矩陣的可對角化及其應(yīng)用

1、附件：分類號O15商洛學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文矩陣的可對角化及其應(yīng)用作者單位數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系指導(dǎo)老師劉曉民作者姓名 陳畢專業(yè)班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)07級1班提交時(shí)間 二0一一年五月矩陣的可對角化及其應(yīng)用陳畢（數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系2007級1班）指導(dǎo)老師 劉曉民摘要：矩陣可對角化問題是矩陣?yán)碚撝械囊粋€(gè)重要問題，可對角化矩陣作為一類特殊的矩陣，在理論上和應(yīng)用上有著十分重要的意義。本文對可對角化矩陣做出了全面的概括和分析，并利用高等代數(shù)和線性代數(shù)的有關(guān)理論給出了矩陣可對角化的若干條件，同時(shí)也討論了化矩陣為對角形的求解方法，最后總結(jié)出可對角化矩陣在求方陣的高次冪利用特征值求行列式的值由特征值和特征向量反求矩陣判斷

2、矩陣是否相似向量空間線性變換等方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：對角化；特征值；特征向量；相似；線性變換Matrix diagonolization and its applicationChen Bi(Class 1,Grade 2007,The Depart of Math and Calculation Science)Advisor:Lecturer Liu Xiao MinAbstract: Matrix diagonolization problem is an important problem in matrix theory diagonolization matrix, as a kin

3、d of special matrix, in theory and application has the extremely vital significance. This paper has made diagonolization matrix analysis and generalization, and using higher algebra and linear algebra are given the relevant theory of matrix several conditions diagonolization, also discussed the matr

4、ix of the diagonal shape of solving method, and finally summarized; diagonolization matrix in high power, the policy of using eigenvalue beg determinant by characteristic value and value, feature vector reverse matrix, judgment matrix is similar, vector Spaces, the application of linear transformati

5、on, etc. Key words: The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 引言所謂矩陣可對角化指的是矩陣與對角陣相似，而說線性變換是可對角化的指的是這個(gè)線性變換在某一組基下是對角陣（或者說線性變換在一組基下的矩陣是可對角化的），同樣可以把問題歸到矩陣是否可對角化。本文主要是討論矩陣可對角化的判定條件以及如何應(yīng)用可對角化的相關(guān)性質(zhì)將矩陣化為對角形，同時(shí)也總結(jié)了它在相關(guān)方面的運(yùn)用。預(yù)備知識：定義1：如下形式的n×n矩陣=稱為對角矩陣簡記為=diag(,)定義2：把

6、矩陣A（或線性變換）的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項(xiàng)為1的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣A（或線性變換）的初等因子。定義3：設(shè)A是數(shù)域P上的n級矩陣，如果數(shù)域P上的多項(xiàng)式f(x)使得f(x)=0，則稱f(x)以A為根，在以A為根的多項(xiàng)式中，次數(shù)最低且首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式稱為A的最小多項(xiàng)式。定義4：設(shè)V是P上的線性空間，是V上的一個(gè)變換，如果對任意V和P都有，則稱為V的一個(gè)線性變換定義5：設(shè)是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存在P中的一個(gè)數(shù)和V中非零元素使得，則稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量，由的屬于特征值的

7、全部特征向量再添上零元素構(gòu)成的集合構(gòu)成V的一個(gè)子空間，稱為的一個(gè)特征子空間。定義6:設(shè)A,B為數(shù)域P上的兩個(gè)n級矩陣，如果存在數(shù)域P上的n級可逆矩陣X使得B=AX，則稱A相似于B，記為AB，并稱由A變到B得變換為相似變換，稱X為相似變換矩陣。主要結(jié)論：A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 證明：必要性設(shè)在基下具有對角矩陣，這就是說，因此就是的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。反過來，如果有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，那么就取為基，顯然在這組基下的矩陣是對角矩陣。推論如果在n維線性空間V中，線性變換的特征多項(xiàng)式在數(shù)域P中有n個(gè)不同的根，即有n個(gè)不同的特征值，那么在某組基下的矩陣是對角形的。推論在復(fù)數(shù)

8、域上的線性空間中，如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，那么在某組基下的矩陣是對角形的。 例：已知在一組基下的矩陣為，試問A是否可對角化？若能，寫出相應(yīng)的基變換的過渡矩陣T。 解：由于所以特征值為。當(dāng)時(shí)，解方程組，求得它的基礎(chǔ)解系是，因此對應(yīng)的的的特征向量為。當(dāng)時(shí)，解方程組，求得它的基礎(chǔ)解系是，因此對應(yīng)的特征向量為。綜上可知的特征值為7，-2對應(yīng)的特征向量為，又，即過渡矩陣T=且有2.1.A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)特征子空間維數(shù)之和為n.證明：必要性設(shè)所對應(yīng)的矩陣可對角化，即存在V的一組基，使在這組基下的矩陣為?；ゲ幌嗤?，顯然，對于任一向量，則這里，于是。下證就是的一組基，顯然只需證每個(gè)與特征根相應(yīng)的特征

9、向量都可由線性表出，先將分解，即，如果，那么是的屬于特征根的特征向量，并且不能全為零。設(shè)其中只有，是中的k個(gè)元素，那么，這顯然矛盾，故即。同理可證與相應(yīng)的一組基向量是的一組基，與相對應(yīng)的一組基向量是V的一組基，故V=，即V的維數(shù)等于各特征子空間的維數(shù)之和。 充分性 取的一組基且在這組基下的矩陣為，則為V的一組基，從而在此基下的矩陣為，故可對角化，即所對應(yīng)的矩陣可對角化。 例設(shè)A=，試判斷A是否可對角化？若能，則求出可逆矩陣T使A成對角形。解：A的特征多項(xiàng)式得（二重），（二重）是A的兩個(gè)互異的特征根，又有特征矩陣。秩均為2，易得，令。則為A的屬于0的所有線性無關(guān)的特征向量，為A的屬于2的所有線性

10、無關(guān)的特征向量。令T=，則有3.1.A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A的所有重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于其重?cái)?shù)。 證明：若所對應(yīng)的矩陣可對角化，則有V=，這里是的所有互不相同的特征根，取每個(gè)的一組基，合起來就是V的一組基，那么在這組基下的矩陣顯然是對角形。A=。于是的特征多項(xiàng)式為，顯然的根都在F內(nèi)，且每個(gè)特征根的重?cái)?shù)恰是的維數(shù)，必要性得證。 反之，若設(shè)是的特征多項(xiàng)式的全部根，它們的重?cái)?shù)分別設(shè)為，那么，取每個(gè)V的一組基，合起來湊成一個(gè)含有n個(gè)向量的向量組，從而是V的一組基，故在這組基下的矩陣為對角陣。例：判斷矩陣A=是否可對角化，若可以，求可逆矩陣T使為對角陣。 解：設(shè),且故A的特征值為（二重）

11、，其中，又中的零行數(shù)=2=的重?cái)?shù)，的零行數(shù)=1=的重?cái)?shù)，故A可對角化，由可得是A屬于2的線性無關(guān)的特征向量，由可得是A屬于-4的線性無關(guān)的特征向量，令T=，則.4.1.A可對角化當(dāng)且僅當(dāng)A的初等因子是一次的。定理4：復(fù)數(shù)域上每一個(gè)階矩陣都與一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似。這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的。它稱為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。由相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系知，與相似的矩陣都有相同的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。從這個(gè)意義上講，我們可以把級方陣劃分為以若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為代表元素的等價(jià)類。等價(jià)類中的每個(gè)元素是相似的。由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的構(gòu)造知，它包含對角形矩陣為它的特殊情況。那么當(dāng)它滿足什么條件時(shí)，一個(gè)若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形是

12、一個(gè)對角矩陣，也就是可對角化的條件。由于每個(gè)初等因子對應(yīng)一個(gè)若當(dāng)塊，例如初等因子為，那它對應(yīng)的若當(dāng)塊為，而若當(dāng)形矩陣是由這樣的若當(dāng)塊組成的。例：， 所以如果每一個(gè)若當(dāng)塊都是1階，那么，這個(gè)若當(dāng)形矩陣J就成了對角陣，那么與之對應(yīng)的初等因子都是一次的。推論4.1.1：n級方陣可對角化的充要條件它的不變因子無重根推論4.1.2：n級方陣可對角化的充要條件它的最小多項(xiàng)式無重根這三個(gè)充要條件充分利用了不變因子，初等因子及最小多項(xiàng)式之間的關(guān)系，但在具體的解題過程中很少直接去求不變因子和初等因子，一般情況下是通過求最小多項(xiàng)式來解題的。例：由最小多項(xiàng)式的定義知，對于任一個(gè)零化多項(xiàng)式都滿足 ，表示矩陣A的最小多

13、項(xiàng)式。因此若無重根，則一定無重根。當(dāng)然這只是一種方法。由此給出推論4.1.3：n級方陣可對角化的充分條件是它的零化多項(xiàng)式無重根。推論4.1.4：n級方陣可對角化充分條件特征多項(xiàng)式無重根例：設(shè)復(fù)數(shù)域上的矩陣A=，求A的最小多項(xiàng)式，并判定A是否可對角化？ 解：，,由于中右上角的2階子式，所以，故，可見即是A的最小多項(xiàng)式，利用有理多項(xiàng)式求有理根的方法知，從而，于是A的特征值為，由于無重根，故A在復(fù)數(shù)域上可對角化。5.1.A是實(shí)對稱矩陣，則A可對角化。 定理5在數(shù)域P上，任意一個(gè)對稱矩陣都合同于一個(gè)對角矩陣，即對于任意一個(gè)對稱矩陣A都可找到一個(gè)可逆矩陣C使AC成對角陣。例：化二次型成標(biāo)準(zhǔn)型。 解：的矩

14、陣為，取再取再取，正是對角矩陣，因此令，就有，作非退化線性替換X=CY，即得。二：求一組基，使線性變換再該基下的矩陣為對角矩陣的計(jì)算。第一步，取n維線性空間V的一組基，求線性變換在該基下的矩陣A。第二步，求n級可逆矩陣X，使為對角矩陣。第三步，由求出V的另一組基，則在該基下的矩陣為對角矩陣. 例：設(shè)是四維線性空間V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為A=1）求在基下的矩陣2）求一可逆矩陣T，使成對角形。解：因?yàn)?，而故在基下的矩陣為B=2）因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式，所以，即特征值為，對應(yīng)特征值0的線性無關(guān)的特征向量為，對應(yīng)特征值1的特征向量為，對應(yīng)特征值的特征向量為3）由得，且三：可對角

15、化矩陣的應(yīng)用。1.求方陣的高次冪 例設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)二維線性空間，是一組基，線性變換在下的矩陣A=，試計(jì)算。 解：首先計(jì)算在V的另一組基下的矩陣，這里，且在下的矩陣為顯然，再利用上面得到的關(guān)系我們可以得到2.利用特征值求行列式的值。例：設(shè)n階實(shí)對稱矩陣=A滿足，且A的秩為r，試求行列式的值。 解：設(shè)AX=X，X0，是對應(yīng)特征值的特征向量，因?yàn)?，則，從而有，因?yàn)閄0，所以，即=1或0，又因?yàn)锳是實(shí)對稱矩陣，所以A相似于對角矩陣，A的秩為r，故存在可逆矩陣P，使=B，其中是r階單位矩陣，從而3由特征值與特征向量反求矩陣。 若矩陣A可對角化，即存在可逆矩陣P使，其中B為對角矩陣，則 例 設(shè)3階實(shí)

16、對稱矩陣A的特征值為，對應(yīng)的特征向量為，求矩陣A。 解：因?yàn)锳是實(shí)對稱矩陣，所以A可以對角化，即A由三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，設(shè)對應(yīng)于的特征向量為，它應(yīng)與特征向量正交，即，該齊次方程組的基礎(chǔ)解系為，它們即是對應(yīng)于的特征向量。取，則，于是4判斷矩陣是否相似例 下述矩陣是否相似解：矩陣的特征值都是 (二重)，其中已是對角陣，所以只需判斷是否可對角化，先考查，對于特征值解齊次線性方程組得其基礎(chǔ)解系為，由于是的二重特征值，卻只對應(yīng)于一個(gè)特征向量，故不可對角化或者說與不相似。 再考查，對于特征值，解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，對于特征值解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，對于特征值解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，由

17、于有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以可對角化，即與相似。5求特殊矩陣的特征值 例 設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，且，又， 求（1）A的全部特征值，（2）行列式的值 解：（1）設(shè)為A的任一特征值，為A的對應(yīng)特征值的特征向量，所以，有，又因?yàn)?，所以，所以，由此可得?，因?yàn)锳是實(shí)對稱矩陣，所以A必能對角化即，且，故2的個(gè)數(shù)為A的秩數(shù)，即A的特征值為r個(gè)2及(n-r)個(gè)0 （2）因?yàn)橛桑?）可得AB，即存在可逆矩陣C，使得，故有,=6在向量空間中的應(yīng)用 例 設(shè)是n使維列向量空間，A是n階復(fù)矩陣，是任一復(fù)數(shù)，令，則若A相似于對角陣，有證明：對任意，有和所以又因?yàn)锳相似于對角陣，有與的解空間相同，所以和，所以。7在

18、現(xiàn)行變換中的應(yīng)用 例 設(shè)為數(shù)域P上次數(shù)小于n多項(xiàng)式及零多項(xiàng)式的全體，則微分變換在的任何一組基下的矩陣不是對角形。 證明：取的一組基，則在這組基下的矩陣為，所以，若在某一組基下的矩陣B為對角矩陣，由知A可對角化，存在可逆矩陣T使得，所以，由的全為零知B=0，所以A=0，這不可能，所以微分變換在的任何一組基下的矩陣都不是對角陣參考文獻(xiàn):1北京大學(xué)教學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代教小姐尚等代數(shù)(第二版)M北京：高等教育出版社，19882胡顯佑主編線性代數(shù)摯習(xí)指導(dǎo)天津：南開大學(xué)出版社，19973劉九蘭，張乃一，曲問薄主編線性代數(shù)考研必馕，天津：天牽大學(xué)出版社，200B。54謝國瑞主編線性代數(shù)及應(yīng)用北京：高等教育出版社。19995張學(xué)元主編線性代數(shù)能力試題題解武漢：華中理工大學(xué)出版社，20006徐仲主編線性代數(shù)典型題分析解集西北工業(yè)大學(xué)出版社，1998，67樊輝，錢吉林主編，代數(shù)學(xué)辭典武漢；華中師范大學(xué)出艋社1994，128曹錫皓高等代數(shù)M北京：北京師范大學(xué)出版社，19879張遠(yuǎn)達(dá)線性代數(shù)