(fā)散時也發(fā)散 例 1.3 討論的斂散性 解：，而收斂，所以收斂 總結(jié)：使用比較判別法，需要一個斂散性判別結(jié)論明確，同時又形成簡單的函數(shù)作為比較對象，在上面的例子中我們都是取為比較對象的，因為它們正好能滿足這倆個條件 (4).柯西判別法： 設(shè)在有定義，在任何有限區(qū)間上可積，且則有：當(dāng)時，收斂當(dāng)，時，發(fā)散 (5).阿貝爾判別法：滿足： （a）單調(diào)有界 （b）收斂 則收斂證：由于存在M>0，使 再由（2）可知，>0,當(dāng)時，有<又=（+）=2 再次由柯西準(zhǔn)則知Abel定理成立。例1.4 證 (0<

7、)收斂利用阿貝爾判別法，因為收斂，又在上單調(diào)有界，故是收斂的(6). Dirichlet判別法：滿足 （1）f(x)單調(diào)且趨于0（x0） （2）有界（a>A） 則收斂。證：由于存在M>0，有界，所以有又由于f（x）0（x)故對>0,當(dāng)時，有即，所以同理有，故當(dāng)時，有 例1.5 證積分收斂，但不絕對收斂證：，而單調(diào)且當(dāng)時趨于0，故由Dirichlet判別法知收斂；但= 而，單調(diào)趨于0，故收斂，而發(fā)散，故發(fā)散例1.6 積分的斂散性 當(dāng)時是可積的；當(dāng)時，它是不可積的，因為這時被積函數(shù)在上無界。但作為反常積分，當(dāng)時收斂；當(dāng)時發(fā)散；因為當(dāng)時有 而當(dāng)時有例1.7 積分作為反常積分，當(dāng)時它

8、收斂；當(dāng)時它發(fā)散。這是因為當(dāng)時有而當(dāng)p=-1時有2. 瑕積分的收斂判別 （1）定義判別法設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，在點a的任一右鄰域上無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間有限區(qū)間上有界且可積.如果存在極限 ，則稱反常積分收斂.，否則發(fā)散例2.1計算瑕積分的值解：被積函數(shù)在上連續(xù)，從而在任何上可積，為其瑕點.依定義求得 (2)定理判別法（柯西收斂原理） 瑕積分（瑕點為a）收斂的充要條件是：任給，存在，只要總有=0< (3).比較法則 設(shè)f(x)定義于，a為其瑕點，且在任何上可積，如果 當(dāng)時，收斂 當(dāng)，時，發(fā)散 (4).柯西判別法 設(shè)x=a是f(x)的瑕點，如果 那么絕對收斂；如果那么發(fā)散 例2.2 討論的斂散性（） 解：x=0是其唯一奇點。 當(dāng)時，取，則，由柯西判別法知，收斂 類似的， 當(dāng)時，取，則由柯西判別法知，發(fā)散 當(dāng) 時，可以直接用Newton-leibniz公式得到因此,當(dāng)時，反常積分收當(dāng)斂;當(dāng)時，反常積分發(fā)散 (5).阿貝爾判別法 設(shè)f(x)在x=a有奇點，收斂，g(x)單調(diào)有界，那么積分收斂 (6).狄利克雷判別法 設(shè)f(x)在x=a有奇點， 是的有界函數(shù)，g(x)單調(diào)且當(dāng)xa時趨于零，那么積分例2.3 討論積分的收斂情形 當(dāng)時，積分絕對收斂，又 當(dāng)即時，由狄利克雷判別法，從單調(diào)趨向于零（）推知積分收斂.當(dāng)時，所以積分發(fā)散參考文獻(xiàn)【1】歐陽光