第2.1節(jié) 隨機(jī)變量-第2.2節(jié) 離散型隨機(jī)變量及其分布列

1、一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量第第2.12.1節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量1. 定義定義: 取值具有隨機(jī)性的變量稱為隨機(jī)變量取值具有隨機(jī)性的變量稱為隨機(jī)變量, 它是定它是定義在義在的單值實函數(shù)的單值實函數(shù) . 隨機(jī)變量一般用隨機(jī)變量一般用X,Y,Z等表示。等表示。非離散型非離散型 分類分類離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型 奇異型奇異型重點研究的隨機(jī)變量是：重點研究的隨機(jī)變量是：注注 離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量.引例引例引例引例1 (1) 某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊某人接連不斷地對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊, 直至直至射中為止，射中為止，表示射擊次數(shù)表示射擊次數(shù)，則，則: 射擊射擊1次

2、次 射擊射擊 2 次次 . 射擊射擊 n 次次 . X() : 1 2 . n .(2) 某車站每隔某車站每隔10分鐘開出一輛公共汽車分鐘開出一輛公共汽車,乘客在任意乘客在任意時間到達(dá)車站時間到達(dá)車站,表示該乘客的候車時間表示該乘客的候車時間,: 候車時間候車時間X() : 0, 10返回返回（3 3）從一批產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品，）從一批產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品，X 抽到正品的件數(shù)抽到正品抽到正品1抽到次品抽到次品21)(1X0)(2X二、離散型隨機(jī)變量的概率分布二、離散型隨機(jī)變量的概率分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 定義定義: :取有限個或可列個值的隨機(jī)變量稱為取

3、有限個或可列個值的隨機(jī)變量稱為離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量. . 2. 概率分布概率分布: 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 一切可能取值一切可能取值為為 , 則稱則稱為為X的概率函數(shù)或的概率函數(shù)或 概率分布概率分布.,21nxxx, 2 , 1,)(ipxXPii或者用或者用分布列分布列來表示來表示X x1 x2 . xn .P p1 p2 . pn . 二、離散型隨機(jī)變量的概率分布二、離散型隨機(jī)變量的概率分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 3. 性質(zhì)性質(zhì):(2) p1+ p2+.+ pn +. =1bxaiixXP)(3) P(aXb)=4. 離散型隨機(jī)變量的分

4、布列有四個用途離散型隨機(jī)變量的分布列有四個用途:1）驗證所得結(jié)果是否正確？）驗證所得結(jié)果是否正確？2）待定常數(shù)；）待定常數(shù)；3）判斷給定的一個數(shù)列是否可構(gòu)成某一個）判斷給定的一個數(shù)列是否可構(gòu)成某一個離散型隨機(jī)變量的分布列？離散型隨機(jī)變量的分布列？ 4）計算隨機(jī)變量在任一范圍取值的概率。）計算隨機(jī)變量在任一范圍取值的概率。(1) pn0, n =1,2,. 注：滿足性質(zhì)注：滿足性質(zhì)(1) (2)的數(shù)列都可以作為某個隨機(jī)變量的數(shù)列都可以作為某個隨機(jī)變量的概率分布的概率分布.例例1 已知隨機(jī)變量的分布列為已知隨機(jī)變量的分布列為X -2 -1 0 1 2 3 P 0.16 0.1c 0.2c 0.2

5、0.1 2c求常數(shù)求常數(shù) c 。解：解：054. 03 . 011 . 02 . 02 . 01 . 016. 022ccccc6 . 0c例例2 判斷下面各數(shù)列是否可成為某隨機(jī)變量的分布列？判斷下面各數(shù)列是否可成為某隨機(jī)變量的分布列？（1）nkpppCknkkn, 2 , 1 , 0),10( ,)1 (（2）(0)0,1,2,!kekk例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為的分布列為 b 4 0.3 3 0.2 2 a 1XP問：問：, a b應(yīng)滿足什么條件？(35)0.6, .PXa b若求返回返回二、離散型隨機(jī)變量的概率分布二、離散型隨機(jī)變量的概率分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變

6、量及其分布隨機(jī)變量及其分布5. 離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求離散型隨機(jī)變量的概率分布分以下幾步來求:(1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值確定隨機(jī)變量的所有可能取值;(2) 計算取每個值的概率；計算取每個值的概率；(3) 列出隨機(jī)變量的概率分布列列出隨機(jī)變量的概率分布列.三、四種重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布三、四種重要的離散型隨機(jī)變量的概率分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布X 0 1P 1-p p 1、0-1分布分布 P( X = k )= qk-1p, ( k =1,2,.) q=1-p 2、幾何分布、幾何分布 nkppCkXPknkkn,.,2 , 1 ,

7、0)1 ()(記為記為 XB(n,p)。3、二項分布、二項分布 4、 Possion分布分布),0;, 2 , 1 , 0(!)( nkekkXPk記為記為XP().注解注解注解注解注解注解注解注解1 1、 0-10-1分布分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 解解: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 表示試驗出現(xiàn)表示試驗出現(xiàn)“成功成功”的次數(shù)的次數(shù), 則則“X = 0”表示試驗出現(xiàn)表示試驗出現(xiàn)“失敗失敗”, “X = 1”表示試驗出表示試驗出現(xiàn)現(xiàn)“成功成功”，P(X=1)=p, P(X=0)=1-p,所以所以X 的概率分的概率分布為布為: X 0 1 P 1-p p0-1分布分

8、布背景：背景：某試驗出現(xiàn)某試驗出現(xiàn)“成功成功”的概率為的概率為 p ,出現(xiàn)出現(xiàn) “失敗失敗”的概率為的概率為 1 p ，現(xiàn)只進(jìn)行一次試驗，現(xiàn)只進(jìn)行一次試驗,求求“成功成功”出現(xiàn)出現(xiàn)次數(shù)的概率分布次數(shù)的概率分布.特別特別: : X x0 x1 P 1-p p兩點分布兩點分布注意注意: 若一次若一次試驗只有兩個試驗只有兩個對立結(jié)果：對立結(jié)果：“成功成功”和和“失敗失敗”，且，且“成功成功”概率概率為為 p ，則，則 “成成功功”次數(shù)的概次數(shù)的概率分布為率分布為0-1分分布布.例例1.3.1 袋內(nèi)有袋內(nèi)有5個黑球，個黑球，3個白球，每次抽取一個，不個白球，每次抽取一個，不 放回，直到取得黑球為止。放

9、回，直到取得黑球為止。X 為取到白球的數(shù)目，為取到白球的數(shù)目，Y為為抽取次數(shù)抽取次數(shù) ，求，求 X、Y 的概率分布及至少抽取的概率分布及至少抽取3次的概率。次的概率。解解: (1) X 的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3,X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56P(X=0)=5/8, P(X=1)=(3/8)(5/7)=15/56,類似有類似有P(X=2)=(3/8)(2/7)(5/6)=5/56,P(X=3)=1/56,所以所以 X 的概率分布為的概率分布為 (2) Y 的可能取值為的可能取值為 1, 2, 3, 4, Y 1 2 3 4P 5/8 15/56

10、 5/56 1/56(3) P ( Y 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) = 6/56P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,類似有類似有P(Y=3)=P(X=2)=5/56,P(Y=4)=P(X=3)=1/56,所以所以Y的概率分布為的概率分布為返回返回2 2、幾何分布、幾何分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布背景：背景：假定一個試驗成功的概率為假定一個試驗成功的概率為 p (0 p 1),不斷獨不斷獨立重復(fù)進(jìn)行試驗立重復(fù)進(jìn)行試驗,直到首次成功出現(xiàn)為止直到首次成功出現(xiàn)為止,求試驗次數(shù)的求試驗次數(shù)的概率分布概率分布.解解: 設(shè)設(shè) X

11、表示試驗次數(shù)表示試驗次數(shù), X 取值為取值為1, 2,., n ,., P(X=1)=p, P(X=2)= (1-p)p, ., P(X=k)=(1-p)k-1p,., 記記 q=1-p, 則則 X 的概率分布為的概率分布為:P( X = k )= qk-1p, ( k =1,2,.)幾何分布幾何分布2、幾何分布、幾何分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布實際中有不少隨機(jī)變量服從幾何分布，比如：實際中有不少隨機(jī)變量服從幾何分布，比如：(1) 某產(chǎn)品的不合格率為某產(chǎn)品的不合格率為0.05，有放回方式抽查產(chǎn)品，有放回方式抽查產(chǎn)品， 首次首次查到不合格品時的檢查次數(shù)；查到不合格品

12、時的檢查次數(shù)； (2) 某射手的命中率為某射手的命中率為0.8，首次首次擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)；擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)；(3) 擲一顆骰子，擲一顆骰子，首次首次出現(xiàn)出現(xiàn)6點的投擲次數(shù)；點的投擲次數(shù)；(4)同時擲兩顆骰子，同時擲兩顆骰子，首次首次達(dá)到兩個點數(shù)之和為達(dá)到兩個點數(shù)之和為8的投的投 擲次數(shù)；擲次數(shù)；等等等等.返回返回3 3、二項分布、二項分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布背景：背景：一般地一般地,若在一次試驗中成功的概率為若在一次試驗中成功的概率為 p (0p1),獨立重復(fù)進(jìn)行獨立重復(fù)進(jìn)行n次次,這這n次中試驗成功的次數(shù)次中試驗成功的次數(shù) X 服從的分服從的分布為布為:

13、nkppCkXPknkkn,.,2 , 1 , 0)1 ()(記為記為 XB(n,p)。 注注: (1) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X所服從的分布稱為所服從的分布稱為二項分布二項分布, n為試驗次數(shù)為試驗次數(shù); (2) 該試驗?zāi)Ｐ头Q為該試驗?zāi)Ｐ头Q為 n 次獨立重復(fù)試驗?zāi)Ｐ痛为毩⒅貜?fù)試驗?zāi)Ｐ突蚧?n 重重 Bernoulli概率模型概率模型;3 3、二項分布、二項分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 如如:一批產(chǎn)品的合格率為一批產(chǎn)品的合格率為0.8,有放回地抽取有放回地抽取4次次,每次每次一件一件, 取得合格品件數(shù)取得合格品件數(shù) X ,以及取得不合格品件數(shù)以及取得不合格品件數(shù) Y 服

14、服從分布為二項分布從分布為二項分布,X 對應(yīng)的試驗次數(shù)為對應(yīng)的試驗次數(shù)為n=4,“成功成功”即取得合格品，其概率即取得合格品，其概率p=0.8,所以所以, X B(4,0.8)類似類似,Y B(4,0.2)(3) 若若A和和 是是n重重Bernoulli試驗的兩個對立結(jié)果試驗的兩個對立結(jié)果,“成功成功”是指我們感興趣的特征是指我們感興趣的特征,p是是“成功成功”的概率，的概率，q = 1-p 是是“失敗失敗”的概率。的概率。A關(guān)于二項分布關(guān)于二項分布),(pnBX隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 取什么值時，概率最大？取什么值時，概率最大？不為整數(shù)時當(dāng)為整數(shù)時當(dāng)pnpnpnpnpn) 1(,) 1() 1

15、(, 1) 1( ,) 1(一個特殊問題一個特殊問題 （最可能成功次數(shù)）（最可能成功次數(shù)）pnkpnkpnkkpkpnppCppCknkknknkkn) 1(, 1) 1(, 1) 1(, 1)1 () 1(1)1 ()1 (1111) 1( ,) 1(pnpnk當(dāng)當(dāng)pn) 1( 為整數(shù)時，取為整數(shù)時，取同時達(dá)到最大；同時達(dá)到最大；) 1(pnk的正整數(shù)的正整數(shù)當(dāng)當(dāng)pn) 1( 不為整數(shù)時，滿足不為整數(shù)時，滿足pnkpn) 1(1) 1(達(dá)到最大；達(dá)到最大；分析：分析：3 3、二項分布、二項分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布二項分布是一種常見的離散型分布，比如：二項分布

16、是一種常見的離散型分布，比如：(1) 有放回方式檢查有放回方式檢查10個產(chǎn)品，個產(chǎn)品，10個產(chǎn)品中不合格品個產(chǎn)品中不合格品的個數(shù)的個數(shù)X服從二項分布服從二項分布ppB),10(為不合格品率；為不合格品率； (2) 在一個龐大的人群中隨機(jī)調(diào)查在一個龐大的人群中隨機(jī)調(diào)查50個人，個人，50個人中個人中患色盲的人數(shù)患色盲的人數(shù)Y服從二項分布服從二項分布ppB),50(是色盲率；是色盲率；等等。等等。是射手命中率是射手命中率. (3) 射擊射擊5次，次，5次中命中次數(shù)次中命中次數(shù)Z服從二項布服從二項布(5, ),Bpp例例1.3.2 某特效藥的臨床有效率為某特效藥的臨床有效率為0.95，今有，今有10

17、人服用，人服用，求至少有求至少有8人治愈的概率人治愈的概率.9885. 005. 095. 005. 095. 005. 095. 01098895. 010BX10X01010101991028810）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（人中治愈的人數(shù)，則為設(shè)CCCXPXPXPXP例例1.3.3 .11P)., 3(), 2(95）（，求）（若YPXpBYpBX2719331313194020029495)1 (1)0(1) 1(), 3(,)1 (,)0(),0(1) 1(YPYPBYpppCXPXPXP例例1.3.4 甲、乙兩棋手約定進(jìn)行甲、乙兩棋手約定進(jìn)行10局比賽，比贏的局?jǐn)?shù)

18、局比賽，比贏的局?jǐn)?shù)多者為勝。設(shè)在每局中甲贏的概率為多者為勝。設(shè)在每局中甲贏的概率為0.6，乙贏的概率，乙贏的概率為為0.4.如果各局比賽是獨立進(jìn)行的，試問甲勝、乙勝、如果各局比賽是獨立進(jìn)行的，試問甲勝、乙勝、不分勝負(fù)、乙不輸?shù)母怕矢鞫嗌?？不分勝?fù)、乙不輸?shù)母怕矢鞫嗌伲?3670. 02007. 01663. 052007. 051663. 046330. 066 . 010BX10）（乙不輸），）（不分勝負(fù)），）（乙勝），）（甲勝）所以），（則局比賽中甲贏的局?jǐn)?shù)，表示XPPXPPXPPXPPX解：解：返回返回3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分

19、布隨機(jī)變量及其分布 1837年法國數(shù)學(xué)家泊松（年法國數(shù)學(xué)家泊松（D.Poisson,17811840）首次提出了泊松概率分布，它最初是作為二項分布的首次提出了泊松概率分布，它最初是作為二項分布的近似而被發(fā)現(xiàn)的，但隨著概率理論的發(fā)展和實踐的檢近似而被發(fā)現(xiàn)的，但隨著概率理論的發(fā)展和實踐的檢驗，證實泊松分布對某一類隨機(jī)現(xiàn)象有很貼切的描述，驗，證實泊松分布對某一類隨機(jī)現(xiàn)象有很貼切的描述，這類現(xiàn)象稱為泊松試驗，通俗地講它具有兩個重要特這類現(xiàn)象稱為泊松試驗，通俗地講它具有兩個重要特征：征：（1）所考察的事件在任意兩個長度相等的區(qū)間里發(fā)生）所考察的事件在任意兩個長度相等的區(qū)間里發(fā)生一次的機(jī)會均等；一次的機(jī)會

20、均等；（2）所考察的事件在任何一個區(qū)間里，發(fā)生與否和在）所考察的事件在任何一個區(qū)間里，發(fā)生與否和在其他區(qū)間里發(fā)生與否沒有相互影響，即是獨立的。其他區(qū)間里發(fā)生與否沒有相互影響，即是獨立的。3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布泊松分布是一種常見的離散型分布，它常與單位時間泊松分布是一種常見的離散型分布，它常與單位時間（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計數(shù)過程相聯(lián)系，（或單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計數(shù)過程相聯(lián)系，比如：比如：在單位時間內(nèi)，電話總機(jī)接到用戶呼喚的次數(shù)；在單位時間內(nèi)，電話總機(jī)接到用戶呼喚的次數(shù)；在單位時間內(nèi)，一電路受到外界電

21、磁波的沖擊次數(shù)；在單位時間內(nèi)，一電路受到外界電磁波的沖擊次數(shù)；1平米內(nèi)，玻璃上的氣泡數(shù)；平米內(nèi)，玻璃上的氣泡數(shù)；一鑄件上的砂眼數(shù)；一鑄件上的砂眼數(shù)；在單位時間內(nèi)，某種放射性物質(zhì)分裂到某區(qū)域的質(zhì)點數(shù)；在單位時間內(nèi)，某種放射性物質(zhì)分裂到某區(qū)域的質(zhì)點數(shù)；一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)；一定時間段內(nèi)，某航空公司接到的訂票電話數(shù)；3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)；一定路段內(nèi)，路面出現(xiàn)大損壞的次數(shù)；一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)；一定時間段內(nèi)，放射性物質(zhì)放射的粒子數(shù)；一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)

22、的錯別字的字?jǐn)?shù)；一定頁數(shù)的書刊上出現(xiàn)的錯別字的字?jǐn)?shù)；都服從泊松分布，因此泊松分布的應(yīng)用面是十分都服從泊松分布，因此泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的廣泛的.3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布定義定義: 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率分布為的概率分布為),0;, 2 , 1 , 0(!)( nkekkXPk則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的 Possion分布分布,記為記為XP().X 表示一定時間段或一定空間區(qū)域或其它特定單位表示一定時間段或一定空間區(qū)域或其它特定單位內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)。內(nèi)某一事件出現(xiàn)的次數(shù)。解：由題意，每解：由題

23、意，每60分鐘接到電話的平均次數(shù)是分鐘接到電話的平均次數(shù)是42次，次，那么那么10分鐘內(nèi)接到電話的平均次數(shù)應(yīng)為分鐘內(nèi)接到電話的平均次數(shù)應(yīng)為4260107次次定義隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量處接到的電話次數(shù)分鐘內(nèi)航空公司預(yù)定票10X)7( PX149.0)6(7!676eXP可使用可使用Excel中的統(tǒng)計函數(shù)中的統(tǒng)計函數(shù) 計算泊松分布計算泊松分布POISSON的概率，的概率，BINOMDIST計算二項分布的概率。計算二項分布的概率。例例1.3.5 假定某航空公司預(yù)定票處平均每小時接到假定某航空公司預(yù)定票處平均每小時接到42次訂票電話，那么次訂票電話，那么10分鐘內(nèi)恰好接到分鐘內(nèi)恰好接到6次電話的概率是次

24、電話的概率是多少？多少？例例1.3.6 一鑄件的砂眼（缺陷）數(shù)服從參數(shù)為一鑄件的砂眼（缺陷）數(shù)服從參數(shù)為0.5的泊的泊松分布，試求此鑄件上至多有一個砂眼（合格品）的松分布，試求此鑄件上至多有一個砂眼（合格品）的概率和至少有概率和至少有2個砂眼（不合格品）的概率個砂眼（不合格品）的概率.返回返回3、泊松分布、泊松分布 (Possion分布分布)第第1.31.3節(jié)節(jié) 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一般地一般地,對成功率為對成功率為p 的的 n 重重Bernoulli實驗實驗,只要只要n 比較比較大大, p 較小較小,(n 20, p0.05), 有有()()(1)!kkkkn knpnnpP XkC ppeekk(0,1,2, ;0)kn二項分布的近似計算二項分布的近似計算例例3.1.7. 槍擊飛機(jī)槍擊飛機(jī),每次命中目標(biāo)的概率為每次命中目標(biāo)的概率為0.001,連續(xù)射連續(xù)射擊擊5000次次,求擊中求擊中2彈或彈或2彈以上的概率彈以上的概率.解解:設(shè)命中次數(shù)為設(shè)