因式分解培優(yōu)題(超全面、詳細(xì)分類)

1、因式分解專題培優(yōu)把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項(xiàng)式因式分解.因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結(jié)如下：因式分解的一般方法及考慮順序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項(xiàng)法、添項(xiàng)法、配方法、待定系數(shù)法3、考慮順序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分組分解法一、運(yùn)用公式法在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2b2=(a+b)(ab)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b

2、3=(a+b)(a2ab+b2)；(4)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)；(7)anbn=(ab)(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1),其中n為正整數(shù)；(8)anbn=(a+b)(an1an2b+an3b2+abn2bn1),其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an1an2b+an3b2一abn2+bn1),其中n為奇數(shù).運(yùn)用公式法分解因式時，要根據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當(dāng)

3、地選擇公式例題1分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x38y3z36xyz；(3)a2+b2+c22bc+2ca2ab；例題2分解因式：a3+b3+c33abc.例題3分解因式：x15+x14+x13+x x10+x5 6 7-2+x+1.對應(yīng)練習(xí)題分解因式:2nn121(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y2X ( 2yxx9y-；二、分組分解法（一）分組后能直接提公因式例題1分解因式：amanbmbn分析：從“整體”看，這個多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a,后兩項(xiàng)都含有b,因此可以考慮將前兩

4、項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系.此類型分組的關(guān)鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提.例題2分解因式：2ax10ay5bybx對應(yīng)練習(xí)題分解因式：21、aabacbc2、xyxy1（二）分組后能直接運(yùn)用公式例題3分解因式：x2y2axay例題4分解因式：a22abb2c2對應(yīng)練習(xí)題分解因式：222223、 x x 9y 3y4、 x y z 2yz綜合練習(xí)題 分解因式：3221) ) x x y xy222) ax2 bx2 bx ax a b3) x2 6xy 9y2 16a2 8a 1224) a2 6ab 12b 9b2 4a

5、5) a4 2a3 a2 922226) 4a x 4a y b x b y227) x 2xy xz yz y228) a2 2a b2 2b 2ab 19) y(y 2)(m 1)(m 1)10) (a c)(a c) b(b 2a)11 )a2 (b c) b2 (aa4 2a3b 3a2b2 2ab3 b4.c) c2 (a b) 2abc122213 ) (ax by) (ay bx)33333333314 ) xyz( x y z ) y z z x x y42215 ) x 2ax x a a3216 ) x 3x (a 2) x 2a17)(x1)3(x3)34(3x5)三、十

6、字相乘法1、十字相乘法(一)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)進(jìn)行分解.特點(diǎn)：(1)二次項(xiàng)系數(shù)是1;(2)常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的乘積；(3)一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和.例題1分解因式：x25x6例題2分解因式：x27x6對應(yīng)練習(xí)題分解因式：222(1) x14x24(2)a15a36(3)x4x5242-2_2一(4)xx2(5)y2y15(6)x10x(二)二次項(xiàng)系數(shù)不為1二次三項(xiàng)式ax2bxca。 a2 GC2)條件：(1)aa1a2(2) cc1c2(3) ba1c2a2G分解結(jié)果：ax2bxc=(a1xc1)(a2x例題3分解因式：3x211x10對

7、應(yīng)練習(xí)題分解因式:(1) 5x2 7x 6(2) 3x2 7x 2(3) 10x2 17x 3(4)6y 11y 10例題6分解因式：x2y2 3xy對應(yīng)練習(xí)題分解因式：2299(1) 15x 7xy 4y(2) a2x2綜合練習(xí)題分解因式：(1) 8x6 7x3 1(3) (x y)2 3(x y) 106ax 822(2) 12x 11xy 15y2(4) (a b) 4a 4b 3（三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例題4分解因式：a28ab128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解1-._.-8b116b8b+（16b尸-8b對應(yīng)練習(xí)題分解因式：

8、2_2_2_2_2-2(1)x3xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b（四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例題5分解因式：2x27xy6y2 x2 4xy 4y2 2x 4y 32222(8) 5(a b) 23(a b ) 10(a b)(9) 4x2 4xy 6x 3y y2 10(10) 12(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2思考：分解因式:2/ 2 22、abcx (a b c )x abc2、雙十字相乘法定義：雙十字相乘法用于對Ax2BxyCy2Dx Ey F型多項(xiàng)式的分解因式.條件：(1) A a1a2, C即:DxEyFfi)(a2x Qyfz)(ax Gy2GC

9、2,Ff1 f2貝U Ax2Bxy Cy例題7分解因式:(1)解:(1) x2x23xy 10y23xy xy x106y2y x2x9y 2應(yīng)用雙十字相乘法：x5y2xyx5xy9y13y3xy , 5y 4y 9y, x 2x x，原式=(x5y2)(x(2)x2xy6y2應(yīng)用雙十字相乘法:2y 1)x 13y 63xy2xyxy,4y9y13y,2x3xx.原式=(x2y3)(x3y2)對應(yīng)練習(xí)題分解因式:(1) x2 xy 2y2 x 7y 6_ 222(2) 6x 7xy 3y xz 7yz 2z3、十字相乘法進(jìn)階例題 9 分解因式： ab(x2例題8分解因式：y(y1)(x21)x

10、(2y22y1)y2)(a2b2)(xy1)(a2b2)(xy)四、主元法例題分解因式：x23xy10y2x9y2對應(yīng)練習(xí)題分解因式：(2) x2 xy 2y2 x 7y 622(1)xxy6yx13y636五、換元法換元法指的是將一個較復(fù)雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運(yùn)算，從而使運(yùn)算過程簡明清晰例題1分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)12例題2分解因式：(x24x8)23x(x24x8)2x2例題3分解因式：(x1)(x1)(x3)(x5)9分析：型如abcde的多項(xiàng)式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘例題4分解因式：(x27x6)(x2x6)

11、56.例題5分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)90例題6分解因式：4(3x2x1)(x22x3)(4x2x4)2222提示:可設(shè)3xx1A,x2x3B，則4xx4AB.例題7分解因式：x628x327例題 8 分解因式： (a b)4 (a b)4 (a2b2)2例題9分解因式：(y1)4(y3)4272例題9對應(yīng)練習(xí)分解因式：a444(a4)4例題10分解因式：(x2+xy+y2)24xy(x2+y2)分析：本題含有兩個字母，且當(dāng)互換這兩個字母的位置時，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對稱式.對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y,v=xy,用換元法分解因式例題11分解

12、因式：2x4x36x2x2分析：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)一一是關(guān)于x的降哥排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1,并且系數(shù)成“軸對稱”.這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法.例題11對應(yīng)練習(xí)分解因式：6x4+7x336x27x+6對應(yīng)練習(xí)題分解因式:(1)x4+7x3+14x2+7x+1x42x3x(13) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)12(xx2)(3) 2005x2(200521)x20052(4) (x1)(x2)(x3)(x6)x2(5) (x1)(x3)(x5)(x7)15(6) (a1)(a2)(a3)(a4)24(7) (2a5)(a

13、29)(2a7)91(8) (x+3)(x2-1)(x+5)-20(9) (a21)2(a25)24(a23)2(10) (2x23x+1)222x2+33x1(11) (a2bc)3(ab)3(bc)312(12) xy(xy1)(xy3)2(xy-)(xy1)2對應(yīng)練習(xí)題 分解因式：( 1 ) x3 3x2 4(3) x4 7x2 1444(5) x y (x y)( 7) x3+3x2 4( 9) x3+9x2+26x+2411) x4 x2 1 ；六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配方法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時，整理、化簡常將幾個同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項(xiàng)相互抵消

14、為零在對某些多項(xiàng)式分解因式時，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，或者在多項(xiàng)式中添上兩個僅符合相反的項(xiàng)，前者稱為拆項(xiàng)，后者稱為添項(xiàng)拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的是使多項(xiàng)式能用分組分解法進(jìn)行因式分解說明用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種例題1分解因式：x39x+8例題2分解因式：(1)x9+x6+x33；(2)(m21)(n21)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；(4)a3bab3+a2+b2+12)x22(ab)x3a210ab3b

15、24224)x4x22ax1a22222224446)2ab2ac2bcabc8)x411x2y2+y210)x412x+32312)x311x20；22(15) (1a2)(1 b2) 4ab13)a5a1(14)x2y24x6y5七、待定系數(shù)法例題1分解因式：x2xy6y2x13y6分析：原式的前3項(xiàng)x2xy6y2可以分為(x3y)(x2y)，則原多項(xiàng)式必定可分為(x3ym)(x2yn)對應(yīng)練習(xí)題分解因式：(1)6x27xy3y2x7y2(3)x23xy10y2x9y22)2x23xy9y214x3y204)x23xy2y25x7y6例題2(1)當(dāng)m為何值時，多項(xiàng)式x2y2mx5y6能分解

16、因式，并分解此多項(xiàng)式322)如果xaxbx8有兩個因式為x1和x2，求ab的值.(3)已知：x22xy式.(4)k為何值時，x2式.3y26x14yp能分解成兩個一次因式之積，求常數(shù)p并且分解因22xyky23x5y2能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)八、余式定理(試根法)1、fX的意義：已知多項(xiàng)式fx,若把x用c帶入所得到的值，即稱為fx在x=c的多項(xiàng)式值，用fc表布.2、被除式、除式、商式、余式之間的關(guān)系：設(shè)多項(xiàng)式fx除以gx所得的商式為qx,余式為rx,則：fx=gxxqx+rxb3、余式定理：多項(xiàng)式f(x)除以xb之余式為f(b);多項(xiàng)式f(x)除以axb之余式f(-).a例如：

17、當(dāng)f(x)=x2+x+2除以(x-1)時，則余數(shù)=f(1)=12+1+2=4.,2_1121當(dāng)f(x)9x6x7除以(3x1)時，則余數(shù)=f(-)9(-)6(-)78.3334、因式定理：設(shè)a,bR,a0,f(x)為關(guān)于x的多項(xiàng)式，則xb為f(x)的因式f(b)0；axb為f(x)的因式fCb)0.a整系數(shù)一次因式檢驗(yàn)法：設(shè)f(x)=cnxncn1xn1C1xc0為整系數(shù)多項(xiàng)式，若ax七為f(x)之因式(其中a,b為整數(shù)，a0,且a,b互質(zhì))，則(1) acn,bC0(2)(a)f(1),(ab)f(1)例題1設(shè)f(x)3x32x219x6,試問下列何者是f(x)的因式？(1)2x-1,(2)

18、xN(3)3x-1,(4)4x+1,(5)xT,(6)3x4例題2把下列多項(xiàng)式分解因式：3x5x4(2) x34x2x6(3) 3x(4) x4x45x24x29x325x227x10531211x_x_x_6223課后作業(yè)分解因式：1) )x442) 4x331x153) )3x37x104) )x341x305) )x34x296) x35x2187) x36x211x68) )x33x23x79) )x311x231x2110) x41987x21986x198711) x41998x21999x199812) x41996x21995x199613) )x33x2y3xy22y3141

19、2)x39ax227a2x26a315) 4(x5)(x6)(x10)(x12)3x216) (x26x8)(x214x48)12222217) (x2x4)28x(x2x4)15x218) 2(x26x1)25(x26x1)(x21)2(x21)219) )x4x2y2y420) )x423x2y2y421) )a3b33(a2b2)3(ab)222) a3b312ab6423) )a3bab3a2b21.24) (ab)2(ab1)125) x42(a2b2)x2(a2b2)226) (aybx)3(axby)3(a3b3)(x3y3)27) x619x3y3216y628) )x2yy2zz2xx2zy2xz2y2xyz29) 3x510x48x33x210x8因式分解的應(yīng)用1、證明：四個連續(xù)整數(shù)的的乘積加1是整數(shù)白平方.2、2n1和2n+1表示兩個連續(xù)的奇數(shù)(n是整數(shù))，證明這兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差能被8整除.3、已知2481可以被60與70之間的兩個整數(shù)整除，求這兩個整數(shù).4、已