Salagean類單葉調(diào)和函數(shù)的特征

1、Salagean類單葉調(diào)和函數(shù)的特征吳瑞溢 黃心中(華僑大學(xué)數(shù)學(xué)系 福建 泉州 362021) 摘要 本文研究由Salagean定義的函數(shù)族及其子族，得到類的子族具有擬共形映照的性質(zhì)。同時，研究函數(shù)類的凸像性質(zhì)，對Salagean函數(shù)類的偏差定理、擬共形性質(zhì)及凸像區(qū)域性質(zhì)做進一步的研究，改進了S.Yalçin得到的結(jié)果。 關(guān)鍵詞 擬共形映照，調(diào)和擬共形映照，凸像J.Clunie和T.Sheil-small在文1中研究了單葉調(diào)和函數(shù)，得到不少類似于單葉函數(shù)的性質(zhì)，如偏差定理、Bloch常數(shù)、凸性區(qū)域等。對單葉調(diào)和函數(shù)的研究，一方面，可以看成是研究單葉函數(shù)的推廣； 另一方面又與調(diào)和擬共行

2、映照有密切的聯(lián)系。最近，在這方面的研究相當(dāng)活躍，文章2、3、4的結(jié)果是很有說服力的。區(qū)域D上的復(fù)值連續(xù)函數(shù)是調(diào)和的意指和在D內(nèi)皆是調(diào)和的。當(dāng)D為任何單連通區(qū)域時，可表示為，其中是D上的解析函數(shù)。用表示單位圓盤內(nèi)調(diào)和且滿足正規(guī)化條件，的單葉函數(shù)族，那么對，解析函數(shù)和可表示為：， (1)為進一步研究類的幾何性質(zhì)，Salagean5引入作用于具有(1)形式的調(diào)和函數(shù)的微分算子如下： (2)其中，。對，用表示_基金項目 福建省自然科學(xué)基金資助項目Z0511025這樣的函數(shù)類：是由(1)式表示的調(diào)和函數(shù)，且滿足。用表示的子族，和可表示為 ,，. (3)最近，S.Yalçin6對函數(shù)族及其子類做

3、了進一步深入的研究，證明了類的單葉性問題，并對類的偏差定理、極值點的條件以及凸像區(qū)域等問題進行了系統(tǒng)地研究。本文將進一步研究、兩類函數(shù)族的性質(zhì)，改進文6的一些結(jié)果。1、 主要結(jié)果及其證明在文6中，S.Yalçin證明了：定理 設(shè)為具有形式(1)的調(diào)和函數(shù)，滿足：， (4) 其中，；則在U內(nèi)保向單葉調(diào)和且。定理 設(shè)，可表示為(3)的形式；則當(dāng)且僅當(dāng)， (5) 關(guān)于類的偏差定理，S.Yalçin得到：定理 設(shè).則對，有， , 。本文將對Salagena函數(shù)類的偏差定理、擬共形性質(zhì)及凸像區(qū)域性質(zhì)做進一步的研究，改進S.Yalçin得到的一些結(jié)果。我們先引入擬共形映照的定

4、義：平面區(qū)域到的一個同胚映照, 稱為區(qū)域上的擬共形映照(K.q.c.映照)，如果滿足：(1) 在上是ACL 的;(2) 對幾乎所有的，滿足 Beltrami方程,其中 。對于具有形式(1)的調(diào)和函數(shù)類，我們引進為：滿足條件(4)式。下面我們得到函數(shù)族的擬共形性質(zhì)：定理1 若，則除外，為K.q.c.映照。證明：當(dāng)時，我們?nèi)?，由定義有，但此時不是K.q.c.映照；說明并非完全K.q.c.。由定理A知函數(shù)類是單葉調(diào)和函數(shù)，下面證明其擬共形映照性質(zhì)。當(dāng)時，由()，故 , (). (6) 當(dāng)時， ()，故 , ( ). (7) 記，則由(6)、(7)得： () . (8) 當(dāng)時，當(dāng)時，,因此 (), (

5、9)由(4)式可得:, (10)又由(9)、(10)知：. (11)故由(8),(9),(10),(11)可推得：. (12)故除外，為嚴(yán)格小于1的常數(shù)，從而為K.q.c.映照。注：取(為偶數(shù))，則，, 由此可知此時(12)式的估計是精確的。 在文6中，S.Yalçin考慮了類的凸像區(qū)域性質(zhì)，證明了以下結(jié)果： 定理 若，則在圓盤，上凸像。 下面我們改進了定理D的結(jié)果，得到：定理2 若，則除外，是凸像的。證明：由文7知:若, 當(dāng)時，則凸像；首先，我們注意到：當(dāng)時， ， (13)當(dāng)時， ， (14)故當(dāng)時，由(13)、(14)得：.(15)故當(dāng)，且時，由定理B及(15)得：,又因為，故當(dāng)

6、時,為凸像。注：當(dāng)時，取，則，但非凸。對的偏差定理，定理C已給出很好的估計，但沒有指出精確性，為此，我們有下列： 定理3 設(shè)。則對，我們有， (16)等號可由下面的函數(shù)達到：，、為偶數(shù)。證明：(16)式的證明可由定理C給出，下面主要給出達到等號的函數(shù)來。當(dāng)、為偶數(shù)時，對任何，(5)式可表為.若取， 檢驗條件，有： 故由定理B知，.當(dāng)取時，故(16)式可取得等號。 參 考 文 獻1 J. Clunie, T. Shell-small. Harmonic univalent functionsJ. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1984,(9): 32

7、52 H. Chen, P.M. Gauthier, and W. Hengartner. Bloch constants for planar harmonic mappingsJ. Poc. Amer. Math. Soc., 2000,128(11): 323132403 M. Pavlovic, Boundary correspondence under harmonic quasiconformal homeomorphisms of the unit diskJ. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2002,(27): 3653724 D. Kalaj, a

8、nd M. Pavlovi, Boundary correspondence under quasiconformal harmonic diffeomorphisms of a half-planeJ. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 2005,(30): 1591655 G. S. Salagean. Subclass of univalent functionsM. Complex Analysis-Fifth Romanian Finish Seminar,Bucharest, 1983,(1): 3623726 S.Yalçin. A new cl

9、ass of Salagean-type harmonic univalent functionsJ. Applied Mathe- matics Letters, 2005,(18): 1911987 J. Jahangiri and H. Silverman. Harmonic close-to-convex mappingsJ. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2002,15(1): 2328The characteristic of Salagean-type univalent harmonic func

10、tionsWu Ruiyi Huang Xinzhong(Department of Mathematics, Huaqiao University, 362021, Quanzhou, China)Abstract In this paper, we mainly investigate the classes and defined by Salagean. It is proved that functions belonging to ,which is a subclass of , are quasiconformal mappings. Meanwhile, we obtain the conv