初三數(shù)學(xué)平面直角坐標系內(nèi)已知一邊取點構(gòu)造特殊三角形 華東師大版

1、初三數(shù)學(xué)平面直角坐標系內(nèi)已知一邊取點構(gòu)造特殊三角形一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 平面直角坐標系內(nèi)已知一邊取點構(gòu)造特殊三角形二. 教學(xué)過程：問題：在平面直角坐標系內(nèi)已知一邊（比如線段AB），按要求在坐標系內(nèi)取一點（比如P），使PAB為等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）解題思路：按已知的邊在特殊三角形中所“扮演”的角色進行分類討論，具體如下：（1）當要構(gòu)造的特殊三角形為等腰三角形時：如果已知的邊AB“扮演”底邊，則要作AB的中垂線，點P一定在中垂線上。如果已知的邊AB“扮演”腰，且A為要構(gòu)造的等腰三角形的頂點，則要以A為圓心，AB長為半徑畫圓，點P一定在這個圓上。如果已知的邊AB“扮演”腰，且B為要

2、構(gòu)造的等腰三角形的頂點，則要以B為圓心，AB長為半徑畫圓，點P一定在這個圓上。（2）當要構(gòu)造的特殊三角形為直角三角形時：如果已知的邊AB“扮演”斜邊，則要以AB為直徑畫圓，點P一定在這個圓上。如果已知的邊AB“扮演”直角邊，且A為直角頂點，則要過A作AB的垂線，點P一定在這條垂線上。如果已知的邊AB“扮演”直角邊，且B為直角頂點，則要過B作AB的垂線，點P一定在這條垂線上?！镜湫屠}】 例1. 如圖所示，在直角坐標系中，點A（2，1），在坐標軸上求一點B，使AOB是等腰三角形，并確定點B的坐標。解：情形1：當OA為AOB的底邊時，作OA的中垂線，和x、y軸分別交于，如圖（1）圖（1）在RtAO

3、C中，是OA的中垂線又，即同理可得：情形2：當OA為腰且A為頂點時，以A為圓心，AO長為半徑畫圓，如圖（2）圖（2）易得：情形3：當OA為腰且O為頂點時，以O(shè)為圓心，AO長為半徑畫圓，如圖（3）圖（3）易得： 例2. 已知：在直角坐標系中，點A（）和點B（1，2），在坐標軸上確定點P，使得ABP為直角三角形，那么滿足這樣條件的點P有多少個？（ ）A. 8個B. 6個C. 4個D. 2個解：情形1：當AB為斜邊時，作以AB為直徑的圓在RtABC中，ACBC2BAC45OD1，即D是AB的中點即畫以D為圓心，AD長為半徑的圓，如圖（1）圖（1）易得：情形2：當AB為直角邊，且A為直角頂點時，過點A

4、作AB的垂線，如圖（2）：圖（2）易得：情形3：當AB為直角邊，且B為直角頂點時，過點B作AB的垂線，如圖（3）：圖（3）易得：滿足這樣條件的點P有6個 例3. 在數(shù)學(xué)活動課上，老師請同學(xué)們在一張長為18cm、寬為14cm的長方形紙板上剪下一個腰長為12cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，其余兩個頂點在長方形的邊上）。請你畫出設(shè)計方案的示意圖，并通過計算說明哪種情況剪下的等腰三角形的面積最小。解：分三種情況：（1）如圖，當AEAF12時，圖（2）如圖，當AEEF12時，圖（3）如圖，當AEEF12時，圖比較上述計算可知第（3）種情況剪下的等腰三角形的面積最小。 例

5、4. 在直角坐標系xOy中，已知點A、B、C的坐標分別為A（）、B（1，0）、C（0，），求：（1）求經(jīng)過A、B、C三點的二次函數(shù)的解析式，并求出頂點D的坐標；（2）在y軸上求一點P，使最小，求出P點坐標；（3）在第三象限中，是否存在點M，使AC為等腰ACM的一邊，且底角為30。如果存在，請求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由；（4）將（3）題中的“第三象限”改為“坐標平面xOy”，其余條件不變，請直接寫出符合條件的點M的坐標（只寫結(jié)果，不需要解答過程）。解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為（a不為0）且過，代入解得：所求解析式為即所求頂點坐標為（2）看圖易知A點關(guān)于y軸的對稱點A的坐標為（2，0

6、），連接AD，交y軸于點P，點P為所求。由D和A的坐標可以求得直線AD的方程為：P點坐標為（3）在第三象限內(nèi)存在符合條件的點M，如圖：設(shè)作于E，則類似可以求得：（4）在坐標平面上符合條件的點M有6個，它們的坐標分別是：（答題時間：20分鐘） 1. 已知：如圖，ABC中，AB6，AC8，M為AB上一點（M不與點A、B重合），MNBC交AC于點N。（1）當AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時，求AM的長；（2）若A90，在BC上是否存在點P，使得MNP為等腰直角三角形？若存在，請求出MN的長；若不存在，請說明理由。 2. 如圖，P是y軸上一動點，是否存在平行于y軸的直線，使它與直線和直線分別交

7、于點D，E（E在D的上方），且PDE為等腰直角三角形。若存在，求t的值及點P的坐標；若不存在，請說明原因。 3. 正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，在平面內(nèi)確定一點P，使PAB、PBC、PCD、PDA同時為等腰三角形（保留作圖痕跡，不寫作法），并寫出它們的坐標（只要寫出4個符合題目條件的點的坐標即可，不必寫出解答過程）。參考答案 1. 解：（1）MNBCAMNABCAMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍又（2）A90，AB6，AC8BC邊上的高當MN是腰，PMN90時（如圖1），設(shè)MPMNxMNBCAMNABC解得，即當MN是腰，MNP90時（如圖2）同理可得當MN是底，MPN90時（如圖3），設(shè)過點P作PQMN于QMNBC，AMNABC解得，即 2. 解：據(jù)題意可知：直線在坐標系內(nèi)只有如圖所示的兩種位置情況。情形1：當直線在y軸右側(cè)時，按DE在構(gòu)造的等腰直角三角形中，所“扮演”的角色，可分為如下三圖：（1）當ED為底邊時，作ED的中垂線交y軸于，M為ED的中點，如圖（1）。此時，已為等腰三角形，如果要它為等腰直角三角形，只要即可。D是與的交點把代入，即得同理可得：又（2）當ED為腰且E為直角頂點時，作軸于，如圖（2）。此時為等腰