高中物理奧林匹克競(jìng)賽專題--振動(dòng)學(xué)習(xí)題課

1、1第四章第四章 小結(jié)小結(jié) kxF 一、一、簡諧振動(dòng)的特征方程簡諧振動(dòng)的特征方程1.1.回復(fù)力回復(fù)力0222 xdtxd2.簡諧振動(dòng)的微分方程簡諧振動(dòng)的微分方程)(2xa （動(dòng)力學(xué)方程）（動(dòng)力學(xué)方程）)cos( tAx)sin( tAv)cos(2 tAa3.3.簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程簡諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 （振動(dòng)方程）（振動(dòng)方程）Avm Aam2 掌握證明一種振動(dòng)是簡諧振動(dòng)的一般步驟掌握證明一種振動(dòng)是簡諧振動(dòng)的一般步驟2二、描述簡諧振動(dòng)的物理量二、描述簡諧振動(dòng)的物理量1.振幅：振幅：2.2.周期周期（T T）：）： 21T 2 2T)cos( tAx（A） 頻率頻率（)、圓頻率圓頻率（） 彈彈簧簧振振

2、子子mk kmT 22mkT 2112020)( vxA 求振幅有求振幅有三種方法三種方法22)( vxA kEA/2（1）已知初始位速）已知初始位速（3）已知總機(jī)械能）已知總機(jī)械能（2）已知任意位速）已知任意位速3求求圓圓頻頻率率的的方方法法(1) (1) 建立振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程建立振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程T 22022 Bxdtxd 動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率前的系數(shù)的開方就是振x（2 2）利用公式求）利用公式求（3 3）利用速度和加速度幅值求）利用速度和加速度幅值求Avm Aam2 3.3.位相和初相位相和初相 已知狀態(tài)求位相已知狀態(tài)求位相（表示物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量）（表示物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量） 已知

3、位相求狀態(tài)已知位相求狀態(tài) 已知位相差求時(shí)間差已知位相差求時(shí)間差 tAx0cos Av 0sin00 xvtg (1)(1)位相位相（2 2）求初）求初相方法相方法 解析法解析法（利用初始條件）（利用初始條件） 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法4動(dòng)動(dòng) 能能)(sin2121222 tkAmvEK三、簡諧振動(dòng)的能量三、簡諧振動(dòng)的能量能能 勢(shì)勢(shì))(cos2121222 tkAkxEP221kAEEEpk mmv221 機(jī)械能機(jī)械能結(jié)論結(jié)論（2 2）動(dòng)能和勢(shì)能變化的周期相同）動(dòng)能和勢(shì)能變化的周期相同（為振動(dòng)周期的一半）（為振動(dòng)周期的一半） （1 1）動(dòng)能和勢(shì)能的幅值相等，等于）動(dòng)能和勢(shì)能的幅值相等，等于 （3）動(dòng)

4、能和勢(shì)能變化的步調(diào)相反）動(dòng)能和勢(shì)能變化的步調(diào)相反mmvkA222121或或=常量常量5四、同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成四、同方向、同頻率簡諧振動(dòng)的合成(1) 解解 析析 法法 )cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos( tAx1. 合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)合振動(dòng)是簡諧振動(dòng)(a) 合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同(b)(b)合振動(dòng)的振幅合振動(dòng)的振幅(c)(c)合振動(dòng)的初相合振動(dòng)的初相(2) (2) 旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法2. 合振動(dòng)加強(qiáng)、減弱的條件合振動(dòng)加強(qiáng)、減弱的條件合振動(dòng)加強(qiáng)，并與分振動(dòng)同相合振動(dòng)加強(qiáng)，并與分振

5、動(dòng)同相21AAA k212),2,1 ,0( k(1) (1) 合振動(dòng)減弱，初相與大振幅者相同合振動(dòng)減弱，初相與大振幅者相同21AAA 當(dāng)當(dāng) A1 = A2 )12(12k),2,1 ,0( k(2)(2) A=06單元檢測(cè)題單元檢測(cè)題-選擇題選擇題 1、一長為、一長為l的均勻細(xì)棒懸于通過其一端的光的均勻細(xì)棒懸于通過其一端的光滑水平固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)滑水平固定軸上，（如圖所示），作成一復(fù)擺已知細(xì)棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣擺已知細(xì)棒繞通過其一端的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量 ，此擺作微小振動(dòng)的周期為，此擺作微小振動(dòng)的周期為 (A) (B) (C) (D) 231mlJ gl2gl22gl322g

6、l3解：小角轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)解：小角轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)Olmg mglmglM21sin21 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律22231dtdmlJM 02322 lgdtdglT3222 C7 2、把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使擺線與豎直、把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開，使擺線與豎直方向成一微小角度方向成一微小角度 0 0 ，然后由靜止放手任其振動(dòng)，從放手時(shí)開始，然后由靜止放手任其振動(dòng)，從放手時(shí)開始計(jì)時(shí)若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初相為計(jì)時(shí)若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初相為 (A) (B) /2 (C) 0 (D) 解：由題意知解：由題意知)cos(0 t000時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) tlg C8

7、3、兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相、兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為同第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為x1 = Acos( t + a a)當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從相對(duì)于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)正在相對(duì)于其平衡位置的正位移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)正在最大正位移處則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為最大正位移處則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為 (A) (B) (C) (D) )21cos(2 a a tAx)21cos(2 a a tAx)23cos(2 a a tAx)cos(2 a a tAx12解：由圖看出，振動(dòng)解：由圖看出，振動(dòng)2比振

8、動(dòng)比振動(dòng)1位相落后位相落后90度度2 a a B911111kkk 222111 mkmkkk設(shè)分割后的一根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為設(shè)分割后的一根彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為 ，由彈簧串聯(lián)公式：，由彈簧串聯(lián)公式：1k4、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為m 的物體掛在倔強(qiáng)系數(shù)為的物體掛在倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的輕彈簧下面，振動(dòng)圓的輕彈簧下面，振動(dòng)圓 頻率為頻率為，若把此彈簧分割成二等分，將物體，若把此彈簧分割成二等分，將物體m 掛在分割后掛在分割后 的一根彈簧上，則振動(dòng)圓頻率為：的一根彈簧上，則振動(dòng)圓頻率為： 2)( A 2)( B 21)( C 21)( D解：解：B105、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的物體，由倔強(qiáng)系數(shù)為的物體，由倔強(qiáng)系數(shù)為

9、k1 和和k2 的兩個(gè)輕彈簧連接到的兩個(gè)輕彈簧連接到 固定端，在光滑導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為：固定端，在光滑導(dǎo)軌上作微小振動(dòng)，其振動(dòng)頻率為：mkk A212)( mkk B2121)( 212121)(kmkkk C )(21)(2121kkmkk D 經(jīng)受力分析可得彈簧串聯(lián)公式：經(jīng)受力分析可得彈簧串聯(lián)公式：2k1km21111kkk 2121kkkkk )(212122121kkmkkmk 解：解：D116、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間 的曲線如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律的曲線如圖所示，若質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律 用余弦函數(shù)描述，則其初位相為：用余弦函數(shù)描述，

10、則其初位相為：t om21 6)( A6)( -D65)( -C65)( B)cos( tAx設(shè)設(shè))2cos()sin( ttMM)2cos(2100 MMt時(shí)時(shí)，解：解：3221)2cos( 6 65 65 0cos 00 Maat時(shí)時(shí)， C127、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為T，當(dāng)它由平衡位置向，當(dāng)它由平衡位置向 x 軸正方向軸正方向 運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡位置到二分之一最大位移這段路程所需的時(shí)間為：間為：4)(T A12 )(TD8 )(TC6 )(TB如圖：如圖：1226TTt 6 xA2Ao 解：解：D13 8、一簡諧振動(dòng)

11、曲線如圖所示則振動(dòng)、一簡諧振動(dòng)曲線如圖所示則振動(dòng)周期是周期是 (A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s x (cm) t (s) O 4 2 1 解：如圖解：如圖65165 t40.25122 TB14解：解：9、彈簧振子在光滑水平面上作諧振動(dòng)時(shí)，彈性力在半個(gè)周期、彈簧振子在光滑水平面上作諧振動(dòng)時(shí)，彈性力在半個(gè)周期 內(nèi)所作的功為：內(nèi)所作的功為：2kA A)(0 D)(241)(kA C221)(kA B dttAk)(2sin212 22)(2ddtdtdt 令令： dtkxkxdxW dttAtkA)sin()cos( 22,2 2 0 時(shí)時(shí)；時(shí)

12、時(shí)，Ttt0sin412222 dkAWD15161521)4(211122 kAAkEEEEEEEPPk解：解： 10、一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，當(dāng)其偏離平衡位置的位移的大小、一彈簧振子作簡諧振動(dòng)，當(dāng)其偏離平衡位置的位移的大小為振幅的為振幅的1/4時(shí)，其動(dòng)能為振動(dòng)總能量的時(shí)，其動(dòng)能為振動(dòng)總能量的 (A) 7/16. (B) 9/16. (C) 11/16. (D) 13/16. (E) 15/16. E16 11、用、用40的力拉一輕彈簧，可使其伸長的力拉一輕彈簧，可使其伸長20 cm此彈簧下應(yīng)此彈簧下應(yīng)掛掛_kg的物體，才能使彈簧振子作簡諧振動(dòng)的周期的物體，才能使彈簧振子作簡諧振動(dòng)的周期T =

13、 0.2 s單元檢測(cè)題單元檢測(cè)題-填空題填空題解：解：mNxFk/2002.040 kmT 2 kgkTm242 .0200422222 1712、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，速度最大值、一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，速度最大值 ，振幅，振幅 A=2cm， 若令速度具有正最大值的那一時(shí)刻為若令速度具有正最大值的那一時(shí)刻為 t = 0，則振動(dòng)表達(dá)式為，則振動(dòng)表達(dá)式為 x =s/cm5m )cos( tAx Am sradAm/5 . 225 )0(A2 )25 . 2cos(02. 0 tyx( SI ) ?解：解：1813、一豎直懸掛的彈簧振子，自然平衡時(shí)彈簧的伸長量為、一豎直懸掛的彈簧振子，自然平衡時(shí)彈簧的伸長量為x

14、0，此，此振子自由振動(dòng)的周期振子自由振動(dòng)的周期T = _解：解：0 xmgk gxmgmxkmT00222 19 14、一簡諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，則以余弦函數(shù)表示的振、一簡諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，則以余弦函數(shù)表示的振動(dòng)方程為動(dòng)方程為 _x (m)t (s)O0.04-0.0412解：解：mA04.0 sT2 )/(2sradT 由矢量圖知由矢量圖知2 )2(04.0)cos( tcontAx2015、一作簡諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量為、一作簡諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量為2kg，系統(tǒng)振動(dòng)頻率，系統(tǒng)振動(dòng)頻率為為1000 Hz，振幅為，振幅為0.5 cm，則其振動(dòng)能量為，則其振動(dòng)能量為_解：解

15、：222)2(fmmkmk 222)2(2121AfmkAE J222109.9005.0)10002(221 2116、如圖所示的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)、如圖所示的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線，它們合成的余弦振的振動(dòng)曲線，它們合成的余弦振動(dòng)的初相為動(dòng)的初相為_xt (s)OAA21x1x224解：解： 由圖知二者同振動(dòng)方向、由圖知二者同振動(dòng)方向、同頻率，且位相相反。同頻率，且位相相反。合振動(dòng)位相與振幅大者相合振動(dòng)位相與振幅大者相同，由矢量圖可知初相為同，由矢量圖可知初相為）（或或232 22 17、兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)、兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng) , (SI) 它們的合振幅是它們的合振幅是_ )3

16、1cos(10321 tx )61cos(10422 tx 2A1AA12 解：解：31 62 由圖中矩形知由圖中矩形知mAAA222222211051043 231、質(zhì)量為、質(zhì)量為10*10-3kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：(1)振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；速度的最大值；(2)最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等?(3)t2=5s與與t1=1s兩個(gè)時(shí)刻的位兩個(gè)時(shí)刻的位

17、相差。相差。)SI()328cos(1 . 0 tx解：解： (1)由振動(dòng)方程知由振動(dòng)方程知 3/2s412m1 . 0 TAsmAvm/51. 28 . 0 22/2 .63smAam 24(2) N63. 0 mmmaFJ1016. 32122 mmvEJ1058. 1212 EEEkp當(dāng)當(dāng)EK=EP時(shí)，有時(shí)，有E=2EP )21(212122kAkx 即即m20222 Ax (3) t2=5s與與t1=1s兩個(gè)時(shí)刻的位相差兩個(gè)時(shí)刻的位相差 32)15(8)(12 tt252、如圖所示，物體的質(zhì)量為、如圖所示，物體的質(zhì)量為m，放在光滑斜面上，斜面與水平，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為

18、面的夾角為 ，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，半徑，半徑為為R先把物體托住，使彈簧維持原長，然先把物體托住，使彈簧維持原長，然 后由靜止釋放，試證后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期明物體作簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期解：解： 受力如圖所示，以重物的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下受力如圖所示，以重物的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為為x軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為x時(shí)，有時(shí)，有221ddsintxmTmg IRTRT 21 Rtx 22dd)(02xxkT 0sinkxmg 26聯(lián)立以上各式，得聯(lián)立以上各

19、式，得 kxRtxRImR 22dd)(ImRkR 222 令令0dd222 xtx 則則有有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為故知該系統(tǒng)是作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為 )/2(22222KRImkRImRT 0dd2222 xImRkRtx即即273、一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作簡諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過軸上作簡諧振動(dòng)，選取該質(zhì)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)通過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)( t = 0 )，經(jīng)過，經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第一次經(jīng)過B點(diǎn)，再經(jīng)過點(diǎn)，再經(jīng)過2秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過秒后質(zhì)點(diǎn)第二次經(jīng)過B點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在點(diǎn)，若已知該質(zhì)點(diǎn)在A、B兩點(diǎn)具有相同的兩點(diǎn)具有相同的速率速率，且，且 A

20、B= 10 cm求：求：(1) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程； (2) 質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)處的速率點(diǎn)處的速率 解：解：由題意可知，由題意可知，T=8S 2 2/T/T ( /4) ( /4) s-1 設(shè)振動(dòng)方程為：設(shè)振動(dòng)方程為：)4cos( tAx 當(dāng)當(dāng)t = 0 時(shí)，時(shí)，cm5 cosAxA 當(dāng)當(dāng)t = 2 時(shí)，時(shí)，聯(lián)立二式得聯(lián)立二式得？454 或或 ABA、B兩點(diǎn)具有相同的速率兩點(diǎn)具有相同的速率A、B兩點(diǎn)中心為平衡位置兩點(diǎn)中心為平衡位置o o1s1s1s1s2s2scm5 sin)2cos(AAxB 28 45 )454cos(10252 tx振動(dòng)方程為：振動(dòng)方程為：(2)速度方程為：速度

21、方程為：)454sin(410252 tv smtv/1093. 3)454sin(4102522 sin0Av 0sin cmxA25cos/ ABo o1s1s1s1s2s2s0 294、一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為、一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為A，周期為，周期為T，其振，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示如果動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示如果t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1)x0=-A；(2)過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；(3)過過x=A/2處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；(4)過過 x=-A/ 處向正向運(yùn)動(dòng)試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方處向正向運(yùn)動(dòng)試求出相應(yīng)的

22、初位相，并寫出振動(dòng)方程程2解：解： 0000sincos AvAx)2cos(1 tTAx)232cos(232 tTAx)32cos(33 tTAx)452cos(454 tTAxA/22A T 2 305、有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量、有一輕彈簧，當(dāng)下端掛一個(gè)質(zhì)量m1 = 10 g的物體而平衡時(shí)，的物體而平衡時(shí)，伸長量為伸長量為 4.9 cm用這個(gè)彈簧和質(zhì)量用這個(gè)彈簧和質(zhì)量m2 = 16 g的物體組成一彈簧的物體組成一彈簧振子取平衡位置為原點(diǎn)，向上為振子取平衡位置為原點(diǎn)，向上為x軸的正方向?qū)⑤S的正方向?qū)2從平衡位從平衡位置向下拉置向下拉 2 cm后，給予向上的初速度后，給予向上的初速度v0 = 5 cm/s 并開始計(jì)時(shí)，試并開始計(jì)時(shí)，試求求m2的振動(dòng)周期和振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式的振動(dòng)周期和振動(dòng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式解：解：懸掛懸掛m1后伸長后伸長 l， k = m1g/