非線性振動(dòng)初步

1、一、教學(xué)目標(biāo)1、理解無阻尼單擺的相圖；2、能分析出阻尼單擺的相圖；3、了解杜芬方程、范德玻耳方程；4、掌握線性單擺的受迫振動(dòng)；5、了解杜芬方程的受迫振動(dòng)。6、了解龐加萊映射。二、教學(xué)重點(diǎn)1、阻尼單擺的相圖2、杜芬方程三、教學(xué)難點(diǎn)杜芬方程、范德玻耳方程四、教學(xué)方法講授并適當(dāng)運(yùn)用課件輔助教學(xué)五、教學(xué)建議在學(xué)習(xí)本章之前應(yīng)復(fù)習(xí)力學(xué)中有關(guān)諧振子、單擺、共振的內(nèi)容。六、教學(xué)過程一、無阻尼單擺的自由振蕩1、小角度無阻尼單擺橢圓點(diǎn)單擺，一個(gè)由擺線l聯(lián)著的重量為mg的擺錘所組成的力學(xué)系統(tǒng)，是力學(xué)教科書中通常都要進(jìn)行討論的一個(gè)簡單的動(dòng)力學(xué)模型。其實(shí)我們將會(huì)看到，它具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，是一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)。我們研究

2、一個(gè)理想的單擺，即忽略擺線l質(zhì)量，認(rèn)為整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量都集中在擺錘上，是一個(gè)具有集中參數(shù)的數(shù)學(xué)擺，如圖1-1所示。因?yàn)槿绻褦[線與擺錘的質(zhì)量一起計(jì)算，單擺就是一個(gè)具有分布參數(shù)的擺，與此相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是偏微分方程，處理起來很復(fù)雜。理想單擺的數(shù)學(xué)表達(dá)是常微分方程，研究起來就要容易得多了。圖1-1 數(shù)學(xué)擺首先忽略一切阻尼，例如忽略擺錘在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力、擺線與懸掛點(diǎn)之間的摩擦力等等。由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，擺錘質(zhì)量為m的單擺的運(yùn)動(dòng)方程為： (1-1-1)式中為擺角，g為重力加速度。將等式右邊項(xiàng)移到到左邊，并以ml相除后有：設(shè)，它是以單位時(shí)間的弧度為單位的角頻率，則式(1-1-1)可寫為： (1-1-2

3、)由于正弦函數(shù)是非線性的，因此這是一個(gè)二階非線性微分方程。用級(jí)數(shù)展開正弦函數(shù)： (1-1-3)如果x很小，則可以忽略三次以上的高次項(xiàng)，即。這就是說當(dāng)單擺的擺角很小時(shí)，式(1-1-2)變?yōu)榫€性微分方程： (1-1-4)方程(1-1-4)的解可以通過如下的代換解獲得：式中l(wèi)為常數(shù)。代入方程(1-1-4)并消去因子后得特征方程： (1-1-5)方程(1-1-5)的特征根為：由此得到方程(1-1-4)的通解為： (1-1-6)式中，為復(fù)常數(shù)。由于描述單擺振動(dòng)的應(yīng)為實(shí)函數(shù)，所以常數(shù)，必須滿足條件：于是得條件：，。將滿足這樣條件的系數(shù)，寫成指數(shù)形式：，其中P為它們的模，為幅角，則(1-1-6)式寫成如下形

4、式： (1-1-7)(1-1-7)式是一個(gè)振幅為P，角頻率為的簡諧振動(dòng)表示式，表明單擺在擺角很小時(shí)的擺動(dòng)為簡諧振蕩，其振動(dòng)波形可以用正弦曲線來表示。由的定義可知，它只與擺線l得長度有關(guān)，與擺錘質(zhì)量為m無關(guān)，它被稱為單擺的固有角頻率。實(shí)際上簡諧振動(dòng)是一切線性振動(dòng)系統(tǒng)的共同特征，它們都以自己的固有角頻率作正弦振動(dòng)。例如：線性彈簧上的振子、LC振蕩回路中的電流、微波與光學(xué)諧振腔中的電磁場以及電子圍繞原子核運(yùn)動(dòng)等等，都可以近似地用一定固有角頻率的簡諧振動(dòng)來描述。式(1-1-7)是以振動(dòng)的時(shí)間波形來描述系統(tǒng)的振蕩狀態(tài)，這是一種最常用的表示振動(dòng)的方法，但不是唯一的方法。例如，我們可以對(duì)方程(1-1-4)進(jìn)

5、行一次積分，并為簡單起見，選擇時(shí)間標(biāo)度使，則有 (1-1-8)式中E為積分常數(shù)，由初始條件決定。如果把和看作為兩個(gè)變量，則方程(1-1-8)是一個(gè)圓周方程，在以和為軸的直角坐標(biāo)的平面上，方程(1-1-8)是一個(gè)半徑為的圓，振動(dòng)過程以一個(gè)代表點(diǎn)沿圓周轉(zhuǎn)動(dòng)來表示，如圖1-2所示。 圖1-2小擺角單擺的相圖 如果我們不采用，那么方程(1-1-8)應(yīng)該變成： (1-1-9)于是，我們得到一個(gè)橢圓表達(dá)式。所以在以和為軸坐標(biāo)的平面上，方程(1-1-9)表示了一個(gè)橢圓。用和為軸坐標(biāo)定義的平面稱為相平面，“相”的英文字是“Phase”，意為狀態(tài)，因此相圖即為狀態(tài)圖。在相平面上表示系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀

6、態(tài)的方法稱為相平面法。相圖上的每一個(gè)點(diǎn)表示了系統(tǒng)在某一時(shí)刻狀態(tài)（擺角與角速度），系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)則用相圖上的點(diǎn)的移動(dòng)來表示，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為軌線。還可以形象地認(rèn)為，相空間內(nèi)的相點(diǎn)想象成一種流體中的質(zhì)點(diǎn)，相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成一種相流，因此相軌線是不會(huì)相交的。相流可以用平常處理流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程去描述。用相空間里的軌線來表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法是法國偉大數(shù)學(xué)家龐加萊(Poincare)于十九世紀(jì)末提出來的，現(xiàn)在已成為廣泛使用的一種描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的方法，今后我們將經(jīng)常使用。因?yàn)榉匠?1-1-8)右邊第一項(xiàng)可看作為系統(tǒng)的動(dòng)能，而第二項(xiàng)則為系統(tǒng)的勢能，因此方程(1-1-8)或方程(1-1-9)又可寫為：可見

7、積分常數(shù)E是系統(tǒng)的總能量。在運(yùn)動(dòng)過程中，K和V兩者都是隨時(shí)間變化的，而系統(tǒng)的總能量E保持不變。當(dāng)K= 0時(shí)，有，這時(shí)擺處于靜止?fàn)顟B(tài)，稱為靜止平衡。當(dāng)時(shí)，由于系統(tǒng)的總能量保持不變，擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就用確定的周期描述。可見不同的能量E相應(yīng)于半徑不同的圓，它構(gòu)成一簇充滿整個(gè)平面的同心圓或橢圓。顯然同一個(gè)圓周或橢圓上的各點(diǎn)能量相同，所以它們又被稱為等能軌道。顯然坐標(biāo)原點(diǎn)是軌道在能量的點(diǎn)，因?yàn)閲@該點(diǎn)的軌線是橢圓，所以人們常將為橢圓軌線圍繞的靜止平衡點(diǎn)稱為橢圓點(diǎn)。以后我們可以看到，橢圓點(diǎn)在說明系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為時(shí)具有重要意義。2、任意角度無阻尼單擺振動(dòng)雙曲點(diǎn)上面討論了單擺在小角度擺動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，一般來說我們不

8、應(yīng)對(duì)單擺的擺角作任何限制，即單擺的擺角應(yīng)該可以取任意數(shù)值。特別是如果設(shè)想單擺的擺線是剛性的，則擺角可以超過90度，接近或達(dá)到180度，使單擺達(dá)到倒立狀態(tài)，甚至可以超過180度，使單擺以一定的角速度旋轉(zhuǎn)起來。本小節(jié)就是討論在任意擺角下單擺的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。首先我們注意擺角增大對(duì)單擺的振動(dòng)周期影響。由式(1-1-7)可見，小角度單擺的振動(dòng)周期為，由于擺長l與g沒有變化，因此小角度單擺的振動(dòng)周期是常數(shù)，與擺角是無關(guān)的。但是在擺角不是很小的情況下，單擺的振動(dòng)周期還與擺角無關(guān)嗎？當(dāng)年伽利略在觀察比薩教堂中的吊燈的擺動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，長度一定的擺其擺動(dòng)周期不因擺角而變化，因此可以用以精確計(jì)時(shí)?；莞咕褪抢昧速だ缘倪@

9、個(gè)觀察結(jié)果發(fā)明了擺鐘。那么單擺的振動(dòng)周期到底與擺角是否有關(guān)呢？我們可以看一下表1-1所列的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)： 表1-1 單擺的振動(dòng)周期與擺角的關(guān)系q 00510203045T/T0 表中，T0是在零擺角極限下的周期。由表可見，單擺的振動(dòng)周期是隨擺角的增加而增加的。由表可見，在擺角為45o時(shí)單擺的振動(dòng)周期T約比周期T0增加了3.7%！實(shí)際上，即便在擺角很小()的情況下，擺的周期增大效應(yīng)就已存在。事實(shí)上如我們計(jì)及sinq展開式中的高次項(xiàng)時(shí)，即考慮非線性項(xiàng)時(shí)，擺角與周期無關(guān)的結(jié)論就不成立了。伽利略所得出的單擺等時(shí)性規(guī)則只不過是一種近似，這是由于當(dāng)時(shí)的時(shí)間計(jì)量精度不高所造成的。單擺的周期與

10、擺角的關(guān)系的定性圖象如下：由于非線性的影響，只要單擺的擺角大于零，單擺的周期就大于擺角極限下的周期T0，只是在擺角小于90度時(shí)，周期隨擺角增加的變化不大；而當(dāng)超過90度時(shí)，周期T隨擺角增大而很快增長；當(dāng)180o時(shí)，擺的周期T，這是非線性項(xiàng)的影響越來越大的緣故。振動(dòng)周期的倒數(shù)是振動(dòng)頻率，因此振動(dòng)周期在隨擺角增加而增加的同時(shí)，振動(dòng)頻率將越來越慢。而且在擺角增加的同時(shí)，振動(dòng)波形也由原正弦形狀逐漸變成矩形狀，從簡諧振動(dòng)變成了張弛振動(dòng)。在數(shù)學(xué)上，單擺的周期與其擺角的關(guān)系可以采用如下的方法求得。將方程(1-1-2)的兩邊乘以并對(duì)t積分，得： (1-1-10)式中E為積分常數(shù)。在最大角位移處，角速度=0，因

11、此求得積分常數(shù)E為：因此，由式(1-1-10)得： (1-1-11)式(1-1-11)積分得： (1-1-12)設(shè)t = 0時(shí)，并設(shè)振動(dòng)周期為T，則在時(shí)應(yīng)有，再運(yùn)用半角公式，得： (1-1-13)將表示成的函數(shù)，并寫成：則應(yīng)有：由此可得：因而可將式(1-1-13)變?yōu)椋?(1-1-14)式中，。最后可以計(jì)算出： (1-1-15)忽略高次項(xiàng)，得單擺的周期近似地為： (1-1-16)與小角度時(shí)的情況不同，在任意擺角時(shí)我們很難給出相平面上單擺軌線的數(shù)學(xué)表達(dá)式。為了尋求任意擺角時(shí)單擺在相平面上的軌線形狀，我們考察相平面上兩個(gè)特殊點(diǎn)和附近的情況。實(shí)際上是相圖坐標(biāo)的原點(diǎn)，它附近的軌線形狀就是前面小擺角時(shí)討

12、論過的情況，即由式(1-1-8)表示的橢圓，因此我們這里只尋找附近的軌線方程。圖1-3 擺角達(dá)到接近倒立的單擺考慮到是擺錘處于倒立的狀態(tài)，因此可以取對(duì)鉛垂的偏角f 來表示單擺在附近的擺角，如圖1-3所示，即。將代入單擺方程(1-1-2)有：經(jīng)簡單運(yùn)算后得：由于f也是很小角度，可以利用，于是得： (1-1-17)對(duì)式(1-1-17)積分，得： (1-1-18)E為積分常數(shù)。在數(shù)學(xué)上式(1-1-18)是一個(gè)雙曲線方程，也就是說在擺錘處于倒立點(diǎn)附近，相軌線是由E值確定的一條雙曲線，不同的E值給出雙曲線簇。當(dāng)E0時(shí)有這是交點(diǎn)在處的兩條相交的直線，它們是雙曲線的漸近線，如圖1-5所示。變換回坐標(biāo)平面時(shí)，

13、交點(diǎn)為相圖上的。由此可見，坐標(biāo)點(diǎn)是雙曲線兩條漸近線的相交點(diǎn)，因此該點(diǎn)常稱為雙曲奇點(diǎn)。雙曲點(diǎn)是在討論系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為時(shí)另一個(gè)具有重要意義的特殊點(diǎn)。 圖1-4 單擺倒立附近的相軌線3、無阻尼單擺的相圖與勢能曲線由于無法推導(dǎo)完整的相軌線方程，我們只能從小擺角和大擺角兩種特殊情況推斷無阻尼單擺的完整相圖。我們已經(jīng)知道在坐標(biāo)的原點(diǎn)附近，即低能量小角度情況，單擺的相軌線為近似橢圓形的閉合軌道。當(dāng)擺角增大時(shí)，單擺能量E提高，軌線逐漸擴(kuò)展開來，在橫坐標(biāo)的兩個(gè)方向上軌線逐漸呈現(xiàn)出尖角狀；當(dāng)能量E再提高時(shí)，單擺接近到倒立狀態(tài)，那種尖角狀的軌線形狀發(fā)展成雙曲線形，于是我們得到由圖1-5a給所示的單擺在任意擺

14、角下相平面上的軌線?，F(xiàn)在討論任意擺角下單擺相軌線的特征，為此先看一下它的勢能曲線。關(guān)于單擺的勢能可以從基本方程(1-1-2)獲得。若取，對(duì)方程(1-1-2)積分得： (1-1-19)其中右邊第一項(xiàng)我們已在方程(1-1-8)中見到過，它是單擺的動(dòng)能K，等式右邊的積分常數(shù)E應(yīng)是單擺的總能量，所這是一個(gè)能量方程，左邊的第二項(xiàng)是勢能V。于是我們有： (1-1-20)所以單擺的勢能曲線是以余弦函數(shù)分布的，如圖1-5b所示。圖1-5 單擺的相軌線及勢能曲線 我們可由勢能曲線來討論相圖上的一些特殊點(diǎn)的性質(zhì)。由可以獲得單擺的兩個(gè)平衡點(diǎn)：即與。平衡點(diǎn)有穩(wěn)定的與不穩(wěn)定的之分。在平衡點(diǎn)附近，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

15、可知平衡點(diǎn)是極小點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)離開該平衡點(diǎn)時(shí)，恢復(fù)力總是指向，所以這是一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。從相圖上看，與平衡點(diǎn)相應(yīng)的是單擺的靜止?fàn)顟B(tài)。在平衡點(diǎn)附近的相軌線是橢圓，該平衡點(diǎn)稱橢圓點(diǎn)，因而橢圓點(diǎn)意味著是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。再看另一個(gè)平衡點(diǎn)，它相應(yīng)于單擺的倒立狀態(tài)。由圖1-5b勢能曲線可見，這里是勢能的極大點(diǎn)。在該平衡點(diǎn)附近，例如在附近時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)系統(tǒng)離開該平衡點(diǎn)時(shí)，恢復(fù)力總是指向背離的方向，所以這是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。對(duì)于可以作同樣的討論，它也是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。如果受到一個(gè)無限小的力的推動(dòng)，系統(tǒng)就不會(huì)回復(fù)到的狀態(tài)，而使趨向于。從相圖上看，是雙曲點(diǎn)，由此可知雙曲點(diǎn)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，該點(diǎn)也常形象地稱為“鞍點(diǎn)”，

16、即鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)和都是單擺的倒立點(diǎn)，都是相圖上的雙曲點(diǎn)，在圖1-5a上分別標(biāo)為G和G'點(diǎn)。由G點(diǎn)到G'點(diǎn)或由G'點(diǎn)到G點(diǎn)是兩條聯(lián)結(jié)線被稱為分界線(separatrix)。由圖可見，所有的閉合軌道曲線都被限制在由分界線劃定的范圍之內(nèi)。圖1-6 柱面上的單擺相軌線實(shí)際上，相圖上的G和G'點(diǎn)對(duì)應(yīng)于勢能曲線在的兩個(gè)極大點(diǎn)，因此只要擺角陷于的勢谷內(nèi)，單擺能量E不超過勢能的兩個(gè)極大值，相軌道都是一些閉合回線，單擺都作周期振動(dòng)。當(dāng)擺角超過進(jìn)入到中心勢谷左右兩側(cè)的諸勢谷時(shí)，單擺能量E將超過勢能曲線上的極大值，軌道就不再閉合，這時(shí)單擺作向左或向右方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，而不

17、再作周期振動(dòng)了。然而，圖1-5a的橫坐標(biāo)是以2p為周期的，擺角實(shí)際上對(duì)應(yīng)著單擺的同一個(gè)倒立位置，當(dāng)我們把相圖上的G（-）點(diǎn)與G'（）點(diǎn)重迭到一起時(shí)，就相當(dāng)于把相平面卷縮成為一個(gè)柱面。所有的相軌線都將呈現(xiàn)在這樣一個(gè)柱面上，如圖1-6所示。反過來說，平面上的相軌線是柱面上的相軌線的展開圖。 二、阻尼振子1、阻尼單擺不動(dòng)點(diǎn)上面討論的無阻尼單擺實(shí)際上是不存在的，在一個(gè)真實(shí)的力學(xué)系統(tǒng)中阻尼總是存在的。一個(gè)很小的阻尼，即使在短時(shí)間之內(nèi)可以將其阻尼忽略，但在進(jìn)行足夠長時(shí)間的觀察中，阻尼就不能不計(jì)了，單擺的擺動(dòng)最終會(huì)因阻尼而停止下來。在小阻尼下，可以認(rèn)為單擺所受到的阻尼力與擺的速度成正比。因

18、此，當(dāng)在單擺運(yùn)動(dòng)方程中加進(jìn)了阻尼力項(xiàng)后可以寫為： (1-2-1)式中第二項(xiàng)就是擺受到的阻尼力，g 為阻尼系數(shù)，在小阻尼下可視為常數(shù)。取為無量綱阻尼系數(shù)，如果擺角很小，滿足，式(1-2-1)變?yōu)椋?(1-2-2)方程(1-2-2)為一齊次方程，設(shè)其解具有形式：l為待定常數(shù)。將式其代入方程(1-2-2)后得特征方程： (1-2-3)方程(1-2-3)的得特征根為：設(shè)單擺是小阻尼的，這時(shí)上式根號(hào)下的值是負(fù)的，取于是特征方程方程(1-2-3)的根可寫為： (1-2-4)經(jīng)如此代換以后，方程(1-2-2)的通解為：注意到式中括號(hào)內(nèi)的形式與式(1-1-6)相同，所以可以將括號(hào)內(nèi)的部分表示為與式(1-1-7

19、)相同的形式。這樣在小阻尼條件下阻尼單擺的解可寫成如下形式： (1-2-5)由式(1-2-5)可知，與無阻尼單擺相比，阻尼單擺是幅度隨時(shí)間作指數(shù)衰減的周期振蕩，而且振動(dòng)頻率因阻尼而減小。為了給出在相平面上的圖象，取(1-2-5)式的微分：(1-2-6)并將相平面坐標(biāo)變量按下式變換為坐標(biāo)u,v變量的平面：式中：，為u,v相平面上軌線的矢徑，為軌線的幅角。由于，說明單擺軌線的矢徑隨時(shí)間t指數(shù)縮短。由于相平面u,v不含時(shí)間，所以需要在式中的t消去。利用得：代入式，并取，得： (1-2-7)式(1-2-7)表明，與無阻尼單擺不同，阻尼單擺的軌線的矢徑是隨轉(zhuǎn)角的增加而縮短的。所以在u,v平面上阻尼單擺的

20、相軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對(duì)數(shù)螺旋線簇，如圖1-7所示。如果變換回平面，相軌道也是與此類似的對(duì)數(shù)螺旋線簇。由此可見，阻尼使圖1-2所示的單擺的橢圓形軌道破裂，無論阻尼是如何微小，阻尼都會(huì)將線性系統(tǒng)的閉合相軌線完全破壞掉。阻尼單擺的相軌線的矢徑作對(duì)數(shù)衰減的原因是由于系統(tǒng)的能量耗散。由于耗散，無論初始時(shí)刻從相平面上的哪一點(diǎn)出發(fā)，在經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)之后，最終都會(huì)趨向于坐標(biāo)原點(diǎn)。因此人們形象地稱原點(diǎn)O為“吸引子”，它把相空間里的點(diǎn)吸引過來。這是最簡單的一類吸引子，稱為零維吸引子，因?yàn)閿?shù)學(xué)上幾何點(diǎn)的維數(shù)為零。代表點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O，相應(yīng)于單擺靜止下來，所以原點(diǎn)O又稱不動(dòng)點(diǎn)。圖1-7 小阻尼單擺的相軌線圖1-8 阻尼單

21、擺的擴(kuò)展相圖將阻尼對(duì)閉合相軌線破壞結(jié)果擴(kuò)大到任意擺角的阻尼單擺上，就可以畫出任意擺角下的阻尼單擺相圖，如圖1-8所示。如圖，中心部分(坐標(biāo)原點(diǎn)附近)的軌線和小擺角的線性情況相似，相軌線是向內(nèi)旋轉(zhuǎn)的對(duì)數(shù)螺旋線。其次，我們注意一下鞍點(diǎn)和分界線上的情況。由圖可見，鞍點(diǎn)的位置仍在處，整相平面被通過兩個(gè)鞍點(diǎn)G與G'的軌線分隔成了三個(gè)不同的區(qū)域。假如單擺從倒立開始往下擺，由于阻尼引起的能量耗散，它不可能擺動(dòng)到原有的高度。這樣從一個(gè)鞍點(diǎn)（例如G）出發(fā)的軌線因能量耗散而向內(nèi)卷縮，因而到不了另一個(gè)鞍點(diǎn)G'，原有的分界線也被破壞了。從從相流觀點(diǎn)去看，所有中間區(qū)域（沒有陰影線）內(nèi)的相點(diǎn)都回流向坐標(biāo)原

22、點(diǎn)。原點(diǎn)是該區(qū)域的不動(dòng)點(diǎn)，也是該區(qū)域的吸引子，這個(gè)中間區(qū)域也被叫做原點(diǎn)吸引子的吸引域。另外兩個(gè)區(qū)域（有陰影線的上下兩個(gè)區(qū)域）也有相應(yīng)的吸引子，它們分別處在該圖的左（）右（）兩側(cè)。2 無驅(qū)杜芬方程通常，把含有立方項(xiàng)恢復(fù)力的非線性振子稱為杜芬（Duffing）振子。例如，如果考慮受驅(qū)單擺方程中的弱非線性，即擺角不大時(shí)取sinq的級(jí)數(shù)展開式的前兩項(xiàng)，sinq，就是一種特殊形式的杜芬振子。這時(shí)的單擺方程變?yōu)檐洀椈啥欧曳匠蹋?(1-2-8)為小擺角下的自振頻率。方程(1-2-8)稱為軟彈簧杜芬方程的原因是方程中的恢復(fù)力（）比線性彈簧振子中的線性恢復(fù)力（x）還要小。這里我們研究一類特殊的杜芬方程，它與方程

23、(1-2-8)的不同在于線性恢復(fù)力項(xiàng)是負(fù)的，即： (1-2-9)在實(shí)驗(yàn)上，描述方程(1-2-9)的振動(dòng)系統(tǒng)可以圖1-9所示的裝置來演示。如圖示，固定在框架上的一條彈性板，其端點(diǎn)受到左右兩塊磁鐵吸引，而框架則受一正弦驅(qū)動(dòng)力作用。通過裝置在彈性板跟部的應(yīng)變片可以輸出反映彈性板振動(dòng)的信號(hào)。方程中系數(shù)由磁鐵的吸力調(diào)整，在弱磁鐵吸力時(shí)參數(shù)，吸力強(qiáng)時(shí)參數(shù)。我們討論無驅(qū)動(dòng)力杜芬方程的特性。設(shè)系數(shù)，先考慮的無阻尼情況，則無驅(qū)動(dòng)力作用的杜芬方程為：進(jìn)行積分得： (1-2-10)式中E為積分常數(shù)。如果將方程(1-2-10)與小擺角單擺方程(1-1-8)對(duì)比一下可以發(fā)現(xiàn)，該方程也是一個(gè)能量方程，第一項(xiàng)為系統(tǒng)的動(dòng)能K

24、，第二項(xiàng)則為系統(tǒng)的勢能V： (1-2-11)積分常數(shù)E則為系統(tǒng)的總能量。圖1-9 在磁性力作用下的彈性板如弱磁鐵吸力時(shí)，從可知系統(tǒng)只有一個(gè)的平衡點(diǎn)，它相應(yīng)于勢能的最小點(diǎn)，因此是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。如果參數(shù)，則系統(tǒng)就有三個(gè)的平衡點(diǎn)，與，其中兩個(gè)平衡點(diǎn)相應(yīng)于勢能的極小點(diǎn)，因此是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，而的平衡點(diǎn)相應(yīng)于勢能的極大點(diǎn)，是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，是鞍點(diǎn)，說明系統(tǒng)的兩個(gè)勢谷為一個(gè)勢壘所隔開。圖1-10給出了方程中與兩種情況的勢能曲線。上述情況說明杜芬方程的解在從參數(shù)變到過程中在處發(fā)生了分裂。這種由一個(gè)穩(wěn)定解分裂為兩個(gè)穩(wěn)定解與一個(gè)不穩(wěn)定解在數(shù)學(xué)上稱為叉式分岔。關(guān)于數(shù)學(xué)分岔下面我們將會(huì)有更詳細(xì)一點(diǎn)的介紹。從空間的對(duì)稱

25、性來分析，杜芬方程的相軌線隨著參數(shù)由負(fù)變正，其對(duì)稱性發(fā)生了突變，從先前一個(gè)振動(dòng)中心變成兩個(gè)中心，原來對(duì)稱的軌線現(xiàn)在變?yōu)椴粚?duì)稱了。這種因參數(shù)變化而導(dǎo)致對(duì)稱性破壞的情況稱為對(duì)稱性破缺(Symmetry breaking)。對(duì)稱性破缺與分岔在非線性物理中是經(jīng)常可以遇到的，而且分岔還是一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)從規(guī)則運(yùn)動(dòng)走向非規(guī)則運(yùn)動(dòng)的主要方式之一。a b圖1-10 杜芬方程的勢能曲線 根據(jù)前面單擺的勢能曲線與相圖間的關(guān)系，我們可以容易地從杜芬方程勢能曲線的形狀畫出它在（）相平面上的相軌線。圖1-11給出了無阻尼（）杜芬方程在與兩種情況下在（）相平面上相軌線形狀。對(duì)于，則坐標(biāo)原點(diǎn)（）是橢圓點(diǎn)，其附近是閉

26、合的橢圓軌道（圖1-11a），與無阻尼單擺相類似，隨系統(tǒng)能量E的提高，橢圓軌道的半徑逐漸加大，并且逐步偏離正規(guī)的橢圓形狀。時(shí)的相軌線如圖1-11b所示。這時(shí)坐標(biāo)原點(diǎn)（）是鞍點(diǎn)，其鄰近的相軌線是雙曲線，而在坐標(biāo)處是橢圓點(diǎn)，因此圍繞坐標(biāo)點(diǎn)是閉合的橢圓形軌道，但在離得較遠(yuǎn)處的軌道將偏離橢圓形狀，象一對(duì)尖頭相對(duì)的兩個(gè)雞蛋形狀，因?yàn)榕R近坐標(biāo)原點(diǎn)的地方軌線要呈雙曲線。通過坐標(biāo)原點(diǎn)的相軌線是兩條相交的界軌線。從界軌線的走向來看，有兩條軌線走向坐標(biāo)原點(diǎn)，而另兩條則離開該點(diǎn)，如果沿一條軌線從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，則在繞了一圈以后又回到了坐標(biāo)原點(diǎn)。以后我們要講到象這樣的雙曲點(diǎn)稱為同宿點(diǎn)。 a b圖1-11 無阻

27、尼（）杜芬方程的相軌線 如果考慮的有阻尼情況。與阻尼單擺的情況相同，這時(shí)所有閉合的相軌線都破裂成內(nèi)卷縮的螺旋線。在的情況下，坐標(biāo)原點(diǎn)（）是不動(dòng)點(diǎn)，相平面上任何一個(gè)相點(diǎn)都趨向于坐標(biāo)原點(diǎn)，因此它是整個(gè)相平面的吸引子，是零維吸引子，如圖1-12a。在的情況下，坐標(biāo)原點(diǎn)是鞍點(diǎn)，而坐標(biāo)（）處是兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，是吸引子。整個(gè)相平面被進(jìn)入坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條軌線分隔成兩個(gè)區(qū)域，兩個(gè)不同區(qū)中的相點(diǎn)分別流向左或右的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。如圖1-12b所示，打陰影線的區(qū)域是左邊吸引子的吸引域，而沒有陰影線的區(qū)域是右邊吸引子的吸引域。 a b圖1-12 有阻尼（）杜芬方程的相軌線 3 非線性阻尼范德玻耳方

28、程前面我們研究過具有常阻尼系數(shù)的單擺方程(1-2-2)，那里方程的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是一正的常數(shù)，它導(dǎo)致了單擺隨時(shí)間作衰減振動(dòng)?，F(xiàn)在研究一個(gè)具有可變非線性阻尼的微分方程，即： (1-2-12)可見方程的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是x的平方函數(shù)并乘上一個(gè)小數(shù)e，即，所以是一種可變的非線性阻尼。它是為描述LC回路電子管振蕩器由范德玻耳于1928年建立的，式中為回路的固有頻率。這個(gè)方程現(xiàn)在是數(shù)學(xué)物理方程中的一個(gè)基本方程，稱為范德玻耳方程。本小節(jié)就是討論可變非線性阻尼會(huì)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為帶來一些什么樣的變化？由于非線性，直接解方程(1-2-12)是很困難的，我們只好采取近似解。首先可以見到，當(dāng)e0時(shí)，該式與無阻尼

29、小幅度單擺方程(1-2-2)是一樣的。仿照方程(1-1-4)的解(1-1-7)的形式，當(dāng)e0時(shí)我們?nèi)∈?1-2-12)的解為： (1-2-13)其中振幅A是一個(gè)待解數(shù)。對(duì)式(1-2-13)求一階與二階導(dǎo)數(shù)： (1-2-14) (1-2-15)將方程(1-2-12)的一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊： (1-2-16)再將式一階與二階導(dǎo)數(shù)分別代入上面方程的兩邊，得：（1-2-17）上面方程的兩邊的同次諧波項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等，即有：由前兩式可得：和 (1-2-18)為定常振幅。我們注意到式(1-2-17)右邊的三次諧波項(xiàng)與基頻項(xiàng)相比，應(yīng)該是個(gè)小項(xiàng)，可以將其略去。由式(1-2-17)并利用式(1-2-14)，方程

30、(1-2-16)的右邊近似于：將其代入方程(1-2-12)，就得到含有待解振幅A的線性化方程： (1-2-19)由于方程(1-2-19)是根據(jù)諧波平衡原理，即令同次諧波系數(shù)相等以后取其一次項(xiàng)得到的近似方程，所以稱為諧波線性化方程。注意到方程(1-2-19)形式上與阻尼單擺方程間的類似，因此在解該方程時(shí)可以將其解寫為： (1-2-20)式中稱初始振幅，稱為等價(jià)阻尼系數(shù)，。與阻尼單擺不同，等價(jià)阻尼系數(shù)不是常數(shù)，它與振動(dòng)的振幅有關(guān)： (1-2-21)為自振動(dòng)頻率，它是振幅的函數(shù)：(1-2-22)振動(dòng)頻率這種隨振幅變化的特性稱為非線性系統(tǒng)自振動(dòng)的非等時(shí)性。由(1-2-20)可知，等價(jià)阻尼系數(shù)的符號(hào)決定

31、了系統(tǒng)的振動(dòng)隨時(shí)間變化的行為。而(1-2-21)告訴我們，等價(jià)阻尼系數(shù)的符號(hào)與振幅A值有關(guān)，它可正可負(fù)。當(dāng)(= 2)，0，則系統(tǒng)作衰減振動(dòng)，此時(shí)振動(dòng)頻率，而且在時(shí)，將快速地衰減；當(dāng)時(shí)，<0，則系統(tǒng)作增幅振動(dòng)，此時(shí)振動(dòng)頻率，當(dāng)時(shí)，將非?？焖俚卦鲩L；當(dāng)時(shí)，=0，這時(shí)系統(tǒng)作等幅振動(dòng)，系統(tǒng)的振動(dòng)頻率；在時(shí)，不管是衰減還是增幅都是非常緩慢的。解式(1-2-20)說明，只要初振幅不等于零，那么不論其量值如何，振動(dòng)的振幅總是趨向于一個(gè)穩(wěn)定的幅值發(fā)展。這種類型的振蕩器稱為自持振蕩器，其解稱為定常解。圖1-13a和圖1-13b分別給出了和兩種情況下的振蕩波形。在圖1-13a上，初振幅大于定常振幅，初始阻尼

32、是正的，它使振動(dòng)逐步衰減，直到達(dá)到定常為止；與此相反，在圖1-13b上，初振幅小于定常振幅，初始阻尼是負(fù)的，所以振動(dòng)的振幅將逐步地增長，并趨近于定常振幅。圖1-13 范德玻耳方程在小參數(shù)下的振蕩波形 上述線性化方程解的主要結(jié)論是振動(dòng)趨于一個(gè)定常振幅的周期振蕩。從單擺的相圖知道，定常振幅的周期振蕩在相平面上是一條閉合軌線。于是我們依據(jù)線性化方程的解的結(jié)論，可以原則上給出在相平面（）上范德玻耳方程的相軌線，圖1-14所示就是取時(shí)實(shí)際計(jì)算得到的相軌線。圖1-14中那條較粗的閉合環(huán)線就是范德玻耳方程定常振幅的相軌線，它被稱為極限環(huán)。當(dāng)時(shí)，初始處在極限環(huán)內(nèi)相點(diǎn)由于這時(shí)等效衰減系數(shù)<0，系

33、統(tǒng)作增幅振動(dòng)，于是相圖上的軌線從內(nèi)向外并趨近于極限環(huán)。與此相反，當(dāng)時(shí)，初始處在極限環(huán)外相點(diǎn)由于這時(shí)等效衰減系數(shù)>0，系統(tǒng)作減幅振動(dòng)，于是軌線就從外向內(nèi)逼近于極限環(huán)。由此可見極限環(huán)也是一類吸引子，它將環(huán)內(nèi)與環(huán)外的相點(diǎn)吸引到環(huán)上。我們還可以從能量平衡的觀點(diǎn)對(duì)范德玻耳方程方程的極限環(huán)作進(jìn)一步分析。實(shí)際上從方程(1-2-12)中的阻尼系數(shù)我們可以直接得出結(jié)論：當(dāng)時(shí)阻尼項(xiàng)為負(fù)的，當(dāng)時(shí)阻尼項(xiàng)為正的。于是我們可以將相平面分成由為界的三個(gè)區(qū)域：與區(qū)域?yàn)檎枘釁^(qū)，在這兩個(gè)區(qū)域內(nèi)，軌線是向內(nèi)收縮的；而為負(fù)阻尼區(qū)，在這區(qū)域內(nèi)軌線則是向外發(fā)散的。這意味著在振動(dòng)過程中存在著能量的交換過程。如果我們對(duì)方程(1-2-

34、12)進(jìn)行一次積分： (1-2-23)式中E為積分常數(shù)，左邊的第一項(xiàng)為動(dòng)能K，第三項(xiàng)為勢能V，而第二項(xiàng)為外界對(duì)系統(tǒng)作的功?？紤]系統(tǒng)能量的變化有：在系統(tǒng)達(dá)到定常態(tài)以后，一個(gè)周期內(nèi)的平均能量沒有變化，=0 (1-2-24)滿足方程(1-2-24)的條件是上式的積分為零，于是有：就得到了與線性化方程(1-2-19)同樣的結(jié)論：圖1-14 范德玻耳方程的相圖三、相圖方法1. 相軌線從上面的討論中看到，單擺的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)除用時(shí)間波形圖表示外，還可以用相圖的方法來表示。實(shí)際上許多重要的物理現(xiàn)象都可由非線性微分方程來描述，它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都可用相圖方法表示。因此我們需要將單擺運(yùn)動(dòng)的相圖方法推廣到一般系統(tǒng)，這就是本

35、節(jié)要討論的內(nèi)容。當(dāng)以x作為變量時(shí)，小角度單擺方程可以寫為： (1-3-1)引進(jìn)變數(shù)y： (1-3-2)代入式(1-3-1)，得： (1-3-3)于是我們看到用二階微分方程所描寫的小角度單擺方程(1-3-1)，可以改用方程(1-3-2)和方程(1-3-3)的兩個(gè)一階微分方程來描寫。而且利用方程(1-3-2)，方程(1-3-3)可以寫為： (1-3-4)對(duì)式(1-3-4)積分得： (1-3-5)實(shí)際上方程(1-3-5)是與方程(1-1-9)相同的方程，只是采用了不同的變量來表示，兩個(gè)方程都描寫小角度單擺在相平面上的軌線是橢圓。在一般情況下，一個(gè)非線性微分方程可以寫為： (1-3-6)利用式(1-3

36、-2)引進(jìn)變數(shù)y，則方程(1-3-6)可以用兩個(gè)一階方程代替： (1-3-7)方程組(1-3-7)還可以寫成更一般的形式： (1-3-8)由方程組(1-3-8)消去dt，可以得到： (1-3-9)由式(1-3-9)的積分，可以得到x，y的關(guān)系式。這些關(guān)系式給出原微分方程(1-3-6)的相軌線。例如式(1-3-5)給出了無阻尼單擺的相軌線的表達(dá)式。在x，y坐標(biāo)平面的相平面上的每一個(gè)確定的相點(diǎn)代表了系統(tǒng)在給定時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。2 平衡點(diǎn)的類型及其穩(wěn)定性由前面的討論可以看到，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是相圖上的一些特殊點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上稱為奇點(diǎn)。現(xiàn)在我們從一般性的非線性方程出發(fā)，看看奇點(diǎn)有那些基本的類型與特性。一個(gè)系統(tǒng)的

37、平衡點(diǎn)可以從下面推出： (1-3-10)由此推得的平衡點(diǎn)坐標(biāo)的更一般的形式： (1-3-11)將式(1-3-8)對(duì)平衡點(diǎn)的鄰域進(jìn)行泰勒展開：(1-3-12)引進(jìn)新變數(shù)：，則式(1-3-8)可以表達(dá)為： (1-3-13)式中：如果忽略高階項(xiàng)，則式(1-3-13)變?yōu)榫€性方程組： (1-3-14)將方程組(1-3-14)變換為二階微分方程形式，為此對(duì)(1-3-14)的第一式微分：然后將方程組(1-3-14)第二式代入得：而由方程組(1-3-14)第一式知：因此得如下的二階線性方程： (1-3-15)基于方程上的相似性，我們可以采用與解阻尼單擺式(1-2-2)相同的方法來解式(1-3-15)，即假定

38、上式的解為：式中J為常數(shù)，代入上式得下面的特征方程： (1-3-16)我們還可以用另外一種方法推導(dǎo)特征方程(1-3-16)。將近似的線性方程組(1-3-14)寫成矩陣形式則由行列式得整理即得特征方程(1-3-16)。引入?yún)?shù)：解式(1-3-16)得： (1-3-17)即有： (1-3-18)可見對(duì)于不同的參數(shù)p,q，即不同的A,B,C,D，式(1-3-15)的解有不同的形式。利用解(1-3-18) 來討論平衡點(diǎn)類型還不十分方便，需作一次坐標(biāo)變換。為此我們定義兩個(gè)新變量x,h來對(duì)X,Y進(jìn)行線性變換： (1-3-19)在新的坐標(biāo)系x,h中，方程組(1-3-14)變?yōu)椋?(1-3-20)這樣方程組(

39、1-3-20)的解可以寫為： (1-3-21)進(jìn)一步消去方程組(1-3-20)中的dt后得方程： (1-3-22)解式(1-3-22)就可得(x,h)相平面上的相點(diǎn)關(guān)系： (1-3-23)由式(1-3-21)或式(1-3-22)，可以討論方程組(1-3-20)在不同特征根時(shí)平衡點(diǎn)的類型及其附近的相軌線形式。結(jié)點(diǎn)如特征根式(1-3-17)的根號(hào)中，則式(1-3-16)的解為兩個(gè)實(shí)根。兩個(gè)實(shí)根為同號(hào)的情況下，其平衡點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)。對(duì)于不同的值結(jié)點(diǎn)還有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分，結(jié)點(diǎn)附近的相軌線也有幾種形式。圖1-15為時(shí)的相軌線。由(1-3-21)可以見到，如果兩個(gè)根均為負(fù)，則結(jié)點(diǎn)鄰域的相點(diǎn)隨時(shí)間趨近該點(diǎn)，因此

40、該結(jié)點(diǎn)為穩(wěn)定的。如果兩個(gè)根均為正，則在結(jié)點(diǎn)鄰域的相點(diǎn)隨時(shí)間遠(yuǎn)離該點(diǎn)，因此為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。由(1-3-22)可見，當(dāng)時(shí)，這時(shí)的相軌線為一拋物線，如果，拋物線相切于x軸，而，拋物線則趨近于h軸。 圖1-15 時(shí)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)a.，b.，c.，d. 當(dāng)時(shí)，這時(shí)的相軌線為通過平衡點(diǎn)的直線。如果，如圖1-16a所示，相軌線趨向平衡點(diǎn)，因此平衡點(diǎn)是一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)；而當(dāng)時(shí)，則相軌線背離平衡點(diǎn)，如圖1-16b所示，因此平衡點(diǎn)是一個(gè)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。圖1-16 時(shí)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)如果式(1-3-17)根號(hào)中，但兩個(gè)實(shí)根為異的情況。這種情況下的相軌線為雙曲線，因此其奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)，如圖1-17

41、所示。我們知道，鞍點(diǎn)是不穩(wěn)定的。但是有四條流線通過鞍點(diǎn)，其中流向鞍點(diǎn)的兩條流線是穩(wěn)定的，另外流離鞍點(diǎn)的兩條流線是不穩(wěn)定的?！鞍包c(diǎn)”取名源于對(duì)該點(diǎn)特性的形象描述。一個(gè)嚴(yán)格沿馬背脊梁骨滾動(dòng)的小球可以到達(dá)該點(diǎn)，相當(dāng)于流向鞍點(diǎn)的兩條穩(wěn)定流線，但是任何微小的偏離將使其沿馬背的左邊或右邊滑走。鞍點(diǎn)指馬鞍中心點(diǎn)，該點(diǎn)是沿馬脊梁的最低點(diǎn)。在最低點(diǎn)與馬脊梁垂直方向是離開鞍點(diǎn)的最有利方向，相當(dāng)于流離鞍點(diǎn)的兩條不穩(wěn)定流線。 圖1-17 鞍點(diǎn)：a. ，b.  焦點(diǎn)如果，則式(1-3-15)的解為兩個(gè)虛根，這時(shí)的奇點(diǎn)為焦點(diǎn)。這時(shí)可將式(1-3-17)寫為：式中，。當(dāng)系統(tǒng)的特征根為復(fù)數(shù)時(shí)，如阻尼單擺的

42、相圖那樣，這種情況下的相軌線是對(duì)數(shù)螺旋線，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)稱為焦點(diǎn)。焦點(diǎn)也有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之分。當(dāng)實(shí)部為負(fù)值時(shí)，與阻尼單擺情況相同，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是螺旋線簇的漸近點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間t時(shí)，螺旋線簇趨近于它，這樣的焦點(diǎn)是穩(wěn)定的，如圖1-18a所示；當(dāng)實(shí)部為正值時(shí)，系統(tǒng)從平衡點(diǎn)發(fā)散開來，這時(shí)的焦點(diǎn)是不穩(wěn)定的，如圖1-18b所示。可見實(shí)部的大小了代表螺旋線半徑的增長或衰減速度，特征根虛部的大小則代表了軌線的轉(zhuǎn)動(dòng)速度。圖1-18 a.穩(wěn)定的焦點(diǎn)，b.不穩(wěn)定焦點(diǎn) 中心點(diǎn)當(dāng)特征方程的兩個(gè)虛根的實(shí)部等于零時(shí)，則這時(shí)螺旋線的矢徑不隨時(shí)間變化，相軌線成為圍繞著平衡點(diǎn)的是封閉的曲線族，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)成了封閉軌線曲線族的中心

43、，稱為“中心點(diǎn)”，中心點(diǎn)附近的封閉的橢圓曲線，代表系統(tǒng)作周期運(yùn)動(dòng)。根據(jù)虛部的正負(fù)不同，相軌線上的相點(diǎn)可以是順時(shí)的或逆時(shí)的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)穩(wěn)定性的定義，周期運(yùn)動(dòng)滿足穩(wěn)定性的兩個(gè)條件，因而中心點(diǎn)是穩(wěn)定的的平衡點(diǎn)。我們討論在無阻尼單擺的自由振蕩時(shí)已經(jīng)看到，這個(gè)中心點(diǎn)是橢圓點(diǎn)，是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)。最后，我們?cè)趨?shù)p, q平面上來討論一下根的分布。在p, q平面上各類奇點(diǎn)的情況如圖1-19所示。首先，在p, q平面的下半部分，這里是的區(qū)域，因此在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)是鞍點(diǎn)。而在p, q平面上半部情況比較復(fù)雜，這里由拋物線將上半部分為四個(gè)區(qū)。其中拋物線將第一象限劃分成穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)（）與穩(wěn)定的焦點(diǎn)（）兩部分。而拋物線將

44、第二象限劃分成不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)（）與不穩(wěn)定的焦點(diǎn)（）兩部分。最后在正q軸上，這里p = 0，根的實(shí)部等于零，它是純虛數(shù)，因此平衡點(diǎn)是中心點(diǎn)，圍繞中心點(diǎn)附近的軌線是橢圓。圖1-19 p,q平面上各類奇點(diǎn)的分布四、受迫振蕩1線性單擺的受迫振動(dòng)一個(gè)單擺如受到一周期驅(qū)動(dòng)力矩作用而擺動(dòng)起來，稱為受迫振動(dòng)。設(shè)單擺的擺線長度為l，擺錘質(zhì)量為m，周期驅(qū)動(dòng)力為，f為驅(qū)動(dòng)力矩振幅，為驅(qū)動(dòng)力頻率。為普遍化起見，取單擺的擺角，則在小擺角條件下周期驅(qū)動(dòng)力作用下的單擺方程有： (1-4-1)式中為無量綱阻尼系數(shù)，相對(duì)驅(qū)動(dòng)力矩，為系統(tǒng)的自振動(dòng)頻率。方程(1-4-1)為一非齊次線性微分方程，它的通解等于相應(yīng)的齊次線性微分方程的通

45、解和這個(gè)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解之和。在研究線性阻尼單擺時(shí)，我們已獲得過齊次線性微分方程的通解： (1-4-2)無阻尼線性單擺的自振頻率。為了求得方程(1-4-1)的特解，將周期驅(qū)動(dòng)力寫成指數(shù)形式：，于是周期驅(qū)動(dòng)力作用下的單擺方程(1-4-1)寫為： (1-4-3)設(shè)方程(1-4-3)具有如下形式的特解： (1-4-4)對(duì)t求導(dǎo)兩次：, 將x(t)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入方程(1-4-3)，在消去公因子后得代數(shù)方程：由此得： (1-4-5)將式(1-4-5)的分母寫成指數(shù)形式：式中， (1-4-6)代入式(1-4-5)得：將P代入式(1-4-3)，得方程的特解為：取上式的實(shí)數(shù)部分，于是有：代

46、入r、j 以后方程(1-4-3)的特解可以寫為：(1-4-7)將式(1-4-7)與(1-4-2)相加得非齊次線性微分方程(1-4-1)的通解為：= (1-4-8)式(1-4-8)是振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性與驅(qū)動(dòng)力間的關(guān)系式，稱為頻率特性。注意到其第一項(xiàng)是隨時(shí)間衰減的，在經(jīng)過一段時(shí)間之后這一項(xiàng)將衰減到可以忽略的程度，這個(gè)衰減過程常稱為系統(tǒng)的過渡過程，最后僅剩下第二部分。因此我們也可只討論第二部分的特性。由式(1-4-8)可見，系統(tǒng)的頻率特性除與驅(qū)動(dòng)力幅度及頻率有關(guān)外，還與系統(tǒng)得阻尼系數(shù)有關(guān)。幅頻特性可以寫為： (1-4-9)由式(1-4-9)可見，在某一驅(qū)動(dòng)頻率下振動(dòng)幅度可達(dá)到最大值，稱為共振，相應(yīng)的

47、驅(qū)動(dòng)頻率稱為共振頻率。將式(1-4-9)分母的根號(hào)下的表達(dá)式對(duì)求導(dǎo)并令其等于零：得共振頻率nr： (1-4-10)可見當(dāng)存在阻尼時(shí)共振頻率nr小于系統(tǒng)的自振頻率，但在小阻尼下兩者相差不大。共振時(shí)的最大振幅為：相頻特性為圖1-22給出了三個(gè)不同下的幅頻特性曲線。由圖可見，阻尼系數(shù)愈小，特性曲線愈尖銳，共振頻率也愈趨近于單擺的自振動(dòng)頻率。圖1-20 不同b下的幅頻特性曲線2. 杜芬方程的受迫振動(dòng)杜芬方程是一類典型的力學(xué)問題，因此受到廣泛的重視。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)杜芬方程的形式可寫為： (1-4-11)其中可取零，正或負(fù)，可取正或負(fù)。對(duì)于以杜芬方程描述的非線性彈簧系統(tǒng)，如硬彈簧系統(tǒng)，與均取正，而軟彈簧系統(tǒng)，取

48、正取負(fù)。不失一般性，我們研究一個(gè)由受驅(qū)弱非線性單擺演化得到的杜芬振子方程，即取單擺方程中sinq的級(jí)數(shù)展開式的前兩項(xiàng)，得： (1-4-12)為單擺的自振頻率。與方程(1-4-11)相比，這里系數(shù)，。因?yàn)榉匠?1-4-12)是非線性方程只能采用近似解法。近似解法有多種，有一種稱為漸近解法，根據(jù)這種解法方程(1-4-12)的一次近似解可以寫為：式中A，j為待定常數(shù)。它們由下述方程組求出： (1-4-13)其中，方程組(1-4-13)積分后： (1-4-14)但是方程組(1-4-14)仍然是一個(gè)非線性微分方程組，精確求解仍很困難，但可對(duì)它在穩(wěn)態(tài)情況下的解進(jìn)行討論，即：0，于是有： (1-4-15)

49、(1-4-16)引入符號(hào)：稱為系統(tǒng)的等效自振頻率。該式表明，系統(tǒng)的等效自振頻率將隨振幅的增加而減小。實(shí)質(zhì)上這與第一章討論的單擺振動(dòng)周期隨擺幅變化而變化的現(xiàn)象是一致的。引入了以后，方程式(1-4-16)變?yōu)椋?(1-4-17)為簡單起見，考慮近共振情況，在此條件下有，。此時(shí)，式(1-4-15)與(1-4-17)變?yōu)椋?(1-4-18)利用三角公式，從方程組(1-5-18)消去j，經(jīng)整理可得到與線性驅(qū)動(dòng)單擺共振區(qū)附近振幅表達(dá)式(1-4-9)非常相似的公式： (1-4-19)可見式(1-4-19)與式(1-4-9)的最主要差別是：受驅(qū)線性單擺的自振頻率是常數(shù)，而受驅(qū)杜芬方程（非線性單擺）的等效自振頻率是隨振幅的增加而減小的。圖1-21 杜芬方程主共振的頻率特性曲線，當(dāng)在區(qū)間時(shí)有三個(gè)共振解 圖1-21給出了杜芬方程主共振的頻率特性曲線，圖中的虛線為隨振幅增加而減小曲線，稱為主共振骨架線。由圖可見，由于自振頻率隨振幅增加而減小，從而使特性曲線的共振峰發(fā)生了“傾倒”現(xiàn)象。由于這種“傾倒”，特性