二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、一、二次函數(shù)的定義1.一般地，形如 （為常數(shù)，）的函數(shù)稱為的二次函數(shù)，其中為自變量，為因變量，分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二、二次函數(shù)的性質(zhì)1二次函數(shù)的性質(zhì)：（1） 拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），對(duì)稱軸是（ 軸）.（2） 函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系. 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大

2、而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2. 的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3. 二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)若二次函數(shù)解析式為（或）()，則：（1） 開口方向：， （2） 對(duì)稱軸：（或），（3） 頂點(diǎn)坐標(biāo)：（或）（4） 最值： 時(shí)有最小值（或）（如圖1）； 時(shí)有最大值（或）（如圖2）； （5）單調(diào)性：二次函數(shù)（）的變化情況（增減性） 如圖1所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)，隨著的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè) ，隨的增大而增大； 如圖

3、2所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)， y隨著x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)，隨的增大而減??；（6）與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與軸的交點(diǎn)：（0，C）；與軸的交點(diǎn)：使方程（或）成立的值.3. 二次函數(shù)圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)）.畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).三、二次函數(shù)的圖像與系數(shù)關(guān)系1. 決定拋物線的開口方向： 當(dāng)時(shí)拋物線開口向上；當(dāng)時(shí)拋物線開口向下決定拋

4、物線的開口大小：越大，拋物線開口越??； 越小，拋物線開口越大.注：幾條拋物線的解析式中，若相等，則其形狀相同，即若相等，則開口及形狀相同，若互為相反數(shù)，則形狀相同、開口相反.2. 和共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.（對(duì)稱軸為：）當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為軸；當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)；當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的右側(cè).3. 的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置.（拋物線與軸的交點(diǎn)為）當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的正半軸；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸.板塊二二次函數(shù)圖像特征函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)時(shí)，開口向上當(dāng)時(shí)，開口向下（軸）（軸）二、二次函數(shù)的三種表達(dá)方式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：（3）雙

5、根式（交點(diǎn)式）：2.如何設(shè)點(diǎn)： 一次函數(shù)（）圖像上的任意點(diǎn)可設(shè)為.其中時(shí)，該點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn). 二次函數(shù)（）圖像上的任意一點(diǎn)可設(shè)為.時(shí)，該點(diǎn)為拋物線與軸交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn) 點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為4.如何設(shè)解析式： 已知任意3點(diǎn)坐標(biāo)，可用一般式求解二次函數(shù)解析式； 已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式； 已知拋物線與的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式. 已知拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等時(shí)，可用對(duì)稱點(diǎn)式求解函數(shù)解析式（交點(diǎn)式可視為對(duì)稱點(diǎn)式的特例）注：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，

6、拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.一、二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn); 方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).二、二次函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系1.二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系：1.直線與拋物線的交點(diǎn): （1）軸與拋物線得交點(diǎn)為(0, ). （2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)(,). （3）拋物線與軸的交點(diǎn):二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

7、有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸相交； 有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）拋物線與軸相切； 沒有交點(diǎn)拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn) 同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線與軸兩交點(diǎn)為，由于、是方程的兩個(gè)根，故2.二次函數(shù)常用解題方法 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號(hào)，或由二次函數(shù)中，的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)

8、稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo). 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.3.二次函數(shù)與一元二次方程之根的分布（選講）所謂一元二次方程，實(shí)質(zhì)就是其相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn)（圖象與軸的交點(diǎn)問題，因此，二次方程的實(shí)根分布問題，即二次方

9、程的實(shí)根在什么區(qū)間內(nèi)的問題，借助于二次函數(shù)及其圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法來研究是非常有益的設(shè)的二實(shí)根為，且是預(yù)先給定的兩個(gè)實(shí)數(shù) 當(dāng)兩根都在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件：，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當(dāng)時(shí)的充要條件是：，當(dāng)時(shí)的充要條件是：，兩種情形合并后的充要條件是： 當(dāng)兩根中有且僅有一根在區(qū)間內(nèi)，方程系數(shù)所滿足的充要條件；或，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象有下列四種情形：從四種情形得充要條件是： 當(dāng)兩根都不在區(qū)間內(nèi)方程系數(shù)所滿足的充要條件：當(dāng)兩根分別在區(qū)間的兩旁時(shí)；對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象有下列兩種情形：當(dāng)時(shí)的充要條件是：，當(dāng)時(shí)充要條件是：，兩種情形合并后的充要條件是：， 當(dāng)兩根分別在區(qū)間之外的同側(cè)時(shí)：或，

10、對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象有下列四種情形：當(dāng)時(shí)的充要條件是：， 當(dāng)時(shí)的充要條件是：， 4區(qū)間根定理如果在區(qū)間上有，則至少存在一個(gè)，使得此定理即為區(qū)間根定理，又稱作勘根定理，它在判斷根的位置的時(shí)候會(huì)發(fā)揮巨大的威力二次函數(shù)與三角形在直角坐標(biāo)系中，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，如果三角形的三條邊中有一條邊與坐標(biāo)軸平行，可以直接運(yùn)用三角形面積公式求解三角形面積.如果三角形的三條邊與坐標(biāo)軸都不平行，則通常有以下方法：1.如圖，過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)作與軸或軸的平行線，將原三角形分割成兩個(gè)滿足一條邊與坐標(biāo)軸平行的三角形，分別求出面積后相加 其中,兩點(diǎn)坐標(biāo)可以通過或的直線方程以及或點(diǎn)坐標(biāo)得到2.如圖，首先計(jì)算三角形的外接矩形的

11、面積，然后再減去矩形內(nèi)其他各塊面積. 所涉及的各塊面積都可以通過已知點(diǎn)之間的坐標(biāo)差直接求得3.如圖，通過三個(gè)梯形的組合，可求出三角形的面積.該方法不常用4.如圖，作三角形的高，運(yùn)用三角形的面積公式求解四邊形的面積該方法不常用，如果三角形的一條邊與平行，則可以快速求解二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”二、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá) 1. 關(guān)于軸對(duì)稱 關(guān)于軸對(duì)稱后，得到