2009A數(shù)學建模

1、承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?/p>

2、參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期：年月日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2011高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：制動器試驗臺的控制方法分析摘 要制動器試驗臺用于模擬理想的路試環(huán)境下汽車的制動過程，從而檢驗制動器的性能。試驗臺上用飛輪組的轉(zhuǎn)動慣量模擬路試中汽車的慣性，使得飛輪組的轉(zhuǎn)動動能與汽車的平動動能相當。對于前兩問，運用力學

3、知識，根據(jù)質(zhì)量守恒方程，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量計算公式經(jīng)過計算即可得到結(jié)果；對于第三問，通過題目中所給定的驅(qū)動電流的算法。列出微分方程,由理論力學公式可以知道，所以可以推出電流與可觀測量之間的關(guān)系為 ， 即為建立的數(shù)學模型， 將問題1和問題2的條件帶入，可計算出驅(qū)動電流的大小。對于第四問，需要分別求出路試時的制動器和相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量，以求他們的能量差值和相對誤差。通過計算差值和相對誤差能確定其精確度。對于第五問，可以根據(jù)某時刻測得的制動扭矩控制下一個時間段的驅(qū)動電流。對于第六問，由理論推導可知轉(zhuǎn)速與時間t呈線性關(guān)系，可將原始數(shù)據(jù)分為兩段，分別計算在理想狀況下路試消耗的能量，

4、再根據(jù)試驗臺是數(shù)據(jù)作比較，得到其誤差。關(guān)鍵詞：制動模擬，微分方程，能量誤差，轉(zhuǎn)速補償一、 問題的提出在汽車設(shè)計階段中，通常利用制動器試驗臺代替路試來檢驗制動器的性能。模擬試驗的原則是試驗臺上制動器的制動過程與路試車輛上制動器的制動過程盡可能一致?，F(xiàn)假設(shè)輪胎與地面無滑動，假設(shè)試驗臺采用的電動機的驅(qū)動電流與其產(chǎn)生的扭矩成正比；且試驗臺工作時主軸的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩是可觀測的離散量。由于制動器性能的復雜性，電動機驅(qū)動電流與時間之間的精確關(guān)系是很難得到的。我們把把整個制動時間離散化為許多小的時間段，然后根據(jù)前面時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與瞬時扭矩，設(shè)計出本時段驅(qū)動電流的值，這個過程逐次進行，直至完成制動。

5、要解決的問題如下：1. 設(shè)車輛單個前輪的滾動半徑為0.286 m，制動時承受的載荷為6230 N，求得等效的轉(zhuǎn)動慣量。2. 飛輪組由3個外直徑1 m、內(nèi)直徑0.2 m的環(huán)形鋼制飛輪組成，厚度分別為0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，鋼材密度為7810 kg/m3，基礎(chǔ)慣量為10 kg·m2，問可以組成哪些機械慣量？設(shè)電動機能補償?shù)哪芰肯鄳?yīng)的慣量的范圍為 -30, 30 kg·m2，對于問題1中得到的等效的轉(zhuǎn)動慣量，解釋需要用電動機補償慣量的大小。3. 建立電動機驅(qū)動電流依賴于可觀測量的數(shù)學模型。在問題1和問題2的條件下，假設(shè)制動減速度為常數(shù)，初始速度為50

6、 km/h，制動5.0秒后車速為零，計算驅(qū)動電流。4. 對于與所設(shè)計的路試等效的轉(zhuǎn)動慣量為48 kg·m2，機械慣量為35 kg·m2，主軸初轉(zhuǎn)速為514轉(zhuǎn)/分鐘，末轉(zhuǎn)速為257轉(zhuǎn)/分鐘，時間步長為10 ms的情況，根據(jù)附表給出的數(shù)據(jù)，對該方法執(zhí)行的結(jié)果進行評價。5. 按照第3問導出的數(shù)學模型，給出根據(jù)前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速與/或瞬時扭矩，設(shè)計本時間段電流值的計算機控制方法，并對該方法進行評價。6. 評價第5問給出的控制方法的不足之處。且重新設(shè)計一個盡量完善的計算機控制方法，并作評價。二、問題的分析本文主要研究的是制動器試驗臺上的控制方法分析，通過把車輛的路試過程模擬

7、到試驗臺上，將制動器的機械問題定量化，從而更深入的研究制動器的控制方法。在理想的路試中，以恒定的力踏下制動踏板，汽車以恒定的加速度減速。但是在模擬實驗中，由于飛輪組無法精確模擬實際狀況，必須由驅(qū)動電流補償不足的轉(zhuǎn)動慣量，驅(qū)動電流產(chǎn)生驅(qū)動扭矩，使得實驗室中制動扭矩做功模擬路試時的制動扭矩做功，并且試驗室中輪軸轉(zhuǎn)速模擬路試時的實際轉(zhuǎn)速。在模擬試驗中，任意時間段內(nèi)制動扭矩做功應(yīng)該等于路試的理想情況下制動扭矩做的功，據(jù)此可以建立微分方程模型。第一問：通過題目中所給出的等效轉(zhuǎn)動慣量的概念，與物理學知識列出能量守恒定理的方程，通過題目給出的已知條件，帶入數(shù)據(jù)分別計算出 ，根據(jù)等式求解方程，便能得

8、到等效轉(zhuǎn)動慣量的值。第二問：由理論力學的知識，我們可以知道圓盤轉(zhuǎn)動慣量的定義式為：故只要求出圓環(huán)的質(zhì)量即可。圓環(huán)的質(zhì)量等于外徑所構(gòu)成大圓盤的質(zhì)量減去內(nèi)徑所構(gòu)成小圓盤的質(zhì)量。通過EXCEL計算，能求出飛輪慣量。我們發(fā)現(xiàn)機械慣量有 8 種情況， 將其一一計算出來，通過第一問所求出的等效轉(zhuǎn)動慣量，選擇出合適的機械慣量，通過題目所給出的補償能量相應(yīng)的慣量的范圍為 -30,30 ，可以計算出電動機需補償多大的慣量。第三問：通過題目中所給定的驅(qū)動電流的算法。列出微分方程,由理論力學公式可以知道，所以可以推出電流與可觀測量之間的關(guān)系為 ， 即為建立的數(shù)學模型， 將問題1和問題2的條件帶入，可計算出驅(qū)動電流的

9、大小。第四問： 根據(jù)題目中所給定的評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小，所以我們通過能量誤差指標來檢驗該種控制方法的優(yōu)劣。因此，需要分別求出路試時的制動器和相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量，以求他們的能量差值和相對誤差。通過計算差值和相對誤差能確定其精 確度。第五問：由于題目要求在給出前一個時間段觀測到的瞬時轉(zhuǎn)速和瞬時扭矩，根據(jù)動量矩定理和微分方程模型，能得到本時間段電流值。第六問：根據(jù)轉(zhuǎn)速與時間的線性關(guān)系，將原始數(shù)據(jù)分為兩個階段進行理想路試的能耗計算，在得到其誤差。3、 合理假設(shè)1. 假設(shè)汽車路試時地面的滾動摩擦力很小，在我們討論的范圍內(nèi)可以忽略 不計；2.假設(shè)車前

10、輪以及模擬的前輪的飛輪和轉(zhuǎn)軸都是剛體；3.假設(shè)補償能量通過提高主軸轉(zhuǎn)速來補償；4.假設(shè)汽車在路試時受到恒定的制動力，因而其在理想路試的狀態(tài)下作勻減 速運動；5.忽略試驗數(shù)據(jù)的獲得過程的主觀誤差和儀器誤差；6.假設(shè)主軸單位步長內(nèi)角加速度速度為定值，步長間角加速度可以越變。四、定義符號說明m 模擬前輪的質(zhì)量G載荷的重力g重力加速度D 飛輪的外直徑d 飛輪的內(nèi)直徑k 比例系數(shù)r 模擬前輪的半徑v模擬前輪的速度鋼材密度不同環(huán)形飛輪的厚度（j=1,2,3） 等效的轉(zhuǎn)動慣量 機械轉(zhuǎn)動慣量扭矩理想路試初始能量理想路試結(jié)束能量能量消耗之差相對誤差 制動車輪的角速度每個步長的角速度 制動車輪的角加速度車輪的加速

11、度 驅(qū)動電流飛輪轉(zhuǎn)速五、模型的建立、求解1，對問題一的解答：汽車平動所具有的動能為；飛輪組系統(tǒng)轉(zhuǎn)動時所具有的動能為；兩者應(yīng)該相等，所以=；由得等效慣量為：代入數(shù)據(jù)，G = 6230 N,g = 9.8 ,r=0.286 m得52 2，對問題二的解答：由理論力學的知識，我們可以知道圓盤轉(zhuǎn)動慣量的定義式為：故只要求出圓盤的質(zhì)量即可。題中的圓環(huán)可以看作由外徑構(gòu)成的大圓盤去掉由內(nèi)徑構(gòu)成的小圓盤。圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量等于外徑所構(gòu)成大圓盤的轉(zhuǎn)動慣量減去內(nèi)徑所構(gòu)成小圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。用EXCLE求解得到下表：表1：飛輪組的轉(zhuǎn)動慣量規(guī)格123質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量為了計算的方便，轉(zhuǎn)動慣量取整數(shù)。當=時，J=30 當=時，J=6

12、0 當=時，J=120 考慮基礎(chǔ)慣量為10 ，所以可以組成的機械慣量有：10，40 ，70 ，100 ，130 ，160 ，190 ，220 ，共八種情況。方案一：組合出40 的機械慣量，并用電動機補償12的慣量。方案二：組合出70 的機械慣量，并用電動機補償-18 的慣量。兩個方案電動機補償都在-30, 30 之間主要誤差是由于電流補償?shù)哪遣糠?，所以由電動機補償?shù)膽T量的大小越小越好！對于問題一中得到的轉(zhuǎn)動慣量52，選擇40 的機械慣量最為接近，也最為合理，用電動機補償12 的轉(zhuǎn)動慣量。3，對問題三的解答：通過題目中所給定的驅(qū)動電流的算法。列出微分方程,由理論力學公式可以知道，所以可以推出電流

13、與可觀測量之間的關(guān)系為 ， 即為建立的數(shù)學模型。其中， I 表示電流；T 表示扭矩；A 表示加速度； 表示角加速度。 將問題1和問題2的條件帶入，可計算出驅(qū)動電流的大小。得到驅(qū)動電流4，對問題四的解答： 根據(jù)題目中所給定的評價控制方法優(yōu)劣的一個重要數(shù)量指標是能量誤差的大小。我們通過能量誤差指標來檢驗該種控制方法的優(yōu)劣，因此，需要分別求出路試時的制動器和相對應(yīng)的實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量，以求他們的能量差值。以下兩圖分別實驗是中扭矩和轉(zhuǎn)速與時間的折線圖。圖一：扭矩隨時間的變化圖從圖中可以看出，制動扭矩在01秒內(nèi)呈現(xiàn)遞增特性，而在1秒之后在一個恒定值附近小范圍的波動?？梢钥闯?，這是控制系

14、統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用。圖二：轉(zhuǎn)速隨時間的變化圖轉(zhuǎn)速曲線在剛開始一段時間內(nèi)變動并不規(guī)律，在1秒附近有一次突然地減小，而1秒之后則基本符合線性規(guī)律。實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量由力學知識可知道處理后得到結(jié)果如下（部分，全部結(jié)果見附錄1）扭矩(N.m)轉(zhuǎn)速(rpm)時間(s)角速度(每秒)單位時間內(nèi)功（J）總功(J)4004040.我們可以看到表格中的E表示在實驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量 大小為我們計算路試時的能量時，利用公式,初始時和末時的能量之 差即為制動器在制動過程中消耗的能量。所以路試時消耗的總能量路試和試驗臺上制動器在制動過程中消耗的能量之差, 即為衡量該控制方法優(yōu)劣的標準。其相對

15、誤差是：通過查閱資料了解到誤差在5%附近可以說明模型是較為精確的。5，對問題五的解答：假設(shè)t時刻驅(qū)動扭矩為L(t)，主軸的角速度為，經(jīng)過時間增加d，時間內(nèi)制動扭矩做功為就是在試驗中制動扭矩做的功。模擬等效系統(tǒng)的動能增量為：就是在理想路試上制動扭矩所做的功。為了模擬等效系統(tǒng)，兩者應(yīng)該相等：得制動扭矩為，再根據(jù)動量矩定理，制動力矩為：公式：已知，于是微分方程模型為：根據(jù)微分方程(1)，得：所以，得到控制電流為：于是，可以根據(jù)某時刻測得的制動扭矩控制下一個時間段的驅(qū)動電流。6，對問題六的解答：從第四問中可以看出，實際試驗過程中常常會有不確定因素出現(xiàn)而導致實際轉(zhuǎn)速偏離理論值，而上題中控制方法沒有考慮隨

16、機因素的影響，所以還是存在不足。下面討論對于這種方法的改進。從第四問中可以看出，實際試驗過程中常常會有不確定因素出現(xiàn)而導致實際轉(zhuǎn)速偏離理論值，而上題中控制方法沒有考慮隨機因素的影響，所以還是存在不足。下面討論對于這種方法的改進。假設(shè)某次試驗的主軸初始角速度為，根據(jù)（1），可得到角速度的理論值為：但實際試驗中由于不確定因素的影響，測得的，于是要通過調(diào)整驅(qū)動扭矩L(t)補償做功偏差，使得下一個時間段內(nèi)制動扭矩做功的偏差等于驅(qū)動扭矩補償?shù)哪芰浚航獾么思礊樾拚蟮尿?qū)動扭矩控制表達式。在t時刻成立：于是，建立轉(zhuǎn)速修正模型： （2）下面我們對問題四給出的數(shù)據(jù)驗證這種控制方法確實能夠減小能量誤差。由修正模型

17、解得修正后的角速度為：對其離散化，得到：而 總之，是關(guān)于t的線性函數(shù)，將圖（2）分為兩段，得到兩個線段，其端點為（0,514.3），（0.95,475）；和（1,4），（4.67,257.17）。試驗臺上消耗能量不變，為：理想路試消耗能量為：誤差相對問題四中的相對能量誤差5.38%減小，只有2.31%。同時，此控制方法對于突變情況具有良好的反映能力，說明此方法相對比較完善。六、結(jié)果評價1、從圖五可以看出，（1）式的常微分方程模型可以很好的模擬沒有不確定因素干擾的試驗，但出現(xiàn)不確定因素干擾時，模擬偏差較大。2、問題六中建立的修正模型(2)，通過時刻監(jiān)測主軸轉(zhuǎn)速，調(diào)整驅(qū)動電流值修正由不確定因素導致的轉(zhuǎn)速偏差，能較好的模擬路試時制動器的做功。參考文獻：1 姜啟源，謝金星，葉俊 數(shù)學模型 （第三版） 北京 高等教育出版社 2003；2薛毅，數(shù)學建模 北京工業(yè)大學出版 2004；附件扭矩(N.m)轉(zhuǎn)速(rpm)時間(s)角速度(每秒)單位時間內(nèi)功（J）總功(J)4004040455055751051101151201502302452452652702802752802801275280285451