202X_202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.1直線與平面垂直的判定課件新人教A版必修2 (3)

1、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.1.理解線面垂直的定義和判定定理理解線面垂直的定義和判定定理. .2.2.能運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的能運用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題簡單命題. .3.3.能在簡單的幾何體中計算線面角能在簡單的幾何體中計算線面角. .素養(yǎng)達(dá)成素養(yǎng)達(dá)成通過對線面垂直的判定定理的學(xué)習(xí)通過對線面垂直的判定定理的學(xué)習(xí), ,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力觀能力, ,學(xué)會從學(xué)會從“感性認(rèn)識感性認(rèn)識”到到“理性認(rèn)識理性認(rèn)識”過程中獲過程中獲取新知

2、取新知. .新知導(dǎo)學(xué)新知導(dǎo)學(xué)素養(yǎng)養(yǎng)成素養(yǎng)養(yǎng)成(1)(1)自然語言自然語言: :如果直線如果直線l l與平面與平面內(nèi)的內(nèi)的 直線都直線都 , ,就說直線就說直線l l與平面與平面互相垂直互相垂直, ,記作記作 . .直線直線l l叫做平面叫做平面的的 , ,平面平面叫叫做直線做直線l l的的 . .直線與平面垂直時直線與平面垂直時, ,它們唯一的公共點它們唯一的公共點P P叫做叫做 . .(2)(2)圖形語言圖形語言: :如圖如圖. .畫直線畫直線l l與平面與平面垂直時垂直時, ,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直邊垂直. .(3)(3)符號

3、語言符號語言: :任意任意a a,都有都有l(wèi)ala . .任意一條任意一條垂直垂直ll垂線垂線垂面垂面垂足垂足ll思考思考1:1:假設(shè)定義中把假設(shè)定義中把“任意一條直線改為任意一條直線改為“無數(shù)條直線無數(shù)條直線, ,直線直線l l與與平面平面還垂直嗎還垂直嗎? ?答案答案: :不一定垂直不一定垂直. .當(dāng)這無數(shù)條直線是一組平行線時當(dāng)這無數(shù)條直線是一組平行線時, ,直線直線l l與平面與平面可可能斜交能斜交. .思考思考2:2:假設(shè)直線假設(shè)直線ll平面平面,那么直線那么直線l l與平面與平面內(nèi)的直線什么關(guān)系內(nèi)的直線什么關(guān)系? ?答案答案: :垂直垂直. .思考思考3:3:如果兩條平行線中的一條垂

4、直于一個平面如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面, ,那么另一條也垂直于那么另一條也垂直于這個平面嗎這個平面嗎? ?答案答案: :垂直垂直. .2.2.直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理文字語言文字語言圖形語言圖形語言符號語言符號語言一條直線與一個平面內(nèi)一條直線與一個平面內(nèi)的的 都都垂直垂直, ,則該直線與此平面則該直線與此平面垂直垂直ll lalbab兩條相交直線兩條相交直線abP3.3.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)(1)定義定義: :平面的一條斜線和它在平面上的平面的一條斜線和它在平面上的 所成的所成的 , ,叫做這叫做這條直線和這個平面所成的角條直線和這個平面

5、所成的角. .如圖如圖, , 就是斜線就是斜線APAP與平面與平面所成的角所成的角. .(2)(2)當(dāng)直線當(dāng)直線APAP與平面垂直時與平面垂直時, ,它們所成的角是它們所成的角是9090. .(3)(3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時, ,它們所成的角是它們所成的角是 . .(4)(4)線面角線面角的范圍的范圍: : . .銳角銳角PAOPAO射影射影0 0 0 09090 名師點津名師點津(1)(1)直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形. .注意定義中注意定義中“任意一條直線與任意一

6、條直線與“所有直線等同但不可說成所有直線等同但不可說成“無無數(shù)條數(shù)條 直線直線. .(2)(2)判定定理判定定理定理中的定理中的“兩條相交直線是關(guān)鍵性詞語兩條相交直線是關(guān)鍵性詞語, ,此處強調(diào)此處強調(diào)“相交相交, ,假設(shè)兩假設(shè)兩條直線平行條直線平行, ,那么直線與平面不一定垂直那么直線與平面不一定垂直. .(3)(3)直線與平面所成的角直線與平面所成的角把握定義應(yīng)注意兩點把握定義應(yīng)注意兩點: :斜線上不同于斜足的點斜線上不同于斜足的點P P的選取是任意的的選取是任意的; ;斜斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段. .課堂探究課堂

7、探究素養(yǎng)提升素養(yǎng)提升題型一線面垂直的概念與定理的理解題型一線面垂直的概念與定理的理解 例例11以下說法中正確的個數(shù)是以下說法中正確的個數(shù)是( () )如果直線如果直線l l與平面與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直內(nèi)的兩條相交直線都垂直, ,那么那么l;l;如果直線如果直線l l與平面與平面內(nèi)的任意一條直線垂直內(nèi)的任意一條直線垂直, ,那么那么l;l;如果直線如果直線l l不垂直于不垂直于,那么那么內(nèi)沒有與內(nèi)沒有與l l垂直的直線垂直的直線; ;如果直線如果直線l l不垂直于不垂直于,那么那么內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l l垂直垂直. .(A)0 (A)0 (B)1 (B)1 (C)

8、2 (C)2 (D)3(D)3解析解析: :由直線和平面垂直的判定定理知正確由直線和平面垂直的判定定理知正確; ;由直線與平面垂直的定由直線與平面垂直的定義知義知, ,正確正確; ;當(dāng)當(dāng)l l與與不垂直時不垂直時,l,l可能與可能與內(nèi)的無數(shù)條直線垂直內(nèi)的無數(shù)條直線垂直, ,故故不正確不正確; ;正確正確. .應(yīng)選應(yīng)選D.D.方法技巧方法技巧(1)(1)直線和平面垂直的定義是描述性定義直線和平面垂直的定義是描述性定義, ,對直線的任意性要注意理對直線的任意性要注意理解解. .實際上實際上,“,“任何一條與任何一條與“所有表達(dá)一樣的含義所有表達(dá)一樣的含義. .當(dāng)直線與平面當(dāng)直線與平面垂直時垂直時,

9、 ,該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線該直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線. .由此可知由此可知, ,如果一條如果一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直, ,那么這條直線就一定不與這個那么這條直線就一定不與這個平面垂直平面垂直. .(2)(2)由定義可得線面垂直由定義可得線面垂直線線垂直線線垂直, ,即假設(shè)即假設(shè)a,ba,b,那么那么ab.ab.解析解析: :因為因為OAOB,OAOC,OBOC=O,OB,OCOAOB,OAOC,OBOC=O,OB,OC平面平面OBC,OBC,所以所以O(shè)AOA平面平面OBC.OBC.應(yīng)選應(yīng)選C.C.即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練1-1:1-1:假

10、設(shè)三條直線假設(shè)三條直線OA,OB,OCOA,OB,OC兩兩垂直兩兩垂直, ,那么直線那么直線OAOA垂直于垂直于( () )(A)(A)平面平面OABOAB(B)(B)平面平面OACOAC(C)(C)平面平面OBCOBC(D)(D)平面平面ABCABC題型二直線與平面垂直的判定題型二直線與平面垂直的判定 例例22(12(12分分) )在三棱錐在三棱錐P-ABCP-ABC中中,H,H為為ABCABC的垂心的垂心,APBC,PCAB,APBC,PCAB,求證求證: : PHPH平面平面ABC.ABC.標(biāo)準(zhǔn)解答標(biāo)準(zhǔn)解答: :如圖如圖, ,連接連接AH,AH,因為因為H H為為ABCABC的垂心的垂心

11、, ,所以所以AHBC, 2AHBC, 2分分又又APBC,AHAP=A,APBC,AHAP=A,所以所以BCBC平面平面AHP, 4AHP, 4分分又又PHPH平面平面AHP,AHP,所以所以PHBC. 6PHBC. 6分分同理可證同理可證PHAB, 8PHAB, 8分分又又ABBC=B,ABBC=B,所以所以PHPH平面平面ABC. 12ABC. 12分分一題多變一題多變: :在三棱錐在三棱錐P-ABCP-ABC中中,H,H為為ABCABC的垂心的垂心, ,且且PHPH平面平面ABC,ABC,求求證證:ABPC,BCAP.:ABPC,BCAP.證明證明: :如圖如圖, ,連接連接AH,AH

12、,因為因為H H為為ABCABC的垂心的垂心, ,所以所以AHBC,AHBC,又又PHPH平面平面ABC,ABC,所以所以PHBC,PHBC,又又PHAH=H,PHAH=H,所以所以BCBC平面平面PAH,PAH,所以所以BCAP,BCAP,同理可證同理可證ABPC.ABPC.方法技巧方法技巧證線面垂直的方法證線面垂直的方法(1)(1)線線垂直證明線面垂直線線垂直證明線面垂直: :定義法定義法( (不常用不常用, ,但由線面垂直可得出線但由線面垂直可得出線線垂直線垂直););判定定理判定定理( (最常用最常用, ,要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線( (有有時作輔助線

13、時作輔助線););結(jié)合平面圖形的性質(zhì)結(jié)合平面圖形的性質(zhì)( (如勾股定理逆定理、等腰三角形如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等底邊中線等) )及一條直線與平行線中的一條垂直也與另一條垂直等結(jié)及一條直線與平行線中的一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來論證線線垂直論來論證線線垂直).).(2)(2)平行轉(zhuǎn)化法平行轉(zhuǎn)化法( (利用推論利用推論) )ab,aab,ab;b;,a,aa.a. 備用例備用例1 1 1.(20211.(2021山東青州市高一期末山東青州市高一期末) )如圖如圖,PA,PA垂直于矩形垂直于矩形ABCDABCD所在的平面所在的平面,M,N,M,N分別是分別是AB,PCAB,PC的中點

14、的中點, ,假設(shè)假設(shè)PDA=45PDA=45, , (1)(1)求證求證:MN:MN平面平面PAD; PAD; (2)(2)求證求證:MN:MN平面平面PCD.PCD.證明證明: :(2)(2)因為因為PAPA平面平面ABCD,PDA=45ABCD,PDA=45, ,所以所以PADPAD為等腰直角三角形為等腰直角三角形, ,所以所以AEPD,AEPD,又因為又因為CDAD,CDPA,ADPA=A,CDAD,CDPA,ADPA=A,所以所以CDCD平面平面PAD,PAD,因為因為AEAE平面平面PAD,PAD,所以所以CDAE,CDAE,又又CDPD=D,CDPD=D,所以所以AEAE平面平面P

15、CD,PCD,所以所以MNMN平面平面PCD.PCD.2.(20212.(2021四川廣安高一期末四川廣安高一期末) )如圖如圖, ,在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中, ,求證求證: :(1)AC(1)AC平面平面A1C1D;A1C1D;證明證明: :(1)(1)因為在正方體因為在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1 CC CC1 1, ,所以四邊形所以四邊形AAAA1 1C C1 1C C為平行四邊形為平行四邊形, ,所以所以ACAACA1 1C C1 1, ,又又ACAC 平面平面A A1

16、 1C C1 1D,AD,A1 1C C1 1平面平面A A1 1C C1 1D,D,所以所以ACAC平面平面A A1 1C C1 1D.D.(2)BD(2)BD1 1平面平面A A1 1C C1 1D.D.證明證明: :(2)(2)連接連接B B1 1D D1 1,BD,BD,在正方形在正方形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,A,A1 1C C1 1BB1 1D D1 1, , 因為在正方體因為在正方體ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,BB,BB1 1平面平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1, ,所以所以BBBB1

17、 1AA1 1C C1 1, ,又又A A1 1C C1 1BB1 1D D1 1,B,B1 1D D1 1BBBB1 1=B=B1 1, ,所以所以A A1 1C C1 1平面平面BBBB1 1D D1 1D,D,所以所以A A1 1C C1 1BDBD1 1, ,連接連接ADAD1 1, ,同理可證同理可證A A1 1DBDDBD1 1, ,又又A A1 1C C1 1BDBD1 1, ,A A1 1C C1 1AA1 1D=AD=A1 1, ,所以所以BDBD1 1平面平面A A1 1C C1 1D.D.題型三直線與平面所成的角題型三直線與平面所成的角 例例33在正方體在正方體ABCD-

18、AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,(1)(1)求直線求直線A A1 1C C與平面與平面ABCDABCD所成角的正切值所成角的正切值; ;(2)(2)求直線求直線A A1 1B B與平面與平面BDDBDD1 1B B1 1所成的角所成的角. .方法技巧方法技巧求斜線與平面所成角的步驟求斜線與平面所成角的步驟(1)(1)作圖作圖: :作作( (或找或找) )出斜線在平面內(nèi)的射影出斜線在平面內(nèi)的射影, ,作射影要過斜線上一點作作射影要過斜線上一點作平面的垂線平面的垂線, ,再過垂足和斜足作直線再過垂足和斜足作直線, ,注意斜線上點的選取以及垂足注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中量有關(guān)的位置要與問題中量有關(guān), ,才能便于計算才能便于計算. .(2)(2)證明證明: :證明某平面角就是斜線與平面所成的角證明某平面角就是斜線與平面所成的角. .(3)(3)計算計算: :通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算. . 備用例備用例22如圖在三棱錐如圖在三棱錐P-ABCP-ABC中中,PA=PB=PC=13,ABC =90,PA=PB=PC=13,ABC =90,AB=8, ,AB=8, BC=6,MBC=6,M為為ACAC