第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性及極限的

1、第四節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性及極限的應(yīng)用1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義: 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù).2.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個條件.(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處有定義；(2)f(x)存在；(3)f(x)=f(x0)，即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.如果上述三個條件中有一個條件不滿足，就說函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù).那根據(jù)這三個條件，我們就可以給出函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義3.函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算:若f(x)，g(x)都在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)g(x)，

2、(g(x)0)也在點(diǎn)x0處連續(xù)。若u(x)都在點(diǎn)x0處連續(xù)，且f(u)在u0=u(x0)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)fu(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。4.函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)的定義：如果函數(shù)f(x)在某一開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù)，就說函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或f(x)是開區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù).f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)以及在a、b兩點(diǎn)都連續(xù)，現(xiàn)在函數(shù)f(x)的定義域是a，b，若在a點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在a點(diǎn)的極限存在并且等于f(a)，即在a點(diǎn)的左、右極限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處連續(xù)，在a點(diǎn)處右極限存在等于f(a)，在b點(diǎn)處左極限存在

3、等于f(b).5.函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)的定義：如果f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，在左端點(diǎn)x=a處有f(x)=f(a)，在右端點(diǎn)x=b處有f(x)=f(b),就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上連續(xù),或f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù).6. 最大值最小值定理如果f(x)是閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在閉區(qū)間a，b上有最大值和最小值 7.特別注意：函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)與函數(shù)f(x)在x=x0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別?！斑B續(xù)必有極限，有極限未必連續(xù)?！?二、 問題討論點(diǎn)擊雙基1.f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要

4、 D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù).答案：A2.f（x）=的不連續(xù)點(diǎn)為A.x=0B.x=（k=0,±1,±2,）C.x=0和x=2k（k=0,±1,±2,）D.x=0和x=（k=0,±1,±2,）解析：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是連續(xù)點(diǎn),故選D答案：D3.下列圖象表示的函數(shù)在x=x0處連續(xù)的是A. B. C. D.答案：A4.四個函數(shù):f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0處連續(xù)的函數(shù)是_.（把你認(rèn)為正確的代號都填上）答案

5、：例1：討論下列函數(shù)在給定點(diǎn)或區(qū)間上的連續(xù)性 ，點(diǎn)x=0； ，點(diǎn)x=1。解：（1）當(dāng)x0時，因此=1，而=1，在x=0處極限不存在，因此在x=0處不連續(xù)。（2），因此函數(shù)在x=1處連續(xù)?！舅季S點(diǎn)撥】函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在該點(diǎn)左、右連續(xù)（閉區(qū)間的端點(diǎn)例外）。剖析：（1）需判斷f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判斷f（x）在（0,3）上的連續(xù)性及在x=0處右連續(xù),在x=3處左連續(xù).解:（1）f（x）=1, f（x）=1,f（x）f（x）,f（x）不存在.f（x）在x=0處不連續(xù).（2）f（x）在x=3處無定義,f（x）在x=3處不連續(xù).f（x）在區(qū)間0,3上不連續(xù).練習(xí)：討論函數(shù)的連續(xù)性

6、；適當(dāng)定義某點(diǎn)的函數(shù)值，使在區(qū)間(3,3)內(nèi)連續(xù)。 解：顯然函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，在上連續(xù)，在上連續(xù)。而在處不連續(xù)。又，不妨設(shè)，于是此時，在區(qū)間(3,3)內(nèi)連續(xù)。解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當(dāng)a=1時, f（x）=f（0）,即說明函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時,f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當(dāng)a=1時,f（x）在（,+）內(nèi)是連續(xù)的.評述：分段函數(shù)討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點(diǎn)”的左、右極限,進(jìn)而斷定連續(xù)性.例4.如圖,在大沙漠上進(jìn)行勘測工作時,先選定一點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),然后采用如下方法:從原點(diǎn)出發(fā),在x軸上向正方向前進(jìn)a(a>0)個單

7、位后,向左轉(zhuǎn)900,前進(jìn)ar (0<r<1)個單位,再向左轉(zhuǎn)900,以前進(jìn)ar2 個單位,.,如此連續(xù)下去(1) 若有一小分隊出發(fā)后與設(shè)在原點(diǎn)處的大本營失去聯(lián)系,且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同,則大本營在何處尋找小分隊?(2) 若其中的r 為變量,且0<r<1 ,則行動的最終目的地在怎樣的一條直線上?備用：例題：利用連續(xù)函數(shù)的圖象特征，判斷方程：是否存在實數(shù)根。解：設(shè)，則在R上連續(xù)，又，因此在3，0內(nèi)必存在點(diǎn)x0使得，所以x0是方程的一個實數(shù)根，因此方程有實根?！舅季S點(diǎn)撥】要判斷方程是否有實根，即判斷對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)的圖象是否與x軸有交點(diǎn)。五、小結(jié) 1函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)必須具備三個條件：）函數(shù)f(x)在x=x0處及