二次函數(shù)與一元二次方程及不等式

1、二次函數(shù)與一元二次方程及不等式一，二次方程基礎(chǔ)概念當(dāng)中，時(shí)，即得到二次方程 其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)1 根的判別式0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛的虛數(shù)根2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） 二次方程根的分布根的位置<=>圖象位置<=>等價(jià)條件（） 三、一元二次不等式一元二次不等式（或0）的解集，即函數(shù)的自變量的取值范圍，使其函數(shù)值（或0）的自變量的取值范圍 =b24ac 0 =0 0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根 無(wú)實(shí)數(shù)根一元二次不

2、等式ax2+bx+c0(a0)的解集或（） x為全體實(shí)數(shù)一元二次不等ax2+bx+c0(a0)的解集 （）無(wú)解無(wú)解1， 例題：0x選擇題 對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有，那么（ A ）A B CD 已知在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ B ）ABC且D或 已知函數(shù)ylog（x26x7），則y（ D ）A有最大值沒(méi)有最小值B有最小值沒(méi)有最大值C有最大值也有最小值D沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值填空題方程有且僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解：令， 則，其函數(shù)圖象如下：關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，則的最小值是_解：方程有實(shí)數(shù)根，故或 又 或 （a3時(shí)取等號(hào)） 應(yīng)用題：1. 已知函數(shù)的圖象與x

3、軸無(wú)交點(diǎn)，求關(guān)于x的方程的根的范圍解：的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，所以解得：2.5a3（1）當(dāng)a（2.5，1時(shí)，方程化為 x（a3）（2a） a2a6（2）當(dāng)a（1，3）時(shí)，方程化為x（a3）aa23a（4，18）綜上所述：x（，18）2. 設(shè)a，b為實(shí)常數(shù)，k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)y（k2k1）x22（ak）2x（k23akb）的圖象與x軸都交于點(diǎn)A（1，0）（1）求a、b的值；（2） 若函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，當(dāng)k變化時(shí)，求|AB|的最大值解：a1，b1y（k2k1）x22（k1）2x（k23k1）|AB|的最大值為23. 設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范圍

4、解：1a94. 設(shè)二次函數(shù)（a0），方程的兩個(gè)根滿足（1）當(dāng)x（0，）時(shí)，證明x；（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明：解（2）依題意知x0因?yàn)閤1，x2是方程f（x）x0的根，即x1，x2是方程ax2（b1）xc0的根，所以 x1x2 x0因?yàn)椋?. 若關(guān)于x的二次方程7x2（p13）xp2p20的兩根滿足012求實(shí)數(shù)p的取值范圍解：設(shè)f（x）7x2（p13）xp2p2根據(jù)題意得：即 解得：p（2，1）（3，4）6. 已知二次函數(shù)y=x2（2m+4）x+m24（x為自變量）的圖像與y軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，且A，B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離AO，OB滿足3（OB

5、AO）=2AO·OB，直線y=kx+k與這個(gè)二次函數(shù)圖像的一個(gè)交點(diǎn)為P，且銳角POB的正切值4 （1）求m的取值范圍； （2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式； （3）確定直線y=kx+k的解析式解 （1）m24<0， 2<m<2 （2）二次函數(shù)的解析式為y=x22x3 （3）由y=x22x3，得A（1，0），B（3，0） 強(qiáng)化訓(xùn)練 一、填空題1與拋物線y=2x22x4關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像表示的函數(shù)關(guān)系式是_y=2x2+2x+4_2已知二次函數(shù)y=（a1）x2+2ax+3a2的圖像最低點(diǎn)在x軸上，那么a=_2_，此時(shí)函數(shù)的解析式為_(kāi)y=x2+4x+4 _3某涵洞的截面是拋物線型

6、，如圖1所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=x2，當(dāng)涵洞水面寬AB為12m時(shí)，水面到橋拱頂點(diǎn)O的距離為_(kāi)9_m 圖1 圖24甲，乙兩人進(jìn)行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點(diǎn)為P，羽毛球飛行的水平距離s（m）與其距地面高度h（m）之間的關(guān)系式為h=s2+s+如圖2，已知球網(wǎng)AB距原點(diǎn)5m，乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為m，設(shè)乙的起跳點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是_5<m<4+_5若拋物線y=x2與直線y=x+m只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為_(kāi)6設(shè)拋物線y=x2+（2a+1）x+2a+的圖像與x軸

7、只有一個(gè)交點(diǎn)，則a18+323a6的值為_(kāi)5796_7已知直線y=2x+3與拋物線y=x2相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么OAB的面積等于_6_8（2008，安徽）圖3為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像，在下列說(shuō)法中： ab<0；方程ax2+bx+c=0的根是x1=1，x2=3；a+b+c>0；當(dāng)x>1時(shí)，y隨著x的增大而增大正確的說(shuō)法有_（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)） 圖3 圖4 圖5二、選擇題9小敏在某次投籃球中，球的運(yùn)動(dòng)路線是拋物線y=x2+3.5的一部分（圖4），若命中籃圈中心，則他與籃底的距離是（ B ） A3.5m B4m C4.5m D4.6m10當(dāng)m在可以

8、取值范圍內(nèi)取不同的值時(shí)，代數(shù)的最小值是（ B ） A0 B5 C3 D911二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖5所示，則下列結(jié)論：a>0，c>0，b24ac>0，其中正確的個(gè)數(shù)是（ C ） A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)12拋物線y=x2+（2m1）x+m2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（ C ） Am> Bm> Cm< Dm<13根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的一個(gè)解x的范圍是（ C ）x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c0.030

9、.010.020.04 A6<x<6.17 B6.17<x<6.18 C6.18<x<6.19 D6.19<x<6.2014 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像的頂點(diǎn)在第一象限且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）和（1，0），則S=a+b+c的值的變化范圍是（A ） A0<S<2 B0<S<1 C1<S<2 D1<S<115二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的最大值是零，那么代數(shù)式a+的化簡(jiǎn)結(jié)果是（ B ） Aa Ba C D016（2006，甘肅蘭州）已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動(dòng)，把x軸，

10、y軸分別向上，向右平移2個(gè)單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（ B ） Ay=2（x2）2+2 By=2（x+2）22 Cy=2（x2）22 Dy=2（x+2）2+2三、解答題17（2006，吉林?。┤鐖D，三孔橋橫截面的三個(gè)孔都呈拋物線形，兩小孔形狀，大小都相同正常水位時(shí)，大孔水面寬度AB=20m，頂點(diǎn)M距水面6m（即MO=6m），小孔頂點(diǎn)N距水面4.5m（即NC=4.5m）當(dāng)水位上漲剛好淹沒(méi)小孔時(shí)，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時(shí)大孔的水面寬度EF 設(shè)拋物線解析式為y=ax2+6，依題意得，B（10，0） a×102+6=0，解得a=0.06即y=0.06x2+6， 當(dāng)y=4.5時(shí)

11、，0.06x2+6=4.5，解得x=±5， DF=5，EF=10，即水面寬度為10m18（2008，安徽）雜技團(tuán)進(jìn)行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點(diǎn)）的路線是拋物線y=x2+3x+1的一部分，如圖所示 （1）求演員彈跳離地面的最大高度；（2）已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，人梯到起跳點(diǎn)A的水平距離是4m，問(wèn)這次表演是否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由（1）y=x2+3x+1=（x）2+ <0，函數(shù)的最大值是 答：演員彈跳離地面的最大高度是m （2）當(dāng)x=4時(shí)，y=×42+3×4+1=3.4=BC，所以這次表演成功19（2006，

12、沈陽(yáng)市）某企業(yè)信息部進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)： 信息一：如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)yA（萬(wàn)元）與投資金額x（萬(wàn)元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx，并且當(dāng)投資5萬(wàn)元時(shí)，可獲利潤(rùn)2萬(wàn)元； 信息二：如果單獨(dú)投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤(rùn)yB（萬(wàn)元）與投資金額x（萬(wàn)元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx，并且當(dāng)投資2萬(wàn)元時(shí)，可獲利潤(rùn)2.4萬(wàn)元；當(dāng)投資4萬(wàn)元時(shí)，可獲得3.2萬(wàn)元 （1）請(qǐng)分別求出上述的正比例函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式；（2）如果企業(yè)同時(shí)對(duì)A，B兩種產(chǎn)品共投資10萬(wàn)元請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)能獲得最大利潤(rùn)的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤(rùn)是多少 解 （1）當(dāng)x=5時(shí)，yA=2，2=5k，k=

13、0.4yA=0.4x，當(dāng)x=2時(shí)，yB=2.4； 當(dāng)x=4時(shí)，yB=3.2 解得 yB=0.2x2+1.6x （2）設(shè)投資B種商品x萬(wàn)元，則投資A種商品（10x）萬(wàn)元，獲得利潤(rùn)W萬(wàn)元，根據(jù)題意可得W=0.2x2+1.6x+0.4（10x）=0.2x2+1.2x+4 W=0.2（x3）2+5.8 當(dāng)投資B種商品3萬(wàn)元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)5.8萬(wàn)元 所以投資A種商品7萬(wàn)元，B種商品3萬(wàn)元，這樣投資可以獲得最大利潤(rùn)58萬(wàn)元20（2008，煙臺(tái)）如圖所示，拋物線L1：y=x22x+3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)拋物線L1向右平移2個(gè)單位后得到拋物線L2，L2交x軸于C，D兩點(diǎn) （1）求拋物線L2對(duì)

14、應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式； （2）拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N，使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與點(diǎn)A，B重合），那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上，請(qǐng)說(shuō)明理由（1）令y=0時(shí)，得x22x+3=0，x1=3，x2=1，A（3，0），B（1，0）拋物線L1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線L2，C（1，0），D（3，0） 拋物線L2為y=（x+1）（x3） 即y=x2+2x+3（2）存在如圖所示 令x=0，得y=3，M（0，3）拋物線L2是L1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的， 點(diǎn)N（2，3）

15、在L2上，且MN=2，MNAC 又AC=2，MN=AC四邊形ACNM為平行四邊形同理，L1上的點(diǎn)N（2，3）滿足NMAC，NM=AC， 四邊形ACMN是平行四邊形 N（2，3），N（2，3）即為所求 （3）設(shè)P（x1，y1）是L1上任意一點(diǎn)（y10）， 則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q（x1，y1）， 且y1=x122x1+3， 將點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)代入L2，得yQ=x122x1+3=y1y1 點(diǎn)Q不在拋物線L2上21已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，4），頂點(diǎn)在x軸上，且對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，且OP：PQ=1

16、：3 （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）求PAQ的面積；（3）在線段PQ上是否存在一點(diǎn)D，使APDQPA，若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由（1）拋物線過(guò)（0，4）點(diǎn)c=4，y=ax2+bx+4又OP：PQ=1：3， x1：x2=1：4 由得ax2+（b1）x+4=0， x1，x2是該方程的兩個(gè)根， x1+x2=，x1·x2= 消去x1得25a=（b1）2拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè) >0，<0，又拋物線的頂點(diǎn)在x軸上， b2=16a得a=1，b=4（b=舍去） y=x24x+4（2）如圖所示 SPAQ=SAQO SAPO =×4×x2×4

17、×x1=2（x2x1）=2=2=2=6 （3）存在點(diǎn)D，設(shè)D（m，n）易得P（1，1），Q（4，4）， 由APDQPA得PA2=PQ·PD，運(yùn)用勾股定理得m1=，得m=或- 1<m<4， D（，）22（2005，武漢市）已知二次函數(shù)y=ax2ax+m的圖像交x軸于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，x1<x2，交y軸的負(fù)半軸于C點(diǎn)，且AB=3，tanBACtanABC=1 （1）求此二次函數(shù)的解析式； （2）在第一象限，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使SPAC=6？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； 若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由 解 （1）AB=3，x1<x2，x2x1=3由根與系數(shù)的關(guān)系有x1+x2=1， x1=1，x2=2OA=1，OB=2，x1·x2=2tanBACtanABC=1， OC ：OA OC ：OB =1， OC=2 m=2，a=1 此二次函數(shù)的解析式為y=x2x2 （2）在第一象限，拋物線上存在一點(diǎn)P使SAPC=6解法一：過(guò)點(diǎn)P作直線MNAC交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，連接PA，PC，MC，NA，如圖所示 MNAC， SMAC =SNAC =SPAC =6 由（1）有OA=1，OC=2 ×AM×2=×