平面向量的綜合應(yīng)用

1、平面向量的綜合應(yīng)用一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，則c_(用a，b表示).2某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則ab表示_3設(shè)a、b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為_4已知|a|2|b|，|b|0且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是_5.已知e1、e2是夾角為的兩個單位向量，ae12e2，bke1e2，若a·b0，則實(shí)數(shù)k_. 6平面上有四個互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()

2、0，則ABC的形狀是_三角形7已知a，b(1，)，則|atb| (tR)的最小值等于_8設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，則下列命題正確的有_(填序號)(a·b)c(c·a)b0；|a|b|<|ab|；(b·c)a(a·c)b不與c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.9在正三角形ABC中，D是BC上的點(diǎn)若AB3，BD1，則·_.10.在矩形ABCD中，AB，BC2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·，則·_ 11.已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°，|a

3、|1，|b|2，|c|3，則向量abc與向量a的夾角是_12.設(shè)e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，已知e1，e2，x·y· (x，y為實(shí)數(shù))若PMN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則xy取值的集合為_13.如圖放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上(含原點(diǎn))滑動，則·的最大值是_14.在ABC中，AB1，AC2，O為ABC外接圓的圓心，則·_.二、解答題：本大題共6小題，共90分15（本小題滿分14分）已知銳角中的三個內(nèi)角分別為 （1）設(shè)，求證：是等腰三角形；（2）設(shè)向量, ,且,若，求的值16（本小題滿分14分

4、）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)， C(2，1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·0，求t的值17. （本小題滿分14分）設(shè)向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)， c(cos，4sin)(1) 若a與b2c垂直，求tan()的值； (2) 求|bc|的最大值； (3) 若tantan16，求證：ab.18. （本小題滿分16分）已知平面上三點(diǎn)A、B、C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求k的值19. （本小題

5、滿分16分）已知向量a(cosxsinx，sinx)， b(cosxsinx，2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中、為常數(shù)，且. (1) 求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2) 若yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍20（本小題滿分16分）已知兩個不共線的向量a，b的夾角為，且|a|3，|b|1，x為正實(shí)數(shù)(1)若a2b與a4b垂直，求tan ；(2)若，求|xab|的最小值及對應(yīng)的x的值，并指出向量a與xab的位置關(guān)系；(3)若為銳角，對于正實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程|xab|ma|有兩個不同的正實(shí)數(shù)解，且xm，求m的取值范圍平面向量的綜

6、合應(yīng)用參考答案13ab 2.向東北走3 km 3.1 4. 5. 6.等腰 7. 8.9. 10. 11. 150°.第11題解析 由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos 120°3cos 120°，|abc|.設(shè)向量abc與向量a的夾角為，則cos ，即150°，故向量abc與向量a的夾角為150°.12.1第12題解析 由題意得|1，·，又因?yàn)镻MN是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以有·0，即()·()0，所以(x1) y)·()0，得(1x)y(x1y)0，所

7、以(xy)，即xy1，故xy取值的集合為113.2第13題解析 設(shè)OAD，則OAAD·cos cos ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos cos(90°)，sin(90°)，即B(cos sin ，cos )，同理可求得C(sin ，sin cos )，所以·(cos sin ，cos )·(sin ，sin cos )1sin 2.所以(·)max2.14. 第14題解析 法一：··()··，又|，|，所以即··，故·.法二：過O作OD垂直于BC，垂足為D，因?yàn)镺是三角形AB

8、C的外接圓圓心，所以D為線段BC的中點(diǎn)， 所以，則·()· · ()·()|2|2.15. (1) 因?yàn)? 4分 所以，即，故ABC為等腰三角形6分（2） , ，即, 為銳角， 8分, 10分又，且為銳角，12分14分16(1)由題設(shè)知(3,5)，(1,1)，則(2,6)，(4,4)4分所以|2，|4.故所求的兩條對角線長分別為4，2. 6分(2)由題設(shè)知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，10分從而5t11，所以t 14分17.(1)b2c(sin2cos，4cos8sin)， a與b2c垂

9、直， 4cos(sin2cos)sin(4cos8sin)0， sin()2cos()，即tan()2. 4分(2) bc(sincos，4cos4sin)，|bc|4，9分則|bc|的最大值為4.(3) 證明：由tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，所以ab. 14分18(1)由三點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，得A、B、C在同一條直線上，即向量與平行，4(2k)2×30，解得k. 4分(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1) 6分ABC為直角三角形，則當(dāng)BAC是直角時，即·0，2k40，解得k2；8分當(dāng)ABC是直角時，即

10、83;0，2k30，解得k3或k1；10分當(dāng)ACB是直角時，即·0，162k0，解得k8.12分綜上得k2，1,3,8 16分19. (1) f(x)sin2xcos2x2sinx·cosxcos2xsin2x2sin. 4分由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故，4分所以f(x)的最小正周期是. 6分(2) 由(1)知f(x)2sin.由yf(x)的圖象過點(diǎn)，得f0, 即2sin2sin，即，10分故f(x)2sin.由0x有x， 所以sin1，得12sin2， 故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，

11、2. 16分20解(1)由題意得，(a2b)(a4b)0，即a22a·b8b20，得322×3×1×cos 8×120，得cos ，2分又(0，)，故，因此，sin ， tan . 4分(2)|xab|，6分故當(dāng)x時，|xab|取得最小值為，8分此時，a·(xab)xa2a·b×93×1×cos 0，故向量a與xab垂直10分(3)對方程|xab|ma|兩邊平方整理，得9x2(6cos )x19m20，設(shè)方程的兩個不同正實(shí)數(shù)解為x1，x2，則由題意得， 12分解之得，sin <m<.若x