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1、碩士學(xué)位論文關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)與信息熵的研究51 / 51摘 要 量子光學(xué)是光學(xué)學(xué)科中新興的前沿領(lǐng)域,本論文主要研究光場(chǎng)壓縮態(tài)這一量子光學(xué)現(xiàn)象。首先我們對(duì)光場(chǎng)進(jìn)行了量子化,量子化后的光場(chǎng)可用光子數(shù)態(tài)和位相態(tài)來(lái)描述,然后討論了相干態(tài)的定義與其性質(zhì)。接著介紹了光場(chǎng)壓縮態(tài)的定義、產(chǎn)生方法,同時(shí)總結(jié)了最小測(cè)不準(zhǔn)態(tài)、相干態(tài)、壓縮態(tài)、壓縮相干態(tài)等概念之間的聯(lián)系和區(qū)別,澄清了對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)的模糊認(rèn)識(shí)。t為了能用信息熵定義光場(chǎng)壓縮態(tài),論文接著介紹了信息概念,信息論的基本知識(shí)和信息方法。用信息熵定義光場(chǎng)壓縮態(tài)是本論文的主要?jiǎng)?chuàng)新工作。首先求出單模高斯純態(tài)時(shí)的坐標(biāo)和動(dòng)量空間的波函數(shù),進(jìn)而根據(jù)信息熵的定義,分別求出了坐標(biāo)和

2、動(dòng)量信息熵,再利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,成功地導(dǎo)出了熵不確定關(guān)系。然后根據(jù)光場(chǎng)壓縮態(tài)的廣義定義和熵不確定關(guān)系,先分別求出光場(chǎng)振幅兩分量的信息熵,然后證明了可用信息熵定義光場(chǎng)壓縮態(tài)。光場(chǎng)信息熵的概念引入以后,我們可以用其來(lái)衡量光場(chǎng)的混亂程度,從普通光到激光到壓縮光,其信息熵依次減小。然后從信息論的角度解釋了壓縮光的產(chǎn)生。壓縮光產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)就是給系統(tǒng)注入更多的信息,用于解釋系統(tǒng)的不確定度。最后討論了熱熵與信息熵的統(tǒng)一關(guān)系和由此產(chǎn)生的重大物理意義 關(guān)鍵詞:量子光場(chǎng)壓縮態(tài)信息熵第一章 緒論 本章先引入了光學(xué)壓縮態(tài)這一概念,然后綜述了國(guó)外關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)的研究現(xiàn)狀,最后介紹了本論文的主要工作。 §11 引

3、言 量子光學(xué)是光學(xué)學(xué)科新興的前沿領(lǐng)域。近年來(lái)關(guān)于原子合作發(fā)光、共振熒光、光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)、光學(xué)混沌、光學(xué)孤子、光學(xué)壓縮態(tài),原子狀態(tài)相干和無(wú)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)光放大的研究發(fā)展相當(dāng)迅速,由于這些量子光學(xué)現(xiàn)象將有可能成為新的高技術(shù)的生長(zhǎng)點(diǎn),因而受到人們的廣泛重視。例如:光學(xué)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)可能應(yīng)用于光計(jì)算機(jī)和光學(xué)計(jì)算技術(shù),光學(xué)混沌可能應(yīng)用于信息科學(xué)技術(shù),超熒光的研究,對(duì)于在一些波段上相干輻射的產(chǎn)生,提供一條可能的途徑,光場(chǎng)壓縮態(tài)的研究,在測(cè)量技術(shù)等方面將產(chǎn)生重大影響,光學(xué)孤子的研究,對(duì)光通訊的發(fā)展,將直到重要推動(dòng)作用;原子狀態(tài)相于和無(wú)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)光放大問(wèn)題的研究,將有助于解決激光科學(xué)技術(shù)中的一些問(wèn)題,等等。 本論文主要研

4、究光場(chǎng)壓縮態(tài)現(xiàn)象。光學(xué)壓縮態(tài)具有低于真空態(tài)的噪聲,其最一般定義為:我們將光場(chǎng)的某一分量的量子漲落小于相干態(tài)中相應(yīng)分量的漲落的量子態(tài)稱(chēng)為光場(chǎng)的壓縮態(tài)。1976年從理論上預(yù)言了光場(chǎng) 壓縮態(tài),1985年,Slusher等人在非簡(jiǎn)并四波混頻中觀察到7壓縮量的壓縮態(tài)光,1986年在參量下轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)中人們觀察到63壓縮量的壓縮態(tài)光,由此,關(guān)于光學(xué)壓縮態(tài)的實(shí)驗(yàn),已經(jīng)是多種多樣。但由于光學(xué)壓縮態(tài)是個(gè)十分新的概念,目前對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)的討論有許多不同的看法,甚至錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。本文力圖比較全面和正確地探討光場(chǎng)壓縮態(tài)現(xiàn)象,在總結(jié)前 人研究工作的基礎(chǔ)上,從信息論的角度對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)進(jìn)行了重新闡釋?zhuān)〉昧撕芎玫男Ч?,有助于認(rèn)識(shí)光

5、場(chǎng)壓縮態(tài)的實(shí)質(zhì),使大家對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)的了解更進(jìn)一層。 §12光場(chǎng)壓縮態(tài)研究現(xiàn)狀目前對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)的研究可分為三類(lèi)。第一是將光場(chǎng)壓縮態(tài)的概念推廣適用至其它情況;二是研究光場(chǎng)壓縮態(tài)的產(chǎn)生方法;三是關(guān)于壓縮光的應(yīng)用。下面做一下詳細(xì)的介紹。 歷史上第一次理論預(yù)言與產(chǎn)生壓縮態(tài)都是正交壓縮態(tài),由此,人們想到是否可將壓縮態(tài)的定義推廣開(kāi)?結(jié)果先后提出了高階壓縮和振幅平方壓縮的概念,并討論高階壓縮場(chǎng)和振幅平方壓縮場(chǎng)的性質(zhì),接著人們發(fā)現(xiàn)各種壓縮態(tài)的定義是獨(dú)立的,就是說(shuō)一個(gè)光場(chǎng)在某種情況下,可展現(xiàn)高階壓縮效應(yīng),但并不一定可以展現(xiàn)振幅平方壓縮效應(yīng),反之亦然。以上討論的都是單模光場(chǎng)的壓縮態(tài),目前人們也開(kāi)始廣泛探討

6、多模光場(chǎng)等各種光場(chǎng)的壓縮效應(yīng),取得了一定的進(jìn)展。這一類(lèi)的研究主要是關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)的理論研究。 第二類(lèi)研究主要是關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)的產(chǎn)生方法。1985年,Slusher等人首先在非簡(jiǎn)并四波混頻中觀察到7壓縮量的壓縮態(tài)光。1986年在參量下轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)中人們觀察到63壓縮量的壓縮態(tài)光。1991年,Giacobino等人用光子參量振蕩器產(chǎn)生雙光束,觀察到此雙光束問(wèn)有86的相關(guān)。1992年,KimbIe等已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中測(cè)量到75的正支壓縮態(tài)。1994年, Kumar等在行波相干實(shí)驗(yàn)中也觀察到74的正交態(tài)壓縮。另外,Konstanz在單片集成振蕩器產(chǎn)生的二次諧波光束中測(cè)到40的壓縮。1995年,美國(guó)斯坦福大學(xué)的R

7、ichardon等人在電流驅(qū)動(dòng)的半導(dǎo)體激光器中,實(shí)驗(yàn)測(cè)到85的壓縮態(tài)。另外,也已經(jīng)有實(shí)驗(yàn)演示了微波頻段的量子噪聲 壓縮:值得特別提出的是,shelby等已報(bào)道了用光纖干涉儀產(chǎn)生壓縮態(tài)光 孤子和壓縮態(tài)真空的實(shí)驗(yàn)。美國(guó)麻省理工學(xué)院的Hans等人用光纖環(huán)干 涉儀方法觀察到73的光子態(tài)壓縮??梢?jiàn)壓縮態(tài)的產(chǎn)生方法也是多種多 樣。 第三類(lèi)研究則是關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)的實(shí)際應(yīng)用。僅在十多年前,人們 才初次演示光場(chǎng)壓縮。至今,壓縮態(tài)光場(chǎng)已經(jīng)在超低噪聲光檢測(cè) 或稱(chēng)超高靈敏度光通信,比如靈敏度比傳統(tǒng)的零差相干光通信的靈敏度提高3倍 、超低噪聲光器件與設(shè)備 如光學(xué)分束器、光開(kāi)關(guān)、光參量放大器與光學(xué)干涉儀等 、超精密光學(xué)測(cè)

8、量、高靈敏度光譜分析等方面的應(yīng)用已經(jīng)有 了初步研究。在光通信中,使用壓縮態(tài)光場(chǎng)光源,通信容量可加倍??v向 腔面輻射激光二極管和發(fā)光二極管的研制生產(chǎn)、片間、板間光學(xué)互連等工 作也將從壓縮態(tài)光場(chǎng)技術(shù)中受益。未來(lái),量子密碼技術(shù)中,一般要用極微 弱的信號(hào),可望得益于壓縮態(tài)光場(chǎng)的高靈敏度檢測(cè)。另外,引力場(chǎng)相干探 測(cè)中,可用“光子粒壓縮態(tài)”信源提高干涉儀的靈敏度??傊?,壓縮光較之 激光所具有的優(yōu)勢(shì) 比如更廣泛地應(yīng)用于諸尖端技術(shù)領(lǐng)域 ,恰如甚至可 能超過(guò)激光較之熒光所具有的優(yōu)勢(shì)。 §13論文主要工作 本論文主要研究了能否用信息熵來(lái)定義光場(chǎng)壓縮態(tài)的問(wèn)題,屬于關(guān) 于光場(chǎng)壓縮態(tài)的理論研究這類(lèi)。具體工作概

9、括如下: ?本論文比較全面地、準(zhǔn)確地對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)現(xiàn)象進(jìn)行了研究,總結(jié)了 最tl,N不準(zhǔn)態(tài)、相干態(tài)、壓縮態(tài)、壓縮相干態(tài)等概念之間的區(qū)別和聯(lián)系,澄 清了對(duì)光場(chǎng)壓縮態(tài)的模糊認(rèn)識(shí)。 ?推導(dǎo)了熵不確定關(guān)系。首先求出相干態(tài)與一般單模高斯純態(tài)時(shí)的 坐標(biāo)和動(dòng)量分布幾率,進(jìn)而根據(jù)信息熵的定義,分別求出了坐標(biāo)和動(dòng)量信 息熵,再利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,導(dǎo)出熵不確定關(guān)系。 ?根據(jù)光場(chǎng)壓縮態(tài)的廣義定義和熵不確定關(guān)系,先分別求出光場(chǎng)分量 的信息熵,然后證明了可以用信息熵定義光場(chǎng)壓縮態(tài)。 ?用信息熵概念統(tǒng)一地描述了普通光、激光和壓縮光;并從信息論的 角度解釋了普通光、激光和壓縮光的產(chǎn)生機(jī)制。 考慮到光場(chǎng)壓縮態(tài)是一個(gè)十分新的概念,因

10、此本論文先做了一些基 ?1? j匕方交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 礎(chǔ)性說(shuō)明。全文框架如下:第一章緒論引入光場(chǎng)壓縮態(tài)概念,綜述國(guó)外 關(guān)于光場(chǎng)壓縮態(tài)的研究現(xiàn)狀,并介紹論文主要工作。第二章則對(duì)光場(chǎng)進(jìn) 行了量子化,討論了相干態(tài)的定義和性質(zhì)。第三章介紹了光場(chǎng)壓縮態(tài)的 定義和產(chǎn)生方法,總結(jié)了最小測(cè)不準(zhǔn)態(tài)、相干態(tài)、壓縮態(tài)等概念之間的聯(lián) 系和區(qū)別。為了能用信息熵定義光場(chǎng)壓縮態(tài),論文第四章介紹了信息概 念信息論的基本知識(shí)和信息方法。第五章則推導(dǎo)了熵不確定關(guān)系,用信 息熵重新定義光場(chǎng)壓縮態(tài),并從信息論的角度解釋了光場(chǎng)壓縮態(tài)的產(chǎn)生。 最后一章第六章則總結(jié)了全文,同時(shí)提出了三點(diǎn)展望。 第 章電磁場(chǎng)的量子化 第二章 電磁場(chǎng)的量

11、子化 在討論光場(chǎng)壓縮態(tài)之前,為了能對(duì)光學(xué)問(wèn)題進(jìn)行全量子論處理,必須 對(duì)電磁場(chǎng)進(jìn)行量子化。本章將介紹電磁場(chǎng)的量子化方程與幾種態(tài)函數(shù)。 本章第一節(jié)介紹電磁場(chǎng)的正則量子化方法,第二節(jié)介紹光子數(shù)態(tài)與其性 質(zhì),第三節(jié)介紹位相算符和位相態(tài),最后一節(jié)介紹量子光學(xué)中的重要概念 相干態(tài)與其性質(zhì)。 §21 電磁場(chǎng)的量子化 在一般的量子電動(dòng)力學(xué)中,電磁場(chǎng)量子化是通過(guò)引入矢勢(shì)做正則坐 標(biāo),引出相應(yīng)正則動(dòng)量,然后利用正則量子化方法對(duì)場(chǎng)進(jìn)行量子化。這種 方法嚴(yán)謹(jǐn),但步驟比較復(fù)雜,而在常見(jiàn)的量子光學(xué)中采用比較簡(jiǎn)單的仿諧 振子量子化方法,即將電磁場(chǎng)放在一個(gè)諧振腔,并形成駐波可看成一個(gè) 振子,再用量子力學(xué)中諧振子量子

12、化步驟對(duì)電磁場(chǎng)量子化。本章介紹正 則量子化方法。 對(duì)自由電磁場(chǎng),自由電荷和電流為零,這時(shí)的麥克斯方程組為 v?D 0 可?B 0 v×三:一曼旦 at v×五:一粵 a t 12 在均勻介質(zhì)中 D E B 盧H 22 引入矢勢(shì)A ?5? j匕方交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 云:v×五 云:一叢 23 af 在庫(kù)侖規(guī)下 v-A 0,矢勢(shì)A滿(mǎn)足波動(dòng)方程: V2五 肛a2A 24 u o 寸E 為正剛坐標(biāo),拉氏密度為 L 告 eE2一心 2,5 正則動(dòng)量 面:-皇 :。警:一。主:一云 26 酣 一 a 警 系統(tǒng)的哈密頓量為 2,7 HF:f 云?嘗一L ?dV 爿 Ez一膽z

13、 dV 為方便起見(jiàn),人們總是將所描述的場(chǎng)限制在一定的空間體積,這時(shí) 矢勢(shì)可以用正交模函數(shù)展開(kāi) 28 五 薹,; 丟蠹 14。e再b ; e一畔+n缸磊 ; e葉 其中 蘆打 L-32ere加 29 r表示電磁場(chǎng)的兩個(gè)偏振方向,莨為波矢。廣義動(dòng)量為 云:。盟 ,i。; 半M一缸;乒如 ; e唧+缸勰 ; 刪 2to 正則量子化方法就是將正則坐標(biāo)和動(dòng)量變成算符 第二章電磁場(chǎng)的量子化 A 211 2甜 去 nt再扣 r e叫+n勰磊 r ci“kt 212 一i三 摯 tn 。女乒h ; e-畔一。勰o ; 。畔 量子化后的哈密頓算符 HF hwk n抽b+告 213 其中n玉與。b分別是電磁場(chǎng)中光

14、子的產(chǎn)生與湮滅算符。量子化后, 電磁場(chǎng)變成了光子場(chǎng),口+r與a打滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系 口b,口玉 阮d。 ,口¨ n4-口玉 0 214 正則坐標(biāo)A與正則動(dòng)量滿(mǎn)足橫對(duì)易關(guān)系 7 215 A r,t ,皿 r,t ih醪 rr 式中,T表示垂直于電磁波傳播方向的橫方向。量子化后電磁場(chǎng)狀 態(tài)可以用光子數(shù)表示。在一般量子電動(dòng)力學(xué)中,光子沒(méi)有確定位置,自由 光子有確定動(dòng)量和偏振方向,狀態(tài)用波矢k與偏振方向r表示。為簡(jiǎn)單起 見(jiàn),常省去r只標(biāo)出k,故光子產(chǎn)生與湮滅算符分剮為。;和吼,相應(yīng)的哈 密頓量和對(duì)易關(guān)系為 HF:h。; 。如。+丟 216 郇,n列 阮一 217 §22光子數(shù)態(tài) 電磁場(chǎng)經(jīng)

15、過(guò)量子化以后,電磁場(chǎng)變成光子場(chǎng),電磁場(chǎng)狀態(tài)將用光子數(shù) 態(tài) 表示,它是哈密頓算符HF的本征態(tài) 218 光子數(shù)算符 ?7? j匕方交遺大學(xué)碩士學(xué)位論二“ a趣 ”±I竹 咒J咒女 219 電磁場(chǎng)的基態(tài)是真空態(tài),表示為10 ,定義 。l0 0 220 則基態(tài)的能量 0 221 i味i0 寺h 上± 產(chǎn)生與湮滅算符作用在光子數(shù)態(tài)上得到 “im 72l2m一1 n:l九 九+1 12 7"女+1 222 較高激發(fā)態(tài)矢量可用產(chǎn)生算符連續(xù)作用在真空態(tài)上得到 器” 0,1,2 223 光子數(shù)態(tài)是正交的 行I掙蟾 炙刪 224 和完備的 f-I 225 I nk m 光子數(shù)態(tài)形成H

16、ilbert空間一個(gè)完備的基矢,對(duì)光子數(shù)比較小的情況 是一個(gè)有用的表示。 光子數(shù)態(tài)In。 的一個(gè)重要性質(zhì)是光場(chǎng)的平均值為零,對(duì)光子場(chǎng)的 電場(chǎng)強(qiáng)度算符 226 E:i; 警 “2。藏 ; 。叫一。磁 ; P吣 利用 222 式和光子數(shù)態(tài)的正交關(guān)系,得到 E I 227 nInI 0 既然I鞏 表示有"個(gè)光子的態(tài),那么,為什么光場(chǎng)電場(chǎng)強(qiáng)度的平 均值為零呢?這是因?yàn)楣庾訑?shù)和位相是一對(duì)測(cè)不準(zhǔn)蠶,滿(mǎn)足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。 既然光子數(shù)態(tài)1”t 光子數(shù)完全確定,則位相必然是完全混亂,即頻率為 ?R? 第二章電磁場(chǎng)的量子化 u;麗位相完全混亂,所以電場(chǎng)測(cè)量平均值為零,而光強(qiáng)的平均值不為零 剛E2 ; 嘗 心

17、+號(hào) 2。28 §23位相算符與位相態(tài) 在經(jīng)典光學(xué)中,當(dāng)考慮光的干涉和衍射時(shí)最重要的量是位相。前面 又指出,光子數(shù)和位相是一對(duì)測(cè)不準(zhǔn)量,前面討論電磁場(chǎng)量子化時(shí),只考 慮電磁場(chǎng)振幅而沒(méi)有考慮位相,這里將討論電磁場(chǎng)位相的量子化,引入光 子位相算符,并研究位相符本征態(tài)的性質(zhì)。 在經(jīng)典電磁場(chǎng)理論中,通常把復(fù)振幅寫(xiě)成實(shí)數(shù)振幅與位相因子的乘 積,相似的把算符a和a+也寫(xiě)成振幅與位相算符的乘積 a “+ 12exp 卻 a+ exp 一i o aa+ 229 這樣定義位相算符為 exp ip + 一1虎 230 由于 P 一i妒 。+ aa+ 一1以 231 則有 ezp ip ezp 劬 1 2

18、32 算符exp iT 用數(shù)態(tài)展開(kāi),得 f 233 exp !P j” 0 exp if , 哪 卻 + l 1 l exp iT J ,l+l exp 一i艫 n 1 234 表明SG位相算符是非么正的,也是非厄米算符,是不對(duì)應(yīng)可觀測(cè)的 ?9? 北方交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 物理量,司定義如F的J巳米算符 c。s9:lezp ip +口 一icp 咖鏟 扛唧 印 一exp 一i妒 235 可以證明 72,cosq 一isin9 n,5婦妒 icosp 236 這表明13和平不可能同時(shí)確定,利用量子力學(xué)中測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系,對(duì)任意 兩力學(xué)量A和B有 LkAB丟 A,B 237 則有 AnAcos9百1 n

19、,f吣妒 百1 “”p 238 同理 AnAsinl;o寺 cosq, 239 表明光子數(shù)和位相不能同時(shí)精確地測(cè)定,這是量子化電磁場(chǎng)與經(jīng)典 電磁場(chǎng)的根本區(qū)別。 可以證明co嬸和sinp是不對(duì)易的,表明它們不能同時(shí)精確測(cè)定,也沒(méi) 有共同表征態(tài)。但是在一定的極限條件下,cosp和si可以有共同本征 n 的線(xiàn)性疊加表示,取 態(tài)i妒 。I妒 為位相態(tài),它可以用光子數(shù)態(tài)l Z 1"l 2 |P fim S+1 12。 i以p I 。 004 s一 一oezp 由于In 是正交歸一的,不難證明Ip 也是正交歸一的。 驢l。 So 。 l打 lim s+1 1l S一 n20 1 ?ln, 第 章

20、電磁場(chǎng)的量弓r叫暑 當(dāng)s一。時(shí)可給出 I P 241 螂妒lP 咖P 表明S很大時(shí)I妒 是cos p的本征態(tài)。 下面再簡(jiǎn)單看一下光子數(shù)態(tài)的性質(zhì)。所謂光子數(shù)態(tài)是光子數(shù)i2完全 確定的態(tài),對(duì)這些光態(tài)光子數(shù)的測(cè)量不確定性為零,即An 0。 對(duì)光子數(shù)態(tài),位相算符平均值為零,即 扎ICOSCp n 0 扎0 I cos2I 去序一礎(chǔ)艫 i1 242 表明妒是在0到2z之間完全無(wú)規(guī)則分布,即表明光子數(shù)完全確定的 態(tài),其位相完全不確定。 §24相干態(tài) 用粒子數(shù)態(tài)In 描述的單模光場(chǎng),光子數(shù)有確定值,而相位則不確 定。我們也可以采用另一種描述光場(chǎng)的態(tài)函數(shù),它稱(chēng)為相干態(tài),用這種態(tài) 函數(shù)描述光場(chǎng)可以構(gòu)成

21、一個(gè)波包,其相位有近似確定的值。相干態(tài)在量 子光學(xué)中是十分重要的概念,它的重要性在于相干態(tài)是實(shí)際存在的物理 態(tài),一般激光器產(chǎn)生的激光就是相干態(tài)。理論上把相干態(tài)定義為湮滅算 符n的本征態(tài)矢la : nl a 口I口 243 為了找到相干態(tài)la 的表示式,必須求解。的本征值方程 243 式。利用粒子數(shù)算符口+。的本征態(tài)矢集 In 的完備性,可把相干態(tài) 口 表示為 I n l n 244 n EC。 口 l 其中 J口 245 C。 口 n a 表示粒子數(shù)態(tài)和相干態(tài)表象間的變換函數(shù)。l 2對(duì)應(yīng)在態(tài)l G a l 中光場(chǎng)處于n個(gè)頻率為cU的光子態(tài)的概率。為求得cI。 a ,我們把 ?11? j匕方交通

22、大學(xué)碩士學(xué)位論文 244 式代人 243 式中,則有 i n “l(fā)。 j 口 ,一n 246 n一1 口C; a f ,l 21 H2U 由于上式第一個(gè)求和中” 0的項(xiàng)等于零,因此第一個(gè)求和是從1到 o。,我們對(duì)左邊作代換”一n+1,這樣,上式就變成 H 247 c“ 而ln aC a l 口2u "3U 把上式左乘 1"13f,并注意到 m I” k。,就可得C。 a 滿(mǎn)足的 遞推關(guān)系 C。1 。 7or1 口C。 口 248 這樣可知 l1 Cl 口Co C2 口c1l扼 a2Co佃 I3 1 C3 口3Co 249 所以 C。 d anCo月! 250 把 250 式

23、代人 244 式,則 i a 。毫涪I” 251 由態(tài)函數(shù)的歸一化條件可以確定C 1,即 J n , C3。;Omi。潞 mom!nf I 2,52 cexp I卯 c,墓學(xué) l 于是 22 Co 目p 一I。I 253 將 253 式代人 251 式,就得到相干態(tài)I o 的表達(dá)式 f n 254 a 2唧一“2 ,毫羔I 第二章電磁場(chǎng)的量子化 注意到 f 0 255 n 錯(cuò)f 則相干態(tài)也可以表示為 l a 唧 山1 2倒。毫呼In 0玎: o 0 256 exp 一I口122 exp + l 數(shù)學(xué)上還可以等價(jià)地把相干態(tài)表示為平移算符D a 作用于真空態(tài)1 0 上產(chǎn)生的態(tài) f 0 d D 口

24、f 2,57 其中 D 口 exp +一an 258 下面來(lái)證明這一點(diǎn),利用算符關(guān)系式 3 +8 如一 4t8 259 所以 exp ga+一口。n exp 一j口1 22 g矽 + g矽 一口。 260 那么 exp 口+一口”n l O 0 exp 一I口1 22 唧 + exp 一口 I 261 注意到等式 0 一a”n l exp 一aa |0 f0 + l0 2,62 所以 261 式簡(jiǎn)化為 “戶(hù) 口+一a”a f 0 exp 一口I 0 263 22 exp na+ 1 它表明 256 式和 257 式是完全等價(jià)的。 現(xiàn)在我們來(lái)證明相干態(tài)是最小不確定態(tài),從兩是描述光子波動(dòng)性的 最確

25、定性態(tài)。在量子力學(xué)中,我們知道諧振子的坐標(biāo)算符q和動(dòng)量算符P 與粒子算符n,n+有確定關(guān)系。 ?13? j匕方交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 q 競(jìng) “+。+ 聲 一i學(xué) 。一n+ 264 且p,q滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系 q,p ih 265 這樣,單模光場(chǎng)的哈密頓量 IF就對(duì)應(yīng)質(zhì)量為1,頻率為m的諧振子的 哈密頓算符 HF 吉 p2+Oj2q2 266 所以算符P,q是坐標(biāo)表象中描述光場(chǎng)的正則動(dòng)量和坐標(biāo)算符。 由 264 式容易得到光場(chǎng)處于單模相干態(tài)I口 時(shí)P,q,p2,q2的期 望值 q 是 。m+。 競(jìng) a+a+ 加i再 nm i厚七二 j a j 2+ 。+ 2+m+n+na q2 競(jìng) a 口2+ 口 2

26、+2口口+1 二叫 聲z 一粵產(chǎn) 。Ja2+ 。+ 2一。+一。+。l。 一粵產(chǎn) 。2+ 。 22。*一1 267 其中已應(yīng)用了ni a a l。 與其復(fù)共軛式,由上式可知,正則坐 標(biāo)和動(dòng)量的均方漲落為 q 2 一 2 蕪 戶(hù) 2 一 2 粵警 268 所以 第 章電磁場(chǎng)的量子化 卻?q 導(dǎo) 269 這就是海森堡關(guān)于粒子坐標(biāo)和動(dòng)量不確定關(guān)系力q導(dǎo)所允許的 最小不確定值,這說(shuō)明用相干態(tài)描述的光場(chǎng),能夠確定一個(gè)小的波包,它 揭示出光的波動(dòng)形態(tài)。 為了更清楚地了解光場(chǎng)的正則動(dòng)量坐標(biāo)算符P,q的物理意義,再引 進(jìn)厄米算符XI,X2滿(mǎn)足 x。 蕓q,xz 志P 270 由 264 式可知,X1,X2與,

27、a,n+之間的關(guān)系為 Xl 寺 n+。+ X2 擊 一。+ 271 由算符q,P間的對(duì)易關(guān)系 265 式可知,X1,x2滿(mǎn)足 xl,X2 寺 272 因此,厄米算符X1和x2滿(mǎn)足的海森堡不確定關(guān)系為 axl 2 x2 2殼 273 若光場(chǎng)處于相干態(tài)la ,利用 267 式,容易得到xl,X2的漲落為 x1 2 ÷x2 2 274 因此有 AXl 2 aX2 2 275 2志 可見(jiàn),相干態(tài)是光場(chǎng)振幅算符X1和x2的最小不確定態(tài),并且X1,X2的 量子漲落一樣,而且與相干態(tài)本征值無(wú)關(guān)。這說(shuō)明,光場(chǎng)的振幅算符對(duì)任 何相干態(tài)的量子漲落都一樣,由 256 式可知,真空態(tài) a O 是相干態(tài)的 特

28、例,因此光場(chǎng)振幅的量子漲落實(shí)質(zhì)上是由于真空?qǐng)龅钠鸱?,而在??15? j匕方交通大學(xué)碩士學(xué)位論文 過(guò)平移算符D n 將真空態(tài)演化成相干態(tài)的過(guò)程中,光場(chǎng)振幅的量子漲落 保持不變。 應(yīng)該指出的是,由相干態(tài)描述的光場(chǎng),其光子數(shù)則有很大的不確定 性由于 a NI a exp 山三,翼學(xué)”2 a四n 唧 山1 I: 2 。襄學(xué) 。m 276 因此,光子數(shù)的均方漲落為 n l口I 277 由此可見(jiàn),在lal很大時(shí),光子數(shù)的均方漲落很大,因而用相干態(tài)描述 的光場(chǎng),其光子數(shù)有很大的不確定度。此外, 276 式還表明ia 2是相 干光場(chǎng)的平均光子數(shù),它反映光場(chǎng)的強(qiáng)度。 由 250 式和 253 式可知,由相

29、干態(tài)la 描述的光場(chǎng)處于粒子數(shù) 態(tài)In 的概率為 只 l n 口 I 278 2 唧 一I川 與產(chǎn) 它表示光場(chǎng)對(duì)所有粒子數(shù)態(tài)ln 的概率分布呈現(xiàn)現(xiàn)泊松分布形 式。 ?16? 第三章光場(chǎng)的壓縮態(tài) 第三章光場(chǎng)的壓縮態(tài) 從上一章的討論我們知道,相干態(tài)是光場(chǎng)的振幅漲落有最小不確定 值的態(tài),它的兩正支分量Xl,X2都取最小的不確定值14,這個(gè)值通常稱(chēng) 為光場(chǎng)的真空漲落。在過(guò)去相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)期里,人們一直認(rèn)為真空漲落 是光場(chǎng)量子漲落的最小極限值。但是這一極限對(duì)許多實(shí)際應(yīng)用非常不利 的,例如在光通訊問(wèn)題中,提高信噪比就顯得非常重要,而噪聲的聲源除 了通訊設(shè)備以外,還有熱噪聲和光場(chǎng)的量子噪聲,即使應(yīng)用處于相干態(tài)的 光場(chǎng)的某一正交分量X。

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