初三數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知一邊取點(diǎn)構(gòu)造特殊三角形 華東師大版

1、初三數(shù)學(xué)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知一邊取點(diǎn)構(gòu)造特殊三角形一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知一邊取點(diǎn)構(gòu)造特殊三角形二. 教學(xué)過程：?jiǎn)栴}：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)已知一邊（比如線段AB），按要求在坐標(biāo)系內(nèi)取一點(diǎn)（比如P），使PAB為等腰三角形（直角三角形、等腰直角三角形）解題思路：按已知的邊在特殊三角形中所“扮演”的角色進(jìn)行分類討論，具體如下：（1）當(dāng)要構(gòu)造的特殊三角形為等腰三角形時(shí)：如果已知的邊AB“扮演”底邊，則要作AB的中垂線，點(diǎn)P一定在中垂線上。如果已知的邊AB“扮演”腰，且A為要構(gòu)造的等腰三角形的頂點(diǎn)，則要以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，點(diǎn)P一定在這個(gè)圓上。如果已知的邊AB“扮演”腰，且B為要

2、構(gòu)造的等腰三角形的頂點(diǎn)，則要以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，點(diǎn)P一定在這個(gè)圓上。（2）當(dāng)要構(gòu)造的特殊三角形為直角三角形時(shí)：如果已知的邊AB“扮演”斜邊，則要以AB為直徑畫圓，點(diǎn)P一定在這個(gè)圓上。如果已知的邊AB“扮演”直角邊，且A為直角頂點(diǎn)，則要過A作AB的垂線，點(diǎn)P一定在這條垂線上。如果已知的邊AB“扮演”直角邊，且B為直角頂點(diǎn)，則要過B作AB的垂線，點(diǎn)P一定在這條垂線上?！镜湫屠}】 例1. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1），在坐標(biāo)軸上求一點(diǎn)B，使AOB是等腰三角形，并確定點(diǎn)B的坐標(biāo)。解：情形1：當(dāng)OA為AOB的底邊時(shí)，作OA的中垂線，和x、y軸分別交于，如圖（1）圖（1）在RtAO

3、C中，是OA的中垂線又，即同理可得：情形2：當(dāng)OA為腰且A為頂點(diǎn)時(shí)，以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫圓，如圖（2）圖（2）易得：情形3：當(dāng)OA為腰且O為頂點(diǎn)時(shí)，以O(shè)為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫圓，如圖（3）圖（3）易得： 例2. 已知：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（）和點(diǎn)B（1，2），在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得ABP為直角三角形，那么滿足這樣條件的點(diǎn)P有多少個(gè)？（ ）A. 8個(gè)B. 6個(gè)C. 4個(gè)D. 2個(gè)解：情形1：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，作以AB為直徑的圓在RtABC中，ACBC2BAC45OD1，即D是AB的中點(diǎn)即畫以D為圓心，AD長(zhǎng)為半徑的圓，如圖（1）圖（1）易得：情形2：當(dāng)AB為直角邊，且A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)A

4、作AB的垂線，如圖（2）：圖（2）易得：情形3：當(dāng)AB為直角邊，且B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作AB的垂線，如圖（3）：圖（3）易得：滿足這樣條件的點(diǎn)P有6個(gè) 例3. 在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L(zhǎng)為18cm、寬為14cm的長(zhǎng)方形紙板上剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為12cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余兩個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方形的邊上）。請(qǐng)你畫出設(shè)計(jì)方案的示意圖，并通過計(jì)算說明哪種情況剪下的等腰三角形的面積最小。解：分三種情況：（1）如圖，當(dāng)AEAF12時(shí)，圖（2）如圖，當(dāng)AEEF12時(shí)，圖（3）如圖，當(dāng)AEEF12時(shí)，圖比較上述計(jì)算可知第（3）種情況剪下的等腰三角形的面積最小。 例

5、4. 在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（）、B（1，0）、C（0，），求：（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式，并求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在y軸上求一點(diǎn)P，使最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在第三象限中，是否存在點(diǎn)M，使AC為等腰ACM的一邊，且底角為30。如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（4）將（3）題中的“第三象限”改為“坐標(biāo)平面xOy”，其余條件不變，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)（只寫結(jié)果，不需要解答過程）。解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為（a不為0）且過，代入解得：所求解析式為即所求頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2）看圖易知A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0

6、），連接AD，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求。由D和A的坐標(biāo)可以求得直線AD的方程為：P點(diǎn)坐標(biāo)為（3）在第三象限內(nèi)存在符合條件的點(diǎn)M，如圖：設(shè)作于E，則類似可以求得：（4）在坐標(biāo)平面上符合條件的點(diǎn)M有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別是：（答題時(shí)間：20分鐘） 1. 已知：如圖，ABC中，AB6，AC8，M為AB上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)A、B重合），MNBC交AC于點(diǎn)N。（1）當(dāng)AMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍時(shí)，求AM的長(zhǎng)；（2）若A90，在BC上是否存在點(diǎn)P，使得MNP為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 2. 如圖，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在平行于y軸的直線，使它與直線和直線分別交

7、于點(diǎn)D，E（E在D的上方），且PDE為等腰直角三角形。若存在，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明原因。 3. 正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，在平面內(nèi)確定一點(diǎn)P，使PAB、PBC、PCD、PDA同時(shí)為等腰三角形（保留作圖痕跡，不寫作法），并寫出它們的坐標(biāo)（只要寫出4個(gè)符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)即可，不必寫出解答過程）。參考答案 1. 解：（1）MNBCAMNABCAMN的面積是四邊形MBCN面積的2倍又（2）A90，AB6，AC8BC邊上的高當(dāng)MN是腰，PMN90時(shí)（如圖1），設(shè)MPMNxMNBCAMNABC解得，即當(dāng)MN是腰，MNP90時(shí)（如圖2）同理可得當(dāng)MN是底，MPN90時(shí)（如圖3），設(shè)過點(diǎn)P作PQMN于QMNBC，AMNABC解得，即 2. 解：據(jù)題意可知：直線在坐標(biāo)系內(nèi)只有如圖所示的兩種位置情況。情形1：當(dāng)直線在y軸右側(cè)時(shí)，按DE在構(gòu)造的等腰直角三角形中，所“扮演”的角色，可分為如下三圖：（1）當(dāng)ED為底邊時(shí)，作ED的中垂線交y軸于，M為ED的中點(diǎn)，如圖（1）。此時(shí)，已為等腰三角形，如果要它為等腰直角三角形，只要即可。D是與的交點(diǎn)把代入，即得同理可得：又（2）當(dāng)ED為腰且E為直角頂點(diǎn)時(shí)，作軸于，如圖（2）。此時(shí)為等腰