導(dǎo)數(shù)中有關(guān)單調(diào)區(qū)間問題

1、導(dǎo)數(shù)中有關(guān)單調(diào)區(qū)間問題一、相關(guān)結(jié)論1、 已知在D上單調(diào)遞增（或遞減）恒成立問題；2、 求的單調(diào)增區(qū)間（或減區(qū)間）解不等式問題：；3、 存在單調(diào)增區(qū)間（或減區(qū)間）有解；4、 在D上不單調(diào)的圖像在區(qū)間D內(nèi)部穿過x軸的至少有一個(gè)非重根在區(qū)間內(nèi)部。二、經(jīng)典范例例1、（09浙江文科）已知函數(shù)f(x)=x+(1-a) x-a(a+2)x+b(a,bR).（I）若函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值；（）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍。解析：（）由題意得 又 ，解得，或 （）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)

2、即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，有 。練習(xí)1：（2009浙江理）已知函數(shù)，其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I）設(shè)函數(shù)若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍； （II）設(shè)函數(shù) 是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一的非零實(shí)數(shù)（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由解析：（I）因，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當(dāng)時(shí)有在上有兩個(gè)相等的實(shí)根，故舍去，所以；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II）當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，下面討論的情形，記A，B=（）當(dāng)

3、時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有，（）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合（）（）；當(dāng)時(shí)A=B，則，即使得成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的值是唯一的；同理，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，所以滿足題意w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2、（2009北京理）設(shè)函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力（）, 曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（）由，得，若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， 若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單

4、調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，（）由（）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.例3、（2009安徽卷文） 已知函數(shù)，a0，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）討論的單調(diào)性； （）設(shè)a=3，求在區(qū)間1，上值域。期中e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)?！窘馕觥?1)由于 令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(dāng),即時(shí), 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函數(shù).當(dāng),即時(shí)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得綜上當(dāng)時(shí), 在上都是增函數(shù).當(dāng)時(shí), 在

5、上是減函數(shù), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在上都是增函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),由(1)知在上是減函數(shù).在上是增函數(shù).又 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函數(shù)在上的值域?yàn)?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 練習(xí)2、（2009安徽卷理）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.解：的定義域是(0,+), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 設(shè),二次方程的判別式. 當(dāng)，即時(shí)，對(duì)一切都有,此時(shí)在上是增函數(shù)。 當(dāng),即時(shí)，僅對(duì)有,對(duì)其余的都有,此時(shí)在上也是增函數(shù)。 當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,.+0_0+單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時(shí)在上單調(diào)遞增, 在是上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.例4、已知

6、函數(shù) （I）若時(shí)，求的極值； （）若存在的單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍； （）若圖象與軸交于，的中點(diǎn)為， 求證：解：（I） 當(dāng)時(shí)， 由或。x(0,1)1+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減 時(shí)，無極小值。 （）存在單調(diào)遞減區(qū)間， 在內(nèi)有解，即在內(nèi)有解。 若，則，在單調(diào)遞增，不存在單調(diào)遞減區(qū)間； 若，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且恒過點(diǎn)（0，1），要使在內(nèi)有解，則應(yīng)有或，由于，；若，則函數(shù)的圖象是開口向下的拋物線，且恒過點(diǎn)（0，1），在內(nèi)一定有解。綜上，或。 （）依題意：，假設(shè)結(jié)論不成立，則有，得 由得，即設(shè)，則，令，在（0，1）上為增函數(shù)。，即，與式矛盾假設(shè)不成立，例5、設(shè)函數(shù)（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于解：（），依題意有，故從而的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）的定義域?yàn)?，方程的判別式（）若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值（）若，則或若，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)