2第2講　平面向量基本定理及坐標表示

1、第 2 講平面向量基本定理及坐標表示1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量 a，有且只有一對實數(shù)1，2，使 a1e12e2其中，不共線的向量 e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a| x21y21(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB(x2x1，y2y1)，|AB| （x2x1）

2、2（y2y1）23平面向量共線的坐標表示設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，abx1y2x2y10導師提醒1理解基底需關注三點(1)基底 e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能作為基底(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一(3)如果對于一組基底 e1，e2，有 a1e12e21e12e2，則可以得到11，22.2應用共線向量定理應注意兩點(1)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件不能表示成x1x2y1y2，因為 x2，y2有可能等于 0，應表示為 x1y2x2y10.(2)判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后按兩向量共線進行判定3

3、牢記兩個結論(1)已知 P 為線段 AB 的中點，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 P 點坐標為x1x22，y1y22.(2)已知ABC 的頂點 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC 的重心 G 的坐標為x1x2x33，y1y2y33.判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)若 a，b 不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(4)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件可表示成x1x2y1y

4、2.()答案：(1)(2)(3)(4)(教材習題改編)下列哪組向量可以作為平面向量的一組基底()Ae1(2，4)，e2(1，2)Be1(4，3)，e2(3，8)Ce1(2，3)，e2(2，3)De1(3，0)，e2(4，0)解析：選 B.對于 A，e12e2，對于 C，e1e2，對于 D，e134e2，對于 B，不存在R，使 e1e2，故選 B.已知點 A(0，1)，B(3，2)，向量AC(4，3)，則向量BC()A(7，4)B(7，4)C(1，4)D(1，4)解析：選 A.法一：設 C(x，y)，則AC(x，y1)(4，3)，所以x4，y2，從而BC(4，2)(3，2)(7，4)故選 A.法

5、二：AB(3，2)(0，1)(3，1)，BCACAB(4，3)(3，1)(7，4)故選 A.若向量 a(2，1)，b(1，2)，c0，52 ，則 c 可用向量 a，b 表示為()Ac12abBc12abCc32a12bDc32a12b解析：選 A.設 cxayb，則0，52 (2xy，x2y)，所以2xy0，x2y52，解得x12，y1，則c12ab.(教材習題改編)向量 a，b 滿足 ab(1，5)，ab(5，3)，則 b_解析：由 ab(1，5)，ab(5，3)，得 2b(1，5)(5，3)(6，8)，所以 b12(6，8)(3，4)答案：(3，4)(教材習題改編)已知 A(2，3)，B(

6、2，1)，C(1，4)，D(7，t)，若AB與CD共線，則 t_解析：AB(2，1)(2，3)(4，4)，CD(7，t)(1，4)(8，t4)因為AB與CD共線，所以 4(t4)4(8)0.即 4t160，所以 t4.答案：4平面向量基本定理的應用(師生共研)(1)(一題多解)(2019鄭州模擬)如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB2AD2DC，E為 BC 邊上一點，BC3EC，F(xiàn) 為 AE 的中點，則BF()A.23AB13ADB.13AB23ADC23AB13ADD13AB23AD(2)在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N 分別為 CD，BC 的中點若ABAMAN，則_【解析

7、】(1)法一：如圖，取 AB 的中點 G，連接 DG，CG，則易知四邊形 DCBG 為平行四邊形，所以BCGDADAGAD12AB，所以AEABBEAB23BCAB23AD12AB23AB23AD，于是BFAFAB12AEAB1223AB23ADAB23AB13AD，故選 C.法二：BFBAAFBA12AEAB12AD12ABCEAB12AD12AB13CBAB12AD14AB16(CDDAAB)23AB13AD.(2)因為ABANNBANCNAN(CAAN)2ANCMMA2AN14ABAM，所以AB85AN45AM，所以45，85，所以45.【答案】(1)C(2)45平面向量基本定理應用的實

8、質和一般思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決提醒在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便另外，要熟練運用平面幾何的一些性質定理1在ABC 中，點 P 是 AB 上一點，且CP23CA13CB，Q 是 BC 的中點，AQ 與 CP的交點為 M，又CMtCP，則實數(shù) t 的值為_解析：因為CP23CA13CB，所以 3CP2CACB，即 2CP2CACBCP，所以 2APPB.即 P 為 AB 的一個三

9、等分點(靠近 A 點)，又因為 A，M，Q 三點共線，設AMAQ.所以CMAMACAQAC12AB12ACAC2AB22AC，又CMtCPt(APAC)t13ABACt3ABtAC.故2t3，22t，解得t34，12.故 t 的值是34.答案：342 已知點 A， B 為單位圓 O 上的兩點， 點 P 為單位圓 O 所在平面內的一點， 且OA與OB不共線(1)在OAB 中，點 P 在 AB 上，且AP2PB，若APrOBsOA，求 rs 的值；(2)已知點 P 滿足OPmOAOB(m 為常數(shù))， 若四邊形 OABP 為平行四邊形， 求 m 的值解：(1)因為AP2PB，所以AP23AB，所以A

10、P23(OBOA)23OB23OA，又因為APrOBsOA，所以 r23，s23，所以 rs0.(2)因為四邊形 OABP 為平行四邊形，所以OBOPOA，又因為OPmOAOB，所以OBOB(m1)OA，依題意OA，OB是非零向量且不共線，所以 m10，解得 m1.平面向量的坐標運算(多維探究)角度一已知向量的坐標進行坐標運算(1)已知向量 a(5， 2)， b(4， 3)， c(x， y)， 若 3a2bc0， 則 c()A(23，12)B(23，12)C(7，0)D(7，0)(2)平面直角坐標系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|OC|2，若OCOAO

11、B，則實數(shù)的值為_【解析】(1)3a2bc(23x，12y)0，故 x23，y12，故選 A.(2)因為|OC|2，所以|OC|21c24，因為 c0，所以 c 3.因為OCOAOB，所以(1， 3)(1，0)(0，1)，所以1， 3，所以 31.【答案】(1)A(2) 31角度二解析法(坐標法)在向量中的應用(1)向量 a，b，c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若 cab(，R)，則_(2)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切的圓上若APABAD，則的最大值為_【解析】(1)以向量 a 和 b 的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正

12、方形邊長為 1)，則 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以 aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)因為 cab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，即61，23，解得2，12，所以4.(2)以 A 為坐標原點，AB，AD 所在直線分別為 x，y 軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則 A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直線 BD的方程為 2xy20，點 C 到直線 BD 的距離為2122225，圓 C：(x1)2(y2)245， 因為 P 在圓 C 上， 所以 P(12 55cos， 22 55sin)，AB(1，0)，AD(0，2)，APABAD

13、(，2)，所以12 55cos，22 55sin2，22 55cos55sin2sin()3，tan2.【答案】(1)4(2)3(1)向量坐標運算的策略向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行；若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標；解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則(2)向量問題坐標化當題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標系(如矩形、等腰三角形等)時，可建立平面直角坐標系，將向量坐標化，將向量問題轉化為代數(shù)問題，更便于計算求解1已知平行四邊形 ABCD 中，AD(3，7)，AB(2，3)，對角線 AC 與 BD 交于點 O，則CO的坐標為()A.12，

14、5B.12，5C.12，5D.12，5解析：選 D.因為ACABAD(2，3)(3，7)(1，10)，所以OC12AC12，5，所以CO12，5.2.給定兩個長度為 1 的平面向量OA和OB，它們的夾角為23.如圖所示，點 C 在以 O 為圓心的圓弧AB上運動若OCxOAyOB，其中 x，yR，求 xy 的最大值解：以 O 為坐標原點，OA所在的直線為 x 軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則 A(1，0)，B12，32 ，設AOC0，23，則 C(cos，sin)，由OCxOAyOB，得cosx12y，sin32y，所以 xcos33sin，y2 33sin，所以 xycos 3sin2sin

15、6 ，又0，23，所以66，56，所以 sin6 12，1，故 xy 的最大值為 2.平面向量共線的坐標表示(多維探究)角度一利用兩向量共線求參數(shù)或坐標(1)(2019開封模擬)已知平面向量 a，b，c，a(1，1)，b(2，3)，c(2，k)，若(ab)c，則實數(shù) k_(2)已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB，三個頂點 A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點 D 的坐標為_【解析】(1)由題意，得 ab(1，4)，由(ab)c，得 1k4(2)，解得 k8.(2)因為在梯形 ABCD 中，ABCD，DC2AB，所以DC2AB.設點 D 的坐標為(x，y)，則DC(4，

16、2)(x，y)(4x，2y)，AB(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以4x2，2y2，解得x2，y4，故點 D 的坐標為(2，4)【答案】(1)8(2)(2，4)角度二利用向量共線求解三點共線問題已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三點共線，則 k 的值是()A23B.43C.12D.13【解析】ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(2k，2)因為 A，B，C三點共線，所以AB，AC共線，所以2(4k)7(2k)，解得 k23.【答案】A(1)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：若 a(x1，

17、y1)，b(x2，y2)，則 ab 的充要條件是 x1y2x2y10；已知 b0，則 ab 的充要條件是 ab(R)(2)利用向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)當兩向量的坐標均為非零實數(shù)時，也可以利用坐標對應成比例來求解1(2018高考全國卷)已知向量 a(1，2)，b(2，2)，c(1，)若 c(2ab)，則_解析：2ab(4，2)，因為 c(1，)，且 c(2ab)，所以 124，即12.答案：122已知 a(1，0)，b(2，1)(1)當 k 為何值時，kab 與 a2b 共線？(2)若AB2a3b，BCamb 且 A，B，C 三點共線，求 m 的值解：(1)ka

18、bk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因為 kab 與 a2b 共線，所以 2(k2)(1)50，即 2k450，得 k12.(2)法一：因為 A，B，C 三點共線，所以ABBC，即 2a3b(amb)，所以23m，解得 m32.法二：AB2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，BCamb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因為 A，B，C 三點共線，所以ABBC.所以 8m3(2m1)0，即 2m30，所以 m32.坐標法解決平面向量問題如圖 2， “六芒星”是由兩個全等正三角形組成，中心重合于點 O 且三組對邊分別平行 點 A， B 是“六芒星”(

19、如圖 1)的兩個頂點， 動點 P 在“六芒星”上(內部以及邊界)，若OPxOAyOB，則 xy 的取值范圍是()A4，4B 21， 21C5，5D6，6【解析】如圖建立平面直角坐標系，以 x，y 軸正方向作為一組基底向量 i，j，令正三角形邊長為 3，則OBi，OA32i32j，可得 iOB，則 j2 33OA 3 OB，由圖知當 P 在 C 點時有，OP 3j2OA3OB，此時 xy 有最大值 5，同理點 P 在與 C 相對的下頂點時有OP 3j2OA3OB，此時 xy 有最小值5.【答案】C解決幾何圖形問題時， 可以先建立適當?shù)淖鴺讼祵D形坐標化， 再運用數(shù)學運算解決相關問題在平面向量中，

20、向量的坐標運算就是這一思想的具體應用如圖，在正方形 ABCD 中，P 為 DC 邊上的動點，設向量ACDBAP，則的最大值為_解析：以 A 為原點，以 AB，AD 所在直線分別為 x，y 軸建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為 2，則 B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(x，2)，x0，2所以AC(2，2)，DB(2，2)，AP(x，2)因為ACDBAP，所以2x2，222，所以2x2x，42x，所以6x2x.令 f(x)6x2x(0 x2)，因為 f(x)在0，2上單調遞減，所以 f(x)maxf(0)3.答案：3基礎題組練1 在平面直角坐標系中， 已知向量 a(1，2)， a12

21、b(3， 1)， c(x， 3)， 若(2ab)c，則 x()A2B4C3D1解析：選 D.因為 a12b(3，1)，所以 a(3，1)12b，則 b(4，2)所以 2ab(2，6)又(2ab)c，所以66x，x1.故選 D.2.已知向量AC， AD和AB在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若ACABAD，則等于()A2B2C3D3解析：選 A.如圖所示，建立平面直角坐標系，則AD(1，0)，AC(2，2)，AB(1，2)因為ACABAD，所以(2，2)(1，2)(1，0)(，2)，所以2，22，解得1，3，所以2.故選 A.3在平行四邊形 ABCD 中，E 是 CD 的中點，F(xiàn) 是 BE

22、 的中點，若AFmABnAD，則()Am34，n12Bm14，n34Cm12，n12Dm12，n34解析：選 A.在平行四邊形 ABCD 中，E 是 CD 的中點，F(xiàn) 是 BE 的中點，則AE12ABAD，AF12AE12AB，故AF1212ABAD12AB，34AB12AD.由于AFmABnAD，所以 m34，n12.故選 A.4已知平面直角坐標系內的兩個向量 a(m，3m4)，b(1，2)，且平面內的任一向量 c 都可以唯一地表示成 cab(，為實數(shù))，則 m 的取值范圍是()A(，4)B(4，)C(，4)(4，)D(，)解析：選 C.平面內的任意向量 c 都可以唯一地表示成 cab，由平

23、面向量基本定理可知，向量 a，b 可作為該平面所有向量的一組基底，即向量 a，b 是不共線向量又因為 a(m，3m4)，b(1，2)，則 m2(3m4)10，即 m4，所以 m 的取值范圍為(，4)(4，)5在平面直角坐標系 xOy 中，已知 A(1，0)，B(0，1)，C 為坐標平面內第一象限內的點，且AOC4，|OC|2，若OCOAOB，則()A2 2B. 2C2D4 2解析：選 A.因為|OC|2，AOC4，所以 C( 2， 2)，又因為OCOAOB，所以( 2， 2)(1，0)(0，1)(，)，所以 2，2 2.6在平行四邊形 ABCD 中，AC 為一條對角線，若AB(2，4)，AC(

24、1，3)，則BD_解析：由題意得BDADABBCAB(ACAB)ABAC2AB(1，3)2(2，4)(3，5)答案：(3，5)7(2019昆明市診斷測試)已知 O 為坐標原點，向量OA(1，2)，OB(2，1)，若2APAB，則|OP|_.解析：設 P 點坐標為(x，y)，ABOBOA(2，1)(1，2)(3，3)，AP(x1，y2)，由 2APAB得，2(x1，y2)(3，3)，所以2x232y43，解得x12y12，故|OP|141422.答案：228已知 A(3，0)，B(0， 3)，O 為坐標原點，C 在第二象限，且AOC30，OCOAOB，則實數(shù)的值為_解析：由題意知OA(3，0)，

25、OB(0， 3)，則OC(3， 3)，由AOC30知， 以 x 軸的非負半軸為始邊， OC 為終邊的一個角為 150， 所以 tan 15033，即3333，所以1，答案：19已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)設ABa，BCb，CAc，且CM3c，CN2b.(1)求 3ab3c；(2)求滿足 ambnc 的實數(shù) m，n；(3)求 M，N 的坐標及向量MN的坐標解：由已知得 a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因為 mbnc(6mn，3m8n)，所以6mn5，3m8n5，解得m1，n1.(

26、3)設 O 為坐標原點，因為CMOMOC3c，所以OM3cOC(3，24)(3，4)(0，20)所以 M(0，20)又因為CNONOC2b，所以ON2bOC(12，6)(3，4)(9，2)，所以 N(9，2)所以MN(9，18)10如圖，AB 是圓 O 的直徑，C，D 是圓 O 上的點，CBA60，ABD45，CDxOAyBC，求 xy 的值解： 不妨設O 的半徑為 1， 則 A(1， 0)， B(1， 0)， D(0， 1)， C12，32 .所以CD12，132 ，BC12，32 .又CDxOAyBC，所以12，132 x(1，0)y12，32 .所以12x12y13232y，解之得x3

27、33y32 33，所以 xy3 3332 3333.綜合題組練1(創(chuàng)新型)若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(x，y)為向量在基底，下的坐標，現(xiàn)已知向量 a 在基底 p(1，1)，q(2，1)下的坐標為(2，2)，則 a 在另一組基底 m(1，1)，n(1，2)下的坐標為()A(2，0)B(0，2)C(2，0)D(0，2)解析：選 D.因為 a 在基底 p，q 下的坐標為(2，2)，即 a2p2q(2，4)，令 axmyn(xy，x2y)，所以xy2，x2y4，即x0，y2.所以 a 在基底 m，n 下的坐標為(0，2)2 ( 創(chuàng) 新 型 ) 已 知P a|a（1，0）m（0，1） ，

28、mR， Q b|b（1，1）n（1，1） ，nR是兩個向量集合，則 PQ 等于()A.（1，1）B.（1，1）C.（1，0）D.（0，1）解析：選 A.設 a(x，y)，則 P(x，y)|x1，,ym，mR)，所以集合 P 是直線 x1 上的點的集合同理，集合 Q 是直線 xy2 上的點的集合，即 P（x，y）|x1，yR，Q（x，y）|xy20，所以 PQ（1，1）.故選 A.3(應用型)已知非零不共線向量OA， OB，若 2OPxOAyOB，且PAAB(R)，則點 Q(x，y)的軌跡方程是()Axy20B2xy10Cx2y20D2xy20解析：選 A.由PAAB，得OAOP(OBOA)，即OP(1)OAOB.又 2OPxOAyOB，所以x22，y2，消去得 xy20，故選 A.4.如圖，A，B，C 是圓 O 上的三點，CO 的延長線與線段 BA 的延長線交于圓 O 外一點 D，若OCmOAnOB，則 mn 的取值范圍是_解析：由點 D