一階常微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解

1、第29卷第3期2009年6月黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)JournalofHuanggangNormalUniversityVol.29No.3Jun.2009一階常微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解徐彬(華中科技大學(xué)武昌分校基礎(chǔ)科學(xué)部,湖北武漢430064)摘要討論一階常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的積分因子問(wèn)題,給出了方程具有ts形如f(x+y)g(ax+by+cxy)的積分因子的充要條件以及求上述積分因子的方法。關(guān)鍵詞一階常微分方程;恰當(dāng)方程;積分因子中圖分類號(hào)O175文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)28078(2009)2MSC200034A15Thesolutionltionwithl

2、aproductformXUBin(DepartmentofBasicScience,HuazhongUnivercityofScienceandTechnologyWuchangBranch,Wuhan430064,China)AbstractThispaperdiscussestheproblemofintegralfactorforthefirstorderordinarydifferentialequation:M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,givesasufficientandnecessaryconditionofintegralfactorwiththeformoff(

3、x+y)g(ax+by+cxy)andbringsamethodforsolvingtheintegralfactor,Moreover,thispaperappliesthetsmethodtoanexample.Keywordsfirstorderordinarydifferentialequation;completedifferentialequation;integralfactor討論一階常微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=012的求解,其中M(x,y),N(x,y)C(D),D為R上的單連通區(qū)域.當(dāng)(1)=,(1)稱為恰當(dāng)方程,對(duì)于yx恰當(dāng)方程有全微分形式M(x,y)d

4、x+N(x,y)dy=du(x,y),方程(1)有通解u(x,y)=c,c為任意常數(shù).,若存在連續(xù)可微的函數(shù)(x,y)0,使得yx(x,y)M(x,y)dx+(x,y)N(x,y)dy=0(2)1有,則(2)為恰當(dāng)方程,(x,y)0叫做方程(1)的積分因子.5y5x尋求積分因子使一階常微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程是求解方程(1)的一種好方法,但通常情況下所得到的積分因子需滿足的條件為一個(gè)偏微分方程,因而給積分因子的求解帶來(lái)了一定的復(fù)雜性.近年來(lái)很多數(shù)學(xué)工作者對(duì)方程(1)給予了很多的關(guān)注,給出了方程具有不同形式的積分因子的一系列理當(dāng)收稿日期:2009203215.作者簡(jiǎn)介:徐彬,女,助教,碩士,主要

5、研究方向?yàn)槠⒎址匠?14黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)第29卷論及求解方法(具體可參閱文獻(xiàn)2-5).受文獻(xiàn)2-5的啟發(fā),本文研究了方程(1)具有乘積形式tsf(x+y)g(ax+by+cxy)的積分因子,a,b,c,t,sR,得到方程具有上述積分因子的充要條件,并結(jié)合實(shí)例給出具有上述形式積分因子的求解方法.1主要結(jié)果ts定理1對(duì)常微分方程(1),若-0,則方程具有f(x+y)g(ax+by+cxy)乘積形式的積5y5x分因子的充要條件是關(guān)系式-(z1)g(z2)N-M+g(z2)f(z1)(atxft-1x+c-1y)N-(bsys-1xy+c-1)M=f(z1)g(z2)成立,其中z1=x+y,z2=a

6、x+by+cxy.ts證明由全微分方程的定義,積分因子f(x+y)g(ax+by+cxy)應(yīng)滿足關(guān)系式ts=,yx稍加整理即得到-(z1)g(z2)N-+g2)f(atxft-1x-1y)(xy+c-1)M=f(z1)g(z2),.ts推論(,G(ax+by+cxy)使得關(guān)系式(bsys-1xy+c-1-)M-(atxt-1x+c-1y)N=G(ax+by+cxy)tsG(z)dzts成立,則方程具有g(shù)(z2)=e22,z2=ax+by+cxy的積分因子.ts下面給出求具有乘積形式積分因子f(x+y)g(ax+by+cxy)的方法:定理2對(duì)方程f(x+y)Mdx+f(x+y)Ndy=0,(3)

7、假設(shè)滿足關(guān)系式(z1)(N-M)+f(z1)-fts=G(ax+by+cxy),-1-1s-1t-1xy)M-(atx+cxy)Nf(z1)(bsy+c(4)G(z)dzts其中z1=x+y,則方程(3)具有形如g(z2)=e22,z2=ax+by+cxy的積分因子,故方程(1)具有形如f(x+y)e2G(z)dz2的積分因子.證明此定理是推論1的一個(gè)直接結(jié)果,具體過(guò)程省略.注解將(4)稍加整理可得(z)f=f(z1)G(z2)(bsys-1xy+c-1)M-(atxN-Mt-1x+c-1y)N+-.通過(guò)選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)G(z2)使得等式右端僅為z1=x+y的函數(shù),可確定出函數(shù)f(z1),從而求

8、出原方程對(duì)應(yīng)的積分因子.ts從上述注解中實(shí)際上我們可以得到求乘積形式f(x+y)g(ax+by+cxy)的積分因子的方法,即簡(jiǎn)化為下面的兩步完成:(1)求方程f(x+y)Mdy+f(x+y)Ndy=0的具有g(shù)(ax+by+cxy)形式的積分因子要滿足的條ts件;第3期徐彬:一階常微分方程具有一種乘積形式積分因子的求解t15s(2)從滿足的條件表達(dá)式中整理出函數(shù)f(x+y)所要滿足的關(guān)系式,進(jìn)而選取適當(dāng)?shù)膅(ax+by+cxy),確定出f(x+y).2應(yīng)用舉例例求解方程(x+y-解設(shè)M=x+y-G(z2)(bsys-1.2)dx+(x+y+22)dy=0x+2xy+yx+2xy+y2=1,t=s

9、=c=2,計(jì)算得到2,N=x+y22,取a=b=x+2xy+yx+2xy+y2xy+c-1)M-(atxN-Mt-1x+c-1y)N+-G(z2)(2y+2x)(x+y-2)-(2y+2x)x+y+22+32(x+y)G(z2)(-2x+y)+23-G(z2)+=(x+y)xf(y)+(xy)2,f(x+y)=x+y,于是原方程具有積分因子為f(x+y)e(zdz2(xy).可得原方程的通解為24(x+y)-x+y=c,c為任意常數(shù).4參考文獻(xiàn):1丁同仁,李承治.常微分方程教程M.北京:高等教育出版社,1990.2高正暉.一階微分方程三類因子的計(jì)算J.衡陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2002,23(4):52-55.3陳明玉.