第三章 一元函數(shù)積分學(xué)

1、第三章微分法微分法:積分法積分法:互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算一元函數(shù)積分學(xué) 第一節(jié)第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié) 例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). . )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù). . 1.定義定義11一、原函數(shù)與不定積分的概念若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù)上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿足滿足(或或 f (x)dx)在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)上

2、的一個(gè)原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x)問(wèn)題1. 在什么條件下在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ? 定理定理1【原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理】 必必存在原函數(shù)存在原函數(shù) . (下章下章第五章證明第五章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上一定有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上一定有原函數(shù)簡(jiǎn)言之簡(jiǎn)言之： ( (存在性存在性) ) . .若函數(shù)若函數(shù) f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上連續(xù)上連續(xù), ,則則 f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間I I上上 問(wèn)題問(wèn)題 2. .原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？ 例例 xxcossin xCxco

3、ssin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）C若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理 2 原函數(shù)都在函數(shù)族原函數(shù)都在函數(shù)族( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) 內(nèi)內(nèi) .2.定義2在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的原函數(shù)全體稱為上的上的不定積分不定積分,其中其中 積分號(hào)積分號(hào); 被積函數(shù)被積函數(shù); 被積表達(dá)式被積表達(dá)式. 積分變量積分變量;(P183)由不定積分定義若由不定積分定義若則則( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )C 稱稱為為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如例如記作記作特點(diǎn)：特點(diǎn)：可通過(guò)求導(dǎo)或微可通過(guò)求導(dǎo)或微分驗(yàn)證是否正確分驗(yàn)證是否正確課本例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2)

4、, 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解 所求曲線過(guò)點(diǎn)所求曲線過(guò)點(diǎn) (1, 2) ,故有故有因此所求曲線為因此所求曲線為課本例1、例2 自閱 結(jié)論結(jié)論 當(dāng)積分號(hào)當(dāng)積分號(hào)“”與微分號(hào)與微分號(hào)“d”d”連在一起時(shí)連在一起時(shí), ,或或者抵消者抵消, ,或者抵消后差一個(gè)常數(shù)或者抵消后差一個(gè)常數(shù). .由此可見(jiàn)由此可見(jiàn): 微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算是微分運(yùn)算與不定積分運(yùn)算是的的.4. . 不定積分與微分的關(guān)系不定積分與微分的關(guān)系 從不定積分定義可知從不定積分定義可知:或或或或因此，利用逆向思維，可得基本積分公式表因此，利

5、用逆向思維，可得基本積分公式表二、 基本積分表 利用逆向思維利用逆向思維( k 為常數(shù))或或或或ln xCcosxC 例例5 求積分求積分.d3 xx 解解 3dxx xx d3Cx 1313.212Cx 例例6 求積分求積分.xxxd2 解解 xxxd2xx d25Cx 125125.7227Cx 根據(jù)積分公式根據(jù)積分公式（2） 補(bǔ)例補(bǔ)例 求求解解 原式原式=xxgxfd)()(;)()(xxgxxfdd三、 不定積分的性質(zhì)1. 可加性可加性逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分xxkfd)(.)(xxfkd（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k 2. 數(shù)乘性數(shù)乘性推廣推廣 若若則則特別注意特別注意xxgxfd)()(xxg

6、xfd)()(xxgxxfdd)()(xxgxxfdd)()( 此種情況下應(yīng)設(shè)法化乘、除為加、減；此種情況下應(yīng)設(shè)法化乘、除為加、減；然后利用性質(zhì)然后利用性質(zhì)1 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分例8 求解解 原式原式 =Cxx 23125325125.310722327Cxx 課本例9 求解解 原式原式 =例例10解解 原式原式 =例例11解解 原式原式 =例12 求解解 原式原式 =分析分析 基本積分表中沒(méi)有這基本積分表中沒(méi)有這種類型的積分種類型的積分, 先利用三角恒先利用三角恒等式化成表中所列積分的類等式化成表中所列積分的類型型, 再逐項(xiàng)積分：再逐項(xiàng)積分：又如又如 xxd2sin 2 xxxd2cos2si

7、n1 22 xxd)2sin(12 xxdcsc42Cx cot4降冪法降冪法例例13例例14 xxxxd132224提示提示利用多項(xiàng)式除法利用多項(xiàng)式除法化乘、除為加、減，化乘、除為加、減，逐項(xiàng)積分（逐項(xiàng)積分（此為一般性方法此為一般性方法）132224 xxx)12( 2 x14 2 x例例15 求求第二節(jié)第二節(jié) 換元積分法換元積分法一、第一類換元法一、第一類換元法二、第二類換元法二、第二類換元法三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題xxxdcossind Cxxxsincos d )(d)(cos)(sind xuxuxu 又又Cxuxuxu)(sin)()(cosd 微分形式的不變性微分形式的不變

8、性【結(jié)論結(jié)論】將基本積分公式中的將基本積分公式中的 x同時(shí)換為同時(shí)換為x的可微函數(shù)的可微函數(shù)u(x)， 公式仍然成立公式仍然成立, 這就大大擴(kuò)大了積分公式的范圍這就大大擴(kuò)大了積分公式的范圍.比較比較 、兩式兩式 可得以下結(jié)論可得以下結(jié)論引例 復(fù)合函數(shù)的積分法復(fù)合函數(shù)的積分法換元法換元法第一換元積分法（湊微分法）一、第一類換元法湊微分法復(fù)合函數(shù)的積分法復(fù)合函數(shù)的積分法換元法換元法【定理定理1】則有換元公式則有換元公式也稱也稱湊微分法湊微分法即即( ( )d ( ) xfx( ) ( )xuf u du 令令CuF )( 積分積分( )ux 回回代代 補(bǔ)例補(bǔ)例 求求.d2sinxx 解解Ct co

9、s21 解解 xxd2sinCu 2 解解xxd2sinCv 2sin1222 d()xxd(s2sin)inxxcos2 dx vvvsin2 dx xco2ssindxxx2cossindxxx 結(jié)論結(jié)論 湊微分時(shí)湊微分時(shí)觀察重點(diǎn)不同，觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論所得結(jié)論形式不同形式不同. .例如例如2sin1d2 txtt;2cos21Cx sin2 dxuu u ;sin2Cx d(cos )2cosxx .cos2Cx 例例3 求求解解 令令,2ux , 2 ux則則uxdd 于是于是原式原式例4 求解解例5 求解解注注 例例4、例、例5所用方法稱為所用方法稱為萬(wàn)能湊冪萬(wàn)能湊冪.例6 求解

10、解令令想到公式想到公式公式公式221d1( )xaxa例7求想到想到解解公式公式21d()xaxa21( )dxaxa 例8 求解解 原式原式 =公式公式化乘除為加減化乘除為加減化為最簡(jiǎn)分式之和化為最簡(jiǎn)分式之和d()xaxad()xaxa常用的幾種湊微分形式 萬(wàn)能湊冪法萬(wàn)能湊冪法(如例如例4、例、例5)(如例如例2、例、例3)(如例如例9)(如例如例10)(如例如例11、例例12、例例13)(如例如例16)(如例如例17)例9 求解解 原式原式 =12例10 求解解 原式原式 =32 edxx3(23ed 3)xx湊湊湊湊例11 求解解 原式原式 =例13 求解解類似類似公式公式公式公式dco

11、s cosxxidsins nxx湊湊公式公式例例19公式公式例例18二、第二類換元法變量代換法第一類第一類換元法解決的問(wèn)題換元法解決的問(wèn)題難求難求易求易求若所求積分若所求積分易求易求,則得則得第二類第二類換元積分法換元積分法 .難難求，求，第二類換元法第二類換元法)(1xt則有換元公式則有換元公式【定理定理2】1. .【變量代換法定理變量代換法定理】 )( 單調(diào)、可導(dǎo)，單調(diào)、可導(dǎo)，設(shè)設(shè)tx 0)( t 且且 )()(具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，又設(shè)又設(shè)ttf 一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有;sintax ;tantax .sectax目的是化掉根式。目的是化掉根式。

12、【說(shuō)明說(shuō)明】若令若令被積函數(shù)可能仍含有根號(hào)，故被積函數(shù)可能仍含有根號(hào)，故一般一般不用不用根式代換根式代換.2. .【變量代換主要類型變量代換主要類型】根式代換根式代換（2）根式代換：）根式代換：令令( )tu x例21 求解解 令令則則 原式原式公式公式 例例22 求求 解解 ).0(d122axax令令taxtanttaxdsecd2ttatadsecsec12ttdsec1|tansec|lnCttax 2,2t即即 公式公式212ln.xaxCaa 例例23 求求 解解 ).0(d122axax令令2, 0ttttaxdtansecdttattadtantansectt d sec1|t

13、ansec|lnCttax.|ln122Caaxax即即 公式公式三、小結(jié)1.第二類換元法第二類換元法變量代換變量代換常見(jiàn)類型常見(jiàn)類型: 令令令令令令三三角角代代換換特殊情形下：特殊情形下：整個(gè)整個(gè)根式代換根式代換( 例題略例題略)【注意注意】換元時(shí)要同時(shí)換被積函數(shù)換元時(shí)要同時(shí)換被積函數(shù) f (x)和微分和微分d x;|cos|lndtan)16(Cxxx;|sin|lndcot)17(Cxxx;|tansec|lndsec)18(Cxxxx;|cotcsc|lndcsc)19(Cxxxx;arctan1d1)20(22Caxaxxa2. 【基本積分表基本積分表 】;|ln21d1)21(22

14、Caxaxaxax;arcsind1)22(22Caxxxa.|lnd1)23(2222Caxxxax(25).|lnd1)24(2222Caxxxax(26)(27)例例25 求求解解上述公式舉例應(yīng)用上述公式舉例應(yīng)用例例26 求求解解 原式原式 =第三節(jié)第三節(jié) 分部積分法分部積分法一、基本內(nèi)容一、基本內(nèi)容二二、例題分析、例題分析三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題【問(wèn)題問(wèn)題】 ?dcosxxx【解決思路解決思路】利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則. .,vuvuuv, vuuvvu分部積分公式分部積分公式一、基本內(nèi)容即即1) v 容易求得容易求得 ;容易計(jì)算容易計(jì)算 .xxcos

15、d 2 2二、例題分析 例例1 求積分求積分.dcosxxx【解解】()() 令令,cosxu vxxxddd22xxxdcosxxcos22顯然顯然, ,u、v 選擇不當(dāng)選擇不當(dāng)，積分，積分更難更難進(jìn)行進(jìn)行. .xxxd sin 22 解解 () ()令令, xu vxxxdsinddcosxxxdcosxxxxdsinsin.cossinCxxx思考思考如何求如何求提示提示令令則則原式原式 若被積函數(shù)是若被積函數(shù)是冪函數(shù)冪函數(shù)和和正正( (余余) )弦函數(shù)弦函數(shù)或或冪函數(shù)冪函數(shù)和和指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的乘積的乘積, ,就考慮設(shè)就考慮設(shè)冪函數(shù)冪函數(shù)為為u, ,分部積分后使其降冪分部積分后使其降冪

16、一次一次( (假定冪指數(shù)是正整數(shù)假定冪指數(shù)是正整數(shù)) )故稱為故稱為降次降次（冪）（冪）法法. 例例2 求積分求積分.de2xxx 解解 ,2xu ,ddedevxxxxxxde2xxxxxde2e2.)ee(2e2Cxxxxx（再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）, xu vxxdde【總結(jié)總結(jié)1】如若如若 de2xxxxxxxxd e3 e333顯然積分更難進(jìn)行顯然積分更難進(jìn)行 例例3 求積分求積分.dln xxx 解解 ,ln xu ,d2dd2vxxx xxxdln xxxxdln21ln2122.41ln2122Cxxx xxxxd21ln212同理可求同理可求 例例4 求積分

17、求積分.darccos xx 解解 令令,arccosxu vxdd xxdarccos )(arccosdarccosxxxx xxxxxd1arccos2 )d(1)1(121arccos2221xxxx.1arccos2Cxxx 萬(wàn)能湊冪萬(wàn)能湊冪 例例5 求積分求積分.darctan xxx 解解 令令,arctanxu xxarctan22思考如何求思考如何求22dddxx xv 原式原式)(arctand22xx 若被積函數(shù)是若被積函數(shù)是冪函數(shù)冪函數(shù)和和對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)或或冪函數(shù)冪函數(shù)和和反三角函反三角函數(shù)數(shù)的乘積，就考慮設(shè)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)或或反三角函數(shù)反三角函數(shù)為為

18、u. .對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)或或反三角函數(shù)反三角函數(shù)微分后轉(zhuǎn)換成微分后轉(zhuǎn)換成其它類型其它類型的函數(shù)的函數(shù)故稱為故稱為轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法.【總結(jié)總結(jié)2】【解題技巧解題技巧】分部積分的使用原則分部積分的使用原則 (1) 被積函數(shù)是被積函數(shù)是兩個(gè)兩個(gè)(不同不同類型類型的的)函數(shù)的函數(shù)的乘積乘積反反: 反三角函數(shù)反三角函數(shù)對(duì)對(duì): 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)冪冪: 冪函數(shù)冪函數(shù)指指: 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)三三: 三角函數(shù)三角函數(shù)(2) 積分容易者湊積分容易者湊 dv，求導(dǎo)簡(jiǎn)單者選作，求導(dǎo)簡(jiǎn)單者選作u， 若二者不可兼得，首先保證前者若二者不可兼得，首先保證前者.(3) 按按“反反, 對(duì)對(duì), 冪冪, 指指, 三三”順序順序, 前者

19、為前者為u , 后者為后者為v(4) 熟練后，可不必寫出哪一部分選作熟練后，可不必寫出哪一部分選作 u 和和 dv 直接套用公式即可直接套用公式即可 例例6 求積分求積分.dsinexxx 解解 xxdesin)(sindesinexxxxxxxxxdcosesinexxxxdecossine)cosdecose (sinexxxxxxxxxdsine.)cos(sin2eCxxx說(shuō)明說(shuō)明也可設(shè)也可設(shè)但兩次所設(shè)但兩次所設(shè)類型必須一致類型必須一致 . e sin de (sincos )xxxxx x所求再現(xiàn)所求再現(xiàn)注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式【典型例題典型例題】例例7 求求xxdsec3xxtan

20、sec所求再現(xiàn)所求再現(xiàn)注意循環(huán)形式注意循環(huán)形式 解解 xxdsec3拆開(kāi)奇次項(xiàng)湊微分拆開(kāi)奇次項(xiàng)湊微分xxtansec2secsecdxx xdnectasxx3(sec )dsecxxx xxxdsec tan2xxtansec ln |sectan|xx3secdx xxxdsec3xxtansec21Cxx|tansec|ln21 例例8 xxde 求求 解解 2，則則，令令t xtx . d2dttx 于是于是xxdetttde2 ttde2 ttttde2e2 Cttte2e2Cxxx e2e2【此例說(shuō)明此例說(shuō)明】在積分的過(guò)程中往往要兼用在積分的過(guò)程中往往要兼用換元法換元法與與 分部積

21、分法分部積分法 換換 元元配配元元 分分部部法法回回代代根式代換根式代換【綜合性例題綜合性例題】【同類型同類型練習(xí)練習(xí)】求求 xx dcos)1(tx 令令 tttdcos2下同下同例例1,再回代再回代 xxde)2(3 xxde)3(93tx 3令令 tttde32tx 93令令 tttde32下同下同例例2 ,再回代再回代三、小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 分部積分公式分部積分公式1. 使用原則使用原則 : 易求出易求出,易積分易積分2. 使用經(jīng)驗(yàn)使用經(jīng)驗(yàn) :“反對(duì)冪指三反對(duì)冪指三” , 前前 u 后后v 3. 題目類型題目類型 :分部化簡(jiǎn)分部化簡(jiǎn) 降冪法；轉(zhuǎn)換法；降冪法；轉(zhuǎn)換法； 循環(huán)法循環(huán)法.【注意注意

22、】 循環(huán)法循環(huán)法兩次兩次分部分部選擇的選擇的 u , v 函數(shù)類型函數(shù)類型不變不變 , 解出積分后加解出積分后加 C .第四節(jié)第四節(jié) 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題 基本積分法基本積分法 : 直接積分法直接積分法 ; 換元積分法換元積分法 ;分部積分法分部積分法一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例二、可化為有理函數(shù)的積分舉例本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 1. .【有理函數(shù)有理函數(shù)】 兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之( (有理分式有理分

23、式).).一、有理函數(shù)的積分時(shí)時(shí),為為假分式假分式;時(shí)時(shí),為為真分式真分式有理函數(shù)有理函數(shù)相除相除多項(xiàng)式多項(xiàng)式 + 真分真分 式式分解分解若干最簡(jiǎn)分式之和若干最簡(jiǎn)分式之和【例例】【難點(diǎn)難點(diǎn)】將將真分真分 式式化為化為最簡(jiǎn)最簡(jiǎn)分式之和分式之和. .例1 求解解),3()2(1 xBxAx),23()(1ABxBAx , 132, 1BABA,34 BA待定系數(shù)法待定系數(shù)法特點(diǎn)：特點(diǎn)：分母可以分解為兩個(gè)一次因式之積分母可以分解為兩個(gè)一次因式之積真分式積分舉例真分式積分舉例6512 xxx.2334 xxCxx 2ln33ln4故故) 12)() 1(22xCBxxxAxCAxCBAxBAx)2()

24、2(2221202CACBABA012CBA例例2 求求解解于是于是 原式原式=)(d21x方法具有一般性方法具有一般性特點(diǎn)：特點(diǎn)：分母含有二次質(zhì)因式分母含有二次質(zhì)因式Cauauau arctan)20(122d 例例3 求積分求積分 解解 xxxxd) 1)(1(32特點(diǎn)：特點(diǎn)：分母中兩個(gè)因式有公因式分母中兩個(gè)因式有公因式) 1)(1(32xxx) 1() 1(32xxx1x解得解得1, 2, 1CBA于是于是xxxxd) 1() 1(32xxd11| 1|lnxCx| 1|ln方法具有一般性方法具有一般性化成含有重因式化成含有重因式C原式原式11| 1|lnxx二、可化為有理函數(shù)的積分舉例

25、1、三角函數(shù)有理式的積分、三角函數(shù)有理式的積分（略）（略）2. .簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令令令【方法方法】可通過(guò)（整體）可通過(guò)（整體）根式代換根式代換化為有理函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分. 例如例如令令例例5 求求 解解 令令例例6 求求 解解 令令則則原式原式例7 求解解則有則有原式原式令令【說(shuō)明說(shuō)明】當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)時(shí), ,可用代換可用代換 （其中（其中n為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)最小公倍數(shù)） 例例8 求積分求積分 xxxxd11 解解 令令,12txx,112tx,) 1(d2d22tttxxxxxd11tt

26、tttd1212221 d222tttttd11122Cttt|11|ln2.11ln122Cxxxxx定積分 積分學(xué)積分學(xué)不定積分不定積分定積分定積分第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、定積分的定義二、定積分的定義三、存在定理三、存在定理四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義五、定積分的性質(zhì)一、問(wèn)題的提出矩形面積矩形面積梯形面積梯形面積【問(wèn)題問(wèn)題】如何求由任意封閉曲線所如何求由任意封閉曲線所 圍成的平面圖形的面積。圍成的平面圖形的面積?！痉椒ǚ椒ā縳abyo轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積【引例引例1】曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由

27、連續(xù)曲線設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線以及兩直線所圍成所圍成 , 求其面積求其面積 A .abxyoabxyoabxyo用矩形面積近似取用矩形面積近似取代曲邊梯形面積代曲邊梯形面積顯然小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積顯然小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放解決步驟 :1) 分割分割在區(qū)間在區(qū)間 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 個(gè)分點(diǎn)個(gè)分點(diǎn)用直線用直線將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成

28、 n 個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形;2) 取近似取近似 在第在第i 個(gè)窄曲邊梯形上個(gè)窄曲邊梯形上任取任取作以作以為底為底 ,為高的小矩形為高的小矩形,并以此小并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積窄曲邊梯形面積得得3) 求和4) 取極限取極限.令令則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積【引例引例2】（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） 略略“分割分割, , 取近似取近似, 求和求和, 取極取極限限”上述兩個(gè)問(wèn)題的共性上述兩個(gè)問(wèn)題的共性: 解決問(wèn)題的方法步驟相同解決問(wèn)題的方法步驟相同 : 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限二、定

29、積分的定義【定義定義】任一種任一種分法分法任取任取總趨于確定的極限總趨于確定的極限 I , 則稱此極限則稱此極限 I 為函數(shù)為函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上的上的定積分定積分,即即此時(shí)稱此時(shí)稱 f ( x ) 在在 a , b 上上可積可積 .記作記作f(x)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 上連續(xù)，上連續(xù)，a,b積分上限積分上限積分下限積分下限被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分和積分和【說(shuō)明說(shuō)明】 baxxfd)(而與積分變量的而與積分變量的字母字母無(wú)關(guān)無(wú)關(guān). 積分值僅與積分值僅與被積函數(shù)被積函數(shù) f (x)及及積分區(qū)間積分區(qū)間a , b有關(guān)有關(guān)，抓住定積分是一個(gè)數(shù)的特點(diǎn)來(lái)理解抓住定積分是一個(gè)數(shù)

30、的特點(diǎn)來(lái)理解三、可積的充分條件（定積分存在定理）【定理定理1】【定理定理2】且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)且只有有限個(gè)間斷點(diǎn) 關(guān)于可積性問(wèn)題我們不作深入討論關(guān)于可積性問(wèn)題我們不作深入討論, 只給出兩個(gè)充分條件只給出兩個(gè)充分條件引例引例1中中曲邊梯形的面積可表示為曲邊梯形的面積可表示為曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值4321d)(AAAAxxfba 四、定積分的幾何意義 102d1xx例如例如 dsinxxab五、定積分的性質(zhì)( k 為常數(shù)為常數(shù))【補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定】(設(shè)所列定積分都存在設(shè)所列定積分都存在)積分區(qū)間的可加性積分區(qū)間的可加性c 與與a，b 的位置關(guān)系任意的位

31、置關(guān)系任意（只要首尾相接只要首尾相接）【推廣推廣】首尾相接首尾相接【幾何意義明顯幾何意義明顯】性質(zhì)5 若在 a , b 上則則不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)比較性質(zhì)比較性質(zhì)推論推論1若在若在 a , b 上上則則性質(zhì)性質(zhì)6 設(shè)設(shè)則則（此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）此性質(zhì)可用于估計(jì)積分值的大致范圍）估值性估值性性質(zhì)性質(zhì)7 （定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式【注注】 1 、使用該定理必須要求使用該定理必須要求 f (x) 連續(xù)連續(xù). , a b使使()ab2 、作用作用: 可以可以脫掉脫掉積分號(hào)積分號(hào).【積分中值公式的幾何解釋積分中值公式的幾何解釋】xyoab【注意注意】從幾何

32、角度易看出，從幾何角度易看出，表示連續(xù)曲線表示連續(xù)曲線 在在 上的上的平均高度平均高度. .)(xf,ba曲邊梯形面積高為曲邊梯形面積高為f ()的同底邊矩形面積的同底邊矩形面積亦即亦即f ()是函數(shù)是函數(shù) f (x)在在a,b上的上的平均值平均值.它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的拓廣它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的拓廣觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分

33、割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的

34、關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀

35、察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系第二節(jié)第二節(jié) 微積分基本公式微積分基本公式一、復(fù)習(xí)與回顧一、復(fù)習(xí)與回顧二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)

36、及其導(dǎo)數(shù)三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題一、復(fù)習(xí)與回顧1.定積分定義：定積分定義：2.關(guān)系：關(guān)系：連續(xù)連續(xù)可積可積有界有界可導(dǎo)可導(dǎo)3.解決解決牛牛萊公式萊公式問(wèn)題的思路：?jiǎn)栴}的思路： 建立一個(gè)新函數(shù)建立一個(gè)新函數(shù)積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)： 著重研究著重研究積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)的一條重要性質(zhì)：的一條重要性質(zhì)： 用此性質(zhì)來(lái)證明用此性質(zhì)來(lái)證明牛牛萊公式萊公式：有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)xaxxfd)(考察定積分考察定積分記記積分上限函數(shù)（或變上限積分）積分上限函數(shù)（或變上限積分）二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)abxyo1.【定義定義】2. 積

37、分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)則變上限函數(shù)則變上限函數(shù)證證 略略【定理定理1】若若( ) , ,f xa bC在在a , b上可導(dǎo)，且上可導(dǎo)，且3. . 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理【定理定理2】定理的重要意義定理的重要意義(1) 肯定了肯定了連續(xù)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的函數(shù)的原函數(shù)是存在的. .(2) 初步揭示了積分學(xué)中的初步揭示了積分學(xué)中的定積分定積分與與原函數(shù)原函數(shù)之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系. .【定理定理 3】 微積分基本公式微積分基本公式證證 略略三、牛頓萊布尼茨公式 , )( )(，上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)如果如果baxfxF牛牛萊公式萊公式( 牛

38、頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式) 記作記作【微積分基本公式表明微積分基本公式表明】2. .求求定積分定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)原函數(shù)的問(wèn)題的問(wèn)題. .例例1 求求 原式原式103 31 x.31解解例例1 求求 .d102xx例例2 求求 .d11312 xx解解 312d11xx31arctan x)1arctan(3arctan )4(3 127 例例3 求求 .d12 xx解解 12dxx12|ln x|2|ln|1|ln 2ln 解解 面積面積xyo 0dsinxxA0cosx. 2使用牛頓使用牛頓萊布尼茲公式必須注意萊布尼茲公式必須注意（1）被積函數(shù)）被積函數(shù) f (x)

39、 在在 a, ,b 上上連續(xù)連續(xù)（2）F(x)是是 f (x) 在在 a, ,b 上的原函數(shù)上的原函數(shù). .補(bǔ)例補(bǔ)例1 ,215102)( xxxxf設(shè)設(shè) 20d)( xxf求求分析分析 方法方法：可采用積分區(qū)間的：可采用積分區(qū)間的分割性質(zhì)分割性質(zhì)，分段積分分段積分. .解解102120d)(d)(d)(xxfxxfxxf1021d5d2xxx原式原式. 6xyo125【結(jié)論結(jié)論】一般地一般地 , 凡凡可積可積的分段函數(shù)都可以應(yīng)用的分段函數(shù)都可以應(yīng)用積分區(qū)間的可加性積分區(qū)間的可加性 , 在各區(qū)間段上分別用在各區(qū)間段上分別用牛牛萊公式萊公式進(jìn)行定積分進(jìn)行定積分.補(bǔ)例補(bǔ)例2 求求 .d| 1|22

40、xx解解由圖形可知由圖形可知| 1|)( xxf2112d) 1(d)1 (xxxx原式原式. 51111xxxxxyo122 3. .微積分基本公式微積分基本公式1. .積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xattfxd)()(2. .積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(d)(aFbFxxfba 四、小結(jié)內(nèi)容小結(jié))(d)()(xfttfxxa 第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、換元公式一、換元公式三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、分部積分公式二、分部積分公式( )d)d( )bafttxxtf一、換元公式【定理定理1】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)單值函數(shù)單值函數(shù)滿足滿足:1

41、)2) 在在上上則則【注注】當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上述換元公式仍成立時(shí)，上述換元公式仍成立. 應(yīng)用換元公式求定積分時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用換元公式求定積分時(shí)應(yīng)注意(1) 換元法有三換換元法有三換三換三換換元必?fù)Q元必?fù)Q限換限上限對(duì)上限，下限對(duì)下限上限對(duì)上限，下限對(duì)下限. .換被積換被積函數(shù)函數(shù)換微分換微分( )()(ffxt一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)(2) 換元后求出的原函數(shù)中的新變量不必代回?fù)Q元后求出的原函數(shù)中的新變量不必代回(3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即即或配元或配元配元配元不換限不換限換元必?fù)Q元必?fù)Q限換限( )d)d( )bafttxxtf例例1 計(jì)算計(jì)算解解 令令,sintax ,d

42、cosdttax 0 x, 0 tax ,2 t換元必?fù)Q元必?fù)Q限換限例例2 計(jì)算計(jì)算解解配元配元不換限不換限例例3 計(jì)算計(jì)算解解.dsinsin053xxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053dsinsinxxx023dsincosxxx2023dsincosxxx223dsincosxxx2023sindsinxx223sindsinxx2025sin52x252sin52x.54容易出錯(cuò)容易出錯(cuò)配元配元不換限不換限分段函數(shù)應(yīng)分段積分分段函數(shù)應(yīng)分段積分.配元配元不換限不換限例例4 計(jì)算計(jì)算解解 令令換元必?fù)Q元必?fù)Q限換限則 原式 =且 例5證證(1) 若若(2) 若若對(duì)稱奇偶

43、性對(duì)稱奇偶性“偶倍奇零偶倍奇零”定積分證明題：定積分證明題：常用換元法常用換元法奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的性質(zhì)奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的性質(zhì): “偶倍奇零偶倍奇零”112d11cosxxxx奇函數(shù)奇函數(shù)補(bǔ)例補(bǔ)例 計(jì)算計(jì)算解解.d11cos21122xxxxx原式原式1122d112xxx偶函數(shù)偶函數(shù)1022d114xxx10222d)1 (1)11 (4xxxx102d)11 (4xx102d144xx. 4單位圓的面積單位圓的面積幾何意義幾何意義例例7 設(shè)設(shè) f (x)是以是以T為周期的為周期的連續(xù)連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意函數(shù)，則對(duì)任意a，有，有 .d)(d)(T0T xxfxxfaa一個(gè)

44、周期上的積一個(gè)周期上的積分值與起點(diǎn)無(wú)關(guān)分值與起點(diǎn)無(wú)關(guān)定積分定積分證明題證明題周期函數(shù)的定積分的性質(zhì)周期函數(shù)的定積分的性質(zhì):證證令令Tdaaxxfa)()(將將a 視為變數(shù)，則視為變數(shù)，則 (a)可導(dǎo)可導(dǎo)(?)0)()T()( afafa)0()( a則取則取Td 0)()0()(xxfa更一般地有更一般地有二、分部積分公式【定理定理2】 則則一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)例例10 計(jì)算計(jì)算解解原式原式 =例例11 計(jì)算計(jì)算解解 令令.de 10 xx且且則則,d2d,2ttxtxtx 10de xx 10de 2ttt 10de 2tt)dtee( 21010 ttt)e (e 210t ) )1e

45、 (e 2 . 2 三、內(nèi)容小結(jié)換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法換元換元必?fù)Q限必?fù)Q限配元配元不換限不換限邊積邊積邊代限邊代限2.幾個(gè)重要的幾個(gè)重要的特殊結(jié)果特殊結(jié)果：1.基本積分法基本積分法.d)(d)()2(T0T xxfxxfaa對(duì)稱奇偶性對(duì)稱奇偶性“偶倍奇零偶倍奇零”第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）二、無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題（2 2）瑕積分（被積函數(shù)無(wú)界）瑕積分（被積函數(shù)無(wú)界）以上各節(jié)所講以上各節(jié)所講定積分定積分是是正常正常情況下的積分，情況下的積分，它滿足兩條：它滿足兩條：

46、(1)(1)積分區(qū)間為有限區(qū)間積分區(qū)間為有限區(qū)間 a,b (2)(2)被積函數(shù)為有界函數(shù)（可積的必要條件）被積函數(shù)為有界函數(shù)（可積的必要條件） 推廣推廣 （尤其常見(jiàn)的是連續(xù)函數(shù)）（尤其常見(jiàn)的是連續(xù)函數(shù)）（1 1）無(wú)窮限的反常積分（積分區(qū)間無(wú)限）無(wú)窮限的反常積分（積分區(qū)間無(wú)限）反常積分反常積分一、無(wú)窮限的反常積分【引例引例】曲線曲線和直線和直線及及 x 軸所圍成的開(kāi)口曲軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積邊梯形的面積 可記作可記作其含義可理解為其含義可理解為 【定義1】設(shè)若若存在存在 , 則稱此極限為則稱此極限為 f (x)在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間a ,+)上的上的反常積分反常積分, 記作記作這時(shí)也稱反常積

47、分這時(shí)也稱反常積分收斂收斂 ; 如果上述極限不存在如果上述極限不存在,就稱反常積分就稱反常積分發(fā)散發(fā)散 .類似地類似地 , 若若則定義則定義則定義則定義( c 為任意取定的常數(shù)為任意取定的常數(shù) )只要有一個(gè)極限不存在只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱就稱發(fā)散發(fā)散 .【注注】 由由上述定義及牛上述定義及牛萊公式可得如下結(jié)果：萊公式可得如下結(jié)果：引入記號(hào)引入記號(hào)則有類似牛則有類似牛 萊公式的計(jì)算表達(dá)式萊公式的計(jì)算表達(dá)式 :幾何意義幾何意義它是位于曲線的下方，它是位于曲線的下方，x軸上方、軸上方、兩端無(wú)限延伸的開(kāi)口圖形的面積。兩端無(wú)限延伸的開(kāi)口圖形的面積。是一個(gè)有限值是一個(gè)有限值.例1計(jì)算反常積分解解思

48、考思考 分析分析原積分發(fā)散原積分發(fā)散 !【注意注意】 對(duì)反常積分對(duì)反常積分, 只有在只有在收斂收斂的條件下才能使用的條件下才能使用“偶倍奇零偶倍奇零” 的性質(zhì)的性質(zhì), 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤 .例2 計(jì)算反常積分解解二、無(wú)界函數(shù)的反常積分（瑕積分）【引例引例】曲線曲線所圍成的所圍成的與與 x 軸軸, y 軸和直線軸和直線開(kāi)口曲邊梯形的面積開(kāi)口曲邊梯形的面積,可記作可記作其含義可理解為其含義可理解為 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) a 的的任一鄰域內(nèi)任一鄰域內(nèi)都都無(wú)界無(wú)界，則，則稱點(diǎn)稱點(diǎn) a 為函數(shù)為函數(shù) f (x)的的瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(又稱又稱無(wú)界間斷點(diǎn)無(wú)界間斷點(diǎn)).注意注意 無(wú)窮無(wú)窮間斷

49、點(diǎn)間斷點(diǎn)必是必是無(wú)界無(wú)界間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)此為最此為最常見(jiàn)的類型常見(jiàn)的類型. . （無(wú)窮大必?zé)o界無(wú)窮大必?zé)o界） 【定義定義】點(diǎn)點(diǎn) a 是是 f (x)的的瑕點(diǎn)瑕點(diǎn), ,存在存在, ,這時(shí)也稱反常積分這時(shí)也稱反常積分收斂收斂 ; ;如果上述極限不存在如果上述極限不存在, ,就稱反常積分就稱反常積分發(fā)散發(fā)散 . .類似地類似地 , , 若若b b 是是 f (x)的的瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)若極限若極限數(shù)數(shù) f (x)在在( (a, ,b 上的上的反常積分反常積分, , 記作記作則定義則定義則稱此極限為函則稱此極限為函 ( )( , ,f xa bC【定義定義2】設(shè)設(shè)( ) , ),f xa bC點(diǎn)點(diǎn) c 是是 f (

50、x) 的的瑕點(diǎn)瑕點(diǎn),無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱瑕積分瑕積分,無(wú)界點(diǎn)常稱為無(wú)界點(diǎn)常稱為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)奇點(diǎn)) .則定義則定義lim( )dctatf xxlim( )dcbttf xx的計(jì)算表達(dá)式的計(jì)算表達(dá)式 : 則也有類似牛則也有類似牛 萊公式的萊公式的若若 b 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 則則若若 a 為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn), 則則若若 a , b 都為瑕點(diǎn)都為瑕點(diǎn), 則則例例4 計(jì)算反常積分計(jì)算反常積分解解).0(d022axaxa,1lim220 xaaxaxax022daax0arcsin0arcsinlimaxax.2必為瑕點(diǎn)必為瑕點(diǎn)ax 為被積函數(shù)的為被積函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn). 例

51、例5 討論反常積分的斂散性討論反常積分的斂散性112dxx解解 明顯地明顯地0 x是是內(nèi)部?jī)?nèi)部瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)無(wú)窮型間斷點(diǎn)無(wú)窮型間斷點(diǎn)100111而而1)1(lim1d1001012xxxxx故原故原反常積分反常積分發(fā)散發(fā)散. .但但如果忽視了內(nèi)部瑕點(diǎn)，就會(huì)得到以下錯(cuò)誤結(jié)果：如果忽視了內(nèi)部瑕點(diǎn)，就會(huì)得到以下錯(cuò)誤結(jié)果：112dxx211111 x三、小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無(wú)限積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界被積函數(shù)無(wú)界2.“和的反常積分等于反常積分的和和的反常積分等于反常積分的和”在兩個(gè)在兩個(gè) 反常積分反常積分都收斂都收斂的情況下才成立的情況下才成立.3.不能忽略內(nèi)部的瑕點(diǎn)；不能忽略內(nèi)部的

52、瑕點(diǎn)；內(nèi)部瑕點(diǎn)更具隱蔽性內(nèi)部瑕點(diǎn)更具隱蔽性.利用元素法解決利用元素法解決: 定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在幾何上的應(yīng)用(重點(diǎn)講重點(diǎn)講)定積分在物理上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用ab xyo)(xfy xxfAd)(lim.d)(baxxf面積元素面積元素即即 (1)部分量部分量近似近似; ; (2)整體量整體量積分積分。【例例】求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積【應(yīng)用方向應(yīng)用方向】平面圖形的平面圖形的面積面積；體積體積；平面曲線的；平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)；功功；水壓力水壓力；引力引力和和平均值平均值等等元素的幾何形狀常取為元素的幾何形狀常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇

53、扇, 片片, 殼殼 等等定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一 平面圖形的面積四 小結(jié) 思考題二 體積三 平面曲線的弧長(zhǎng)xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab面積：面積：baxxfAd)(面積元素面積元素baxxfxfAd)()(12xxxx x 一 平面圖形的面積1.1 直角坐標(biāo)之一般情形直角坐標(biāo)之一般情形面積元素：面積元素：xxfAd)(dxxfxfAd)()(d12面積：面積：1.1.直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)情形情形解解 兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)) 1 , 1 ()0 , 0( 面積元素面積元素xxxAd)(d2選選x為積分變量為積分變量 1 , 0 xxxxAd)(2101033322