電磁場與電磁波習題答案

1、2-1若真空中相距為d的兩個電荷q1及q2的電量分別為q及4q，當點電荷位于q1及q2的連線上時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，試求的大小及位置。解 要使系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，點電荷受到點電荷q1及q2的力應該大小相等，方向相反，即。那么，由，同時考慮到，求得可見點電荷可以任意，但應位于點電荷q1和q2的連線上，且與點電荷相距。習題圖2-2zxE3E2E12-2已知真空中有三個點電荷，其電量及位置分別為：試求位于點的電場強度。解 令分別為三個電電荷的位置到點的距離，則，。利用點電荷的場強公式，其中為點電荷q指向場點的單位矢量。那么，在P點的場強大小為，方向為。在P點的場強大小為，方向為。在P點的場強大小為，方

2、向為則點的合成電場強度為2-3直接利用式（2-2-14）計算電偶極子的電場強度。解 令點電荷位于坐標原點，為點電荷至場點P的距離。再令點電荷位于+坐標軸上，為點電荷至場點P的距離。兩個點電荷相距為，場點P的坐標為（r,f）。根據(jù)疊加原理，電偶極子在場點P產(chǎn)生的電場為考慮到r >> l，= er，那么上式變?yōu)槭街幸詾樽兞?，并將在零點作泰勒展開。由于，略去高階項后，得利用球坐標系中的散度計算公式，求出電場強度為2-4 已知真空中兩個點電荷的電量均為C，相距為2cm，如習題圖2-4所示。試求：P點的電位；將電量為C的點電荷由無限遠處緩慢地移至P點時，外力必須作的功。ÅÅ

3、;1cmP1cmqq1cm習題圖2-4解 根據(jù)疊加原理，點的合成電位為因此，將電量為的點電荷由無限遠處緩慢地移到點，外力必須做的功為2-5 通過電位計算有限長線電荷的電場強度。習題圖2-5r0Pzodllq1q2y解 建立圓柱坐標系。 令先電荷沿z軸放置，由于結構以z軸對稱，場強與無關。為了簡單起見，令場點位于yz平面。設線電荷的長度為，密度為，線電荷的中點位于坐標原點，場點的坐標為。利用電位疊加原理，求得場點的電位為式中。故因，可知電場強度的z分量為電場強度的r分量為式中，那么，合成電強為當L®¥時，則合成電場強度為可見，這些結果與教材2-2節(jié)例4完全相同。2-6 已知分

4、布在半徑為a的半圓周上的電荷線密度，試求圓心處的電場強度。習題圖2-6ayxoE解 建立直角坐標，令線電荷位于xy平面，且以y軸為對稱，如習題圖2-6所示。那么，點電荷在圓心處產(chǎn)生的電場強度具有兩個分量Ex和Ey。由于電荷分布以y軸為對稱，因此，僅需考慮電場強度的分量，即考慮到，代入上式求得合成電場強度為2-7 已知真空中半徑為a的圓環(huán)上均勻地分布的線電荷密度為，試求通過圓心的軸線上任一點的電位及電場強度。習題圖2-7xyzProadly解 建立直角坐標，令圓環(huán)位于坐標原點，如習題圖2-7所示。那么，點電荷在z軸上點產(chǎn)生的電位為根據(jù)疊加原理，圓環(huán)線電荷在點產(chǎn)生的合成電位為因電場強度，則圓環(huán)線電

5、荷在點產(chǎn)生的電場強度為2-8 設寬度為W，面密度為的帶狀電荷位于真空中，試求空間任一點的電場強度。習題圖2-8xyzoryxdx¢x¢(a)(b)P(x,y)解 建立直角坐標，且令帶狀電荷位于xz平面內(nèi)，如習題圖2-8所示。帶狀電荷可劃分為很多條寬度為的無限長線電荷，其線密度為。那么，該無限長線電荷產(chǎn)生的電場強度與坐標變量z無關，即式中得那么2-9 已知均勻分布的帶電圓盤半徑為a，面電荷密度為，位于z = 0平面，且盤心與原點重合，試求圓盤軸線上任一點電場強度。習題圖2-9oxyzrdrP(0,0,z)解如圖 2-9所示，在圓盤上取一半徑為，寬度為的圓環(huán)，該圓環(huán)具有的電荷量

6、為。由于對稱性，該圓環(huán)電荷在z軸上任一點P產(chǎn)生的電場強度僅的有分量。根據(jù)習題2-7結果，獲知該圓環(huán)電荷在P產(chǎn)生的電場強度的分量為那么，整個圓盤電荷在P產(chǎn)生的電場強度為2-10 已知電荷密度為及的兩塊無限大面電荷分別位于x = 0及x = 1平面，試求及區(qū)域中的電場強度。解 無限大平面電荷產(chǎn)生的場強分布一定是均勻的，其電場方向垂直于無限大平面，且分別指向兩側。因此，位于x = 0平面內(nèi)的無限大面電荷，在x < 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度，在x > 0區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度。位于x = 1平面內(nèi)的無限大面電荷，在x < 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度，在x > 1區(qū)域中產(chǎn)生的電場強度。由

7、電場強度法向邊界條件獲知，即由此求得根據(jù)疊加定理，各區(qū)域中的電場強度應為2-11若在球坐標系中，電荷分布函數(shù)為試求及區(qū)域中的電通密度。解 作一個半徑為r的球面為高斯面，由對稱性可知式中q為閉合面S包圍的電荷。那么在區(qū)域中，由于q = 0，因此D = 0。在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為因此，在區(qū)域中，閉合面S包圍的電荷量為因此，2-12 若帶電球的內(nèi)外區(qū)域中的電場強度為試求球內(nèi)外各點的電位。解 在區(qū)域中，電位為在區(qū)域中，2-13 已知圓球坐標系中空間電場分布函數(shù)為試求空間的電荷密度。解 利用高斯定理的微分形式，得知在球坐標系中那么，在區(qū)域中電荷密度為在區(qū)域中電荷密度為2-14已知真空中的電荷分

8、布函數(shù)為式中r為球坐標系中的半徑，試求空間各點的電場強度。解 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，取球面為高斯面，那么根據(jù)高斯定理在區(qū)域中在區(qū)域中2-15 已知空間電場強度，試求（0,0,0）與（1,1,2）兩點間的電位差。解設P1點的坐標為（0,0,0,）, P2點的坐標為（1,1,2,），那么，兩點間的電位差為式中，因此電位差為2-16 已知同軸圓柱電容器的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b。若填充介質(zhì)的相對介電常數(shù)。試求在外導體尺寸不變的情況下，為了獲得最高耐壓，內(nèi)外導體半徑之比。解 已知若同軸線單位長度內(nèi)的電荷量為q1，則同軸線內(nèi)電場強度。為了使同軸線獲得最高耐壓，應在保持內(nèi)外導體之間的電位差V

9、不變的情況下，使同軸線內(nèi)最大的電場強度達到最小值，即應使內(nèi)導體表面處的電場強度達到最小值。因為同軸線單位長度內(nèi)的電容為則同軸線內(nèi)導體表面處電場強度為令b不變，以比值為變量，對上式求極值，獲知當比值時，取得最小值，即同軸線獲得最高耐壓。2-17 若在一個電荷密度為，半徑為a的均勻帶電球中，存在一個半徑為b的球形空腔，空腔中心與帶電球中心的間距為d，試求空腔中的電場強度。習題圖2-17obaPrdr¢o¢解 此題可利用高斯定理和疊加原理求解。首先設半徑為的整個球內(nèi)充滿電荷密度為的電荷，則球內(nèi)點的電場強度為式中是由球心o點指向點的位置矢量， 再設半徑為的球腔內(nèi)充滿電荷密度為的電荷

10、，則其在球內(nèi)點的電場強度為式中是由腔心點指向點的位置矢量。那么，合成電場強度即是原先空腔內(nèi)任一點的電場強度，即式中是由球心o點指向腔心點的位置矢量?？梢?，空腔內(nèi)的電場是均勻的。2-18 已知介質(zhì)圓柱體的半徑為a，長度為l，當沿軸線方向發(fā)生均勻極化時，極化強度為，試求介質(zhì)中束縛xyza習題圖2-18Ply電荷在圓柱內(nèi)外軸線上產(chǎn)生的電場強度。解 建立圓柱坐標，且令圓柱的下端面位于xy平面。由于是均勻極化，故只考慮面束縛電荷。而且該束縛電荷僅存在圓柱上下端面。已知面束縛電荷密度與極化強度的關系為式中en為表面的外法線方向上單位矢量。由此求得圓柱體上端面的束縛電荷面密度為，圓柱體下端面的束縛面電荷密度

11、為。由習題2-9獲知，位于xy平面，面電荷為的圓盤在其軸線上的電場強度為因此，圓柱下端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場強度為而圓柱上端面束縛電荷在z軸上產(chǎn)生的電場強度為那么，上下端面束縛電荷在z軸上任一點產(chǎn)生的合成電場強度為2-19 已知內(nèi)半徑為a，外半徑為b的均勻介質(zhì)球殼的介電常數(shù)為，若在球心放置一個電量為q的點電荷，試求：介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷；各區(qū)域中的電場強度。解 先求各區(qū)域中的電場強度。根據(jù)介質(zhì)中高斯定理在區(qū)域中，電場強度為在區(qū)域中，電場強度為在區(qū)域中，電場強度為再求介質(zhì)殼內(nèi)外表面上的束縛電荷。由于，則介質(zhì)殼內(nèi)表面上束縛電荷面密度為外表面上束縛電荷面密度為2-20 將一塊無限大的厚度

12、為d的介質(zhì)板放在均勻電場中，周圍媒質(zhì)為真空。已知介質(zhì)板的介電常數(shù)為，均勻電場的方向與介質(zhì)板法線的夾角為，如習題圖2-20所示。當介質(zhì)板中的電場線方向時，試求角度及介質(zhì)表面的束縛電荷面密度。Eedq1q 1q2q2e0e0E習題圖2-20E2en2en1解 根據(jù)兩種介質(zhì)的邊界條件獲知，邊界上電場強度切向分量和電通密度的法向分量連續(xù)。因此可得；已知，那么由上式求得已知介質(zhì)表面的束縛電荷，那么，介質(zhì)左表面上束縛電荷面密度為介質(zhì)右表面上束縛電荷面密度為2-21 已知兩個導體球的半徑分別為6cm及12cm，電量均為C，相距很遠。若以導線相連后，試求：電荷移動的方向及電量；兩球最終的電位及電量。解 設兩球

13、相距為d，考慮到d >> a, d >> b，兩個帶電球的電位為；兩球以導線相連后，兩球電位相等，電荷重新分布，但總電荷量應該守恒，即及，求得兩球最終的電量分別為可見，電荷由半徑小的導體球轉移到半徑大的導體球，移動的電荷量為。兩球最終電位分別為2-22 已知兩個導體球的重量分別為m1=5g，m2=10g，電量均為C，以無重量的絕緣線相連。若絕緣線的長度l = 1m，且遠大于兩球的半徑，試求；絕緣線切斷的瞬時，每球的加速度；絕緣線切斷很久以后，兩球的速度。解 絕緣線切斷的瞬時，每球受到的力為因此，兩球獲得的加速度分別為 當兩球相距為l時，兩球的電位分別為；此時，系統(tǒng)的電場

14、能量為絕緣線切斷很久以后，兩球相距很遠(l>>a, l>>b)，那么，兩球的電位分別為;由此可見，絕緣線切斷很久的前后，系統(tǒng)電場能量的變化為這部分電場能量的變化轉變?yōu)閮汕虻膭幽?，根?jù)能量守恒原理及動量守恒定理可得下列方程：，由此即可求出絕緣線切斷很久以后兩球的速度v1和v2：；2-23 如習題圖2-23所示，半徑為a的導體球中有兩個較小的球形空腔。若在空腔中心分別放置兩個點電荷q1及q2，在距離處放置另一個點電荷q3，試求三個點電荷受到的電場力。q1q2rq3a習題圖2-23解 根據(jù)原書2-7節(jié)所述，封閉導體空腔具有靜電屏蔽特性。因此，q1與q2之間沒有作用力，q3對于

15、q1及q2也沒有作用力。但是q1及q2在導體外表面產(chǎn)生的感應電荷-q1及-q2，對于q3有作用力?？紤]到r>>a，根據(jù)庫侖定律獲知該作用力為2-24 證明位于無源區(qū)中任一球面上電位的平均值等于其球心的電位，而與球外的電荷分布特性無關。解已知電位與電場強度的關系為，又知，由此獲知電位滿足下列泊松方程利用格林函數(shù)求得泊松方程的解為式中?？紤]到，代入上式得若閉合面內(nèi)為無源區(qū)，即，那么若閉合面S為一個球面，其半徑為a，球心為場點，則，那么上式變?yōu)榭紤]到差矢量的方向為該球面的半徑方向，即與的方向恰好相反，又,則上式變?yōu)橛捎谠诿鎯?nèi)無電荷，則，那么由此式可見，位于無源區(qū)中任一球面上的電位的平均值

16、等于其球心的電位，而與球外的電荷分布無關。2-25 已知可變電容器的最大電容量，最小電容量，外加直流電壓為300V，試求使電容器由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中外力必須作的功。解 在可變電容器的電容量由最小變?yōu)樽畲蟮倪^程中，電源作的功和外力作的功均轉變?yōu)殡妶鰞δ艿脑隽?，即式中因此，外力必須作的功?-26若使兩個電容器均為C的真空電容器充以電壓V后，斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿介電常數(shù)為的理想介質(zhì)，試求：兩個電容器的最終電位；轉移的電量。解 兩電容器斷開電源相互并聯(lián)，再將其中之一填滿相對介電常數(shù)為理想介質(zhì)后，兩電容器的電容量分別為兩電容器的電量分別為，且由于兩個電容器的電壓相等，因此聯(lián)立上述兩式，

17、求得，因此，兩電容器的最終電位為考慮到，轉移的電量為e2ae1b習題圖2-272-27 同軸圓柱電容器的內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b，其內(nèi)一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介質(zhì)的介電常數(shù)為，如習題圖2-27所示。當外加電壓為V時，試求：電容器中的電場強度；各邊界上的電荷密度；電容及儲能。解 設內(nèi)導體的外表面上單位長度的電量為，外導體的內(nèi)表面上單位長度的電量為。取內(nèi)外導體之間一個同軸的單位長度圓柱面作為高斯面，由高斯定理求得已知，在兩種介質(zhì)的分界面上電場強度的切向分量必須連續(xù)，即，求得內(nèi)外導體之間的電位差為即單位長度內(nèi)的電荷量為故同軸電容器中的電場強度為 由于電場強度在兩種介質(zhì)的分界面上無法

18、向分量，故此邊界上的電荷密度為零。內(nèi)導體的外表面上的電荷面密度為；外導體的內(nèi)表面上的電荷面密度為；單位長度的電容為電容器中的儲能密度為2-28 一平板電容器的結構如習題圖2-28所示，間距為d，極板面積為。試求： 接上電壓V時，移去介質(zhì)前后電容器中的電場強度、電通密度、各邊界上的電荷密度、電容及儲能；斷開電源后，再計算介質(zhì)移去前后以上各個參數(shù)。dl/2KVl/2ee 0習題圖2-28解接上電源，介質(zhì)存在時，介質(zhì)邊界上電場強度切向分量必須連續(xù)，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場強度是相等的，即電場強度為。但是介質(zhì)內(nèi)外的電通密度不等，介質(zhì)內(nèi)，介質(zhì)外。兩部分極板表面自由電荷面密度分別為，電容器的電量電容量為電容器

19、儲能為若接上電壓時，移去介質(zhì)，那么電容器中的電場強度為電通密度為極板表面自由電荷面密度為電容器的電量為電容量為電容器的儲能為斷開電源后，移去介質(zhì)前，各個參數(shù)不變。但是若移去介質(zhì)，由于極板上的電量不變，電場強度為電通密度為 極板表面自由電荷面密度為兩極板之間的電位差為電容量為電容器的儲能為 2-29 若平板電容器的結構如習題圖2-29所示，尺寸同上題，計算上題中各種情況下的參數(shù)。d/2d/2ele 0習題圖2-29解接上電壓，介質(zhì)存在時，介質(zhì)內(nèi)外的電通密度均為，因此，介質(zhì)內(nèi)外的電場強度分別為；兩極板之間的電位差為。則 則電位移矢量為 ；極板表面自由電荷面密度為；介電常數(shù)為的介質(zhì)在靠近極板一側表面

20、上束縛電荷面密度為 介電常數(shù)為與介電常數(shù)為的兩種介質(zhì)邊界上的束縛電荷面密度為此電容器的電量 則電容量為 電容器的儲能為 接上電壓時，移去介質(zhì)后：電場強度為 電位移矢量為 極板表面自由電荷面密度為 電容器的電量 電容量為 電容器的儲能為 (2) 斷開電源后，介質(zhì)存在時，各個參數(shù)與接上電源時完全相同。但是，移去介質(zhì)后，由于極板上的電量不變，電容器中電場強度為，電通密度為極板表面自由電荷面密度為兩極板之間的電位差為電容量為電容器的儲能為2-30已知兩個電容器C1及C2的電量分別為q1及q2，試求兩者并聯(lián)后的總儲能。若要求并聯(lián)前后的總儲能不變，則兩個電容器的電容及電量應滿足什么條件？解 并聯(lián)前兩個電容器總儲能為并聯(lián)后總電容為，總電量為，則總儲能為要使，即要求方程兩邊同乘，整理后得方程兩邊再同乘，可得即由此獲知兩個電容器的電容量及電荷量應該滿足的條件為2-31 若平板電容器中介電e (x) Ad X0習題圖2-31A常數(shù)為平板面積為A，間距為d，如習題2-31所示。試求平板電容器的電容。解設極板上的電荷密度分別為，則由高斯定理，可得電通密度，因此電場強