頻域?yàn)V波器設(shè)計(jì)(數(shù)字圖像處理實(shí)驗(yàn)報(bào)告)

1、數(shù)字圖像處理作業(yè) 頻域?yàn)V波器設(shè)計(jì) 摘要在圖像處理的過程中,消除圖像的噪聲干擾是一個(gè)非常重要的問題。本文利用matlab軟件,采用頻域?yàn)V波的方式,對(duì)圖像進(jìn)行低通和高通濾波處理。低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量，由于圖像中的邊緣和噪聲都對(duì)應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓；高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量，所以高通濾波可以保留較多的邊緣輪廓信息。本文使用的低通濾波器有巴特沃斯濾波器和高斯濾波器，使用的高通濾波器有巴特沃斯濾波器、高斯濾波器、Laplacian高通濾波器以及Unmask高通濾波器。實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實(shí)際圖像中包

2、含的噪聲情況靈活地選取適當(dāng)?shù)臑V波算法。1、 頻域低通濾波器：設(shè)計(jì)低通濾波器包括 butterworth and Gaussian (選擇合適的半徑，計(jì)算功率譜比),平滑測(cè)試圖像test1和2。實(shí)驗(yàn)原理分析根據(jù)卷積定理，兩個(gè)空間函數(shù)的卷積可以通過計(jì)算兩個(gè)傅立葉變換函數(shù)的乘積的逆變換得到，如果f(x, y)和h(x, y)分別代表圖像與空間濾波器，F(xiàn)(u, v)和H(u, v)分別為響應(yīng)的傅立葉變換（H(u, v)又稱為傳遞函數(shù)），那么我們可以利用卷積定理來進(jìn)行頻域?yàn)V波。在頻域空間，圖像的信息表現(xiàn)為不同頻率分量的組合。如果能讓某個(gè)范圍內(nèi)的分量或某些

3、頻率的分量受到抑制，而讓其他分量不受影響，就可以改變輸出圖的頻率分布，達(dá)到不同的增強(qiáng)目的。頻域空間的增強(qiáng)方法的步驟：（1）將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間；（2）在頻域空間對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)；（3）將增強(qiáng)后的圖像再從頻域空間轉(zhuǎn)換到圖像空間。 低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量。圖像中的邊緣和噪聲都對(duì)應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓。理想低通濾波器具有傳遞函數(shù)： 其中D0為制定的非負(fù)數(shù)，D(u,v)為點(diǎn)(u,v)到濾波器中心的距離。功率譜比的定義： 其中，為濾波前圖像的功率譜，為濾波后圖像的功率譜。頻率計(jì)算公式為：，。 Butterworth

4、濾波器設(shè)計(jì)：理想低通濾波器在數(shù)學(xué)上定義得很清楚，在計(jì)算機(jī)模擬中也可實(shí)現(xiàn)，但在截?cái)囝l率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實(shí)際的電子器件實(shí)現(xiàn)的。n階Butterworth低通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點(diǎn)的距離為 ）定義如下： （1）其中，。 （2）不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截?cái)?。?duì)于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個(gè)截止頻率的位置并使H(u，v)幅度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時(shí)，H（u，v）=0.5（從最大值降到它的50%）。一階的巴特沃斯濾波器沒有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿?，這是因?yàn)榕c理想低通濾波器相比，它的通

5、帶與阻帶之間沒有明顯的跳躍，在高低頻率間的過渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但階數(shù)增高時(shí)振鈴便成為一個(gè)重要因素。本次實(shí)驗(yàn)中設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)了二階巴特沃斯濾波器。根據(jù)以上原理設(shè)計(jì)Butterworth低通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 理想低通濾波器有明顯的振鈴現(xiàn)象，而巴特沃斯濾波器的效果較好。計(jì)算得test1的功率譜比L=0.9939。test2的功率譜比為0.9902。Gaussian濾波器設(shè)計(jì)：二維高斯低通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為： （3）其中，。表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為： （4）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D（u，v）=D0時(shí)，濾波器下降到它最

6、大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說通過式（3）或式（4）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)Gaussian低通濾波器，處理結(jié)果如下： 可見，當(dāng)濾波器的半徑不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，平滑效果越明顯，但半徑過小，會(huì)使得圖像變得模糊不清。計(jì)算得test1（r=5）的功率譜比L= 0.4674。test2（r=5）的功率譜比為L=0.2930。2、 頻域高通濾波器：設(shè)計(jì)高通濾波器包括butterworth and Gaussian，在頻域增強(qiáng)邊緣。選擇半徑和計(jì)算功率譜比，測(cè)試圖像test3,4：實(shí)驗(yàn)原理分析高通濾波是

7、要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量。理想高通濾波器傳遞函數(shù)表示為： Butterworth濾波器設(shè)計(jì)：n階Butterworth高通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點(diǎn)的距離為 ）定義如下： （5）其中， 。 （6）不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截?cái)唷?duì)于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個(gè)截止頻率的位置并使H(u，v)幅度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時(shí)，H（u，v）=0.5（從最大值降到它的50%）。根據(jù)以上原理設(shè)計(jì)Butterworth高通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 計(jì)算得test3的功率譜比為0.0851。test4

8、的功率譜比為0.0547。Gaussian濾波器設(shè)計(jì)：二維高斯高通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為： （7）其中，。表示高斯曲線擴(kuò)展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為： （8）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D（u，v）=D0時(shí)，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說通過式（7）或式（8）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)Gaussian高通濾波器，處理結(jié)果如下： 可見，當(dāng)濾波器的半徑不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，邊緣效果越明顯。 一般圖像中的大部分能量集中在低頻分量里，高通濾波會(huì)將很多低頻分量濾除，導(dǎo)致增強(qiáng)圖中

9、邊緣得到加強(qiáng)但光滑區(qū)域灰度減弱變暗甚至接近黑色。為解決這個(gè)問題，可對(duì)頻域里的高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)加一個(gè)常數(shù)以將一些低頻分量加回去，獲得既保持光滑區(qū)域又改善邊緣區(qū)域?qū)Ρ榷鹊男Ч?。這樣得到的濾波器稱為高頻增強(qiáng)濾波器。 計(jì)算得test3（r=5）的功率譜比L= 0.0591，test4（r=5）的功率譜比為L= 0.4449。3、其他高通濾波器：拉普拉斯和Unmask，對(duì)測(cè)試圖像test3,4濾波；比較并討論空域低通高通濾波（Project3）與頻域低通和高通的關(guān)系；實(shí)驗(yàn)原理分析拉普拉斯高通濾波器 公式表示如下： （9）從這個(gè)簡(jiǎn)單的表達(dá)式可以得到： （10）所以， （11）即頻域的拉普拉斯算子可以有

10、如下濾波器實(shí)現(xiàn)： （12）前提是F(u，v)的原點(diǎn)在進(jìn)行圖像變換之前已通過執(zhí)行運(yùn)算中心化了，使得變換中心（u,v）=(0,0)就是頻率矩形的中點(diǎn)（M/2，N/2）。因此。根據(jù)以上分析，設(shè)計(jì)拉普拉斯算子高通濾波器，處理結(jié)果如下：由于拉普拉斯高通濾波器將原始圖像完全加回到濾波后的結(jié)果中，因此解決了Butterworth濾波器和Gaussian濾波器除去了傅里葉變換的零頻率成分的問題，從而使得濾波后的圖像其背景的平均強(qiáng)度增加、變亮。但同時(shí)引入了噪聲干擾，使得濾波后的圖像有一定程度的失真。Unsharp masking高通濾波器 Unsharp masking高通濾波器模板由以下公式確定： （13）

11、（14） （15）當(dāng)K=1時(shí)，為鈍化模板；K>1時(shí)，為高頻提升濾波器。由以上算法設(shè)計(jì)Unsharp masking高通濾波器，其中使用Butterworth濾波算法實(shí)現(xiàn)，處理結(jié)果如下圖示： 可見，反銳化掩膜后的圖像邊緣信息更加清晰，但同時(shí)帶來了過度銳化的問題，出現(xiàn)了多重輪廓。空域低通高通濾波與頻域低通和高通的關(guān)系： 空域?yàn)V波主要包括平滑濾波和銳化濾波。平滑濾波是要濾除不規(guī)則的噪聲或干擾的影響，從頻域角度看，不規(guī)則噪聲具有較高的頻率，所以可用具有低通能力的頻域?yàn)V波器來濾除。由此可見，空域的平滑濾波對(duì)應(yīng)頻域的低通濾波。銳化濾波是要增強(qiáng)邊緣和輪廓處的強(qiáng)度，從頻域角度看，邊緣和輪廓處都具有較高的

12、頻率，所以可用具有高通能力的頻域?yàn)V波器來增強(qiáng)，由此可見空域的銳化濾波對(duì)應(yīng)頻域的高通濾波。附錄一、 參考文獻(xiàn)1 岡薩雷斯著.數(shù)字圖像處理(第三版).北京：電子工業(yè)出版社，20102 楊杰 李慶著.數(shù)字圖像處理及MATLAB實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)與實(shí)驗(yàn)指導(dǎo).北京：電子工業(yè)出版社，20103 蘇金明 王永利著.MATLAB圖形圖像. 北京：電子工業(yè)出版社，20054 朱習(xí)軍 隋思漣等著.MATLAB在信號(hào)與圖像處理中的應(yīng)用. 北京：電子工業(yè)出版社，20095 百度文庫.，2012/5/206 百度文庫.二、源代碼：頻域低通濾波器1. Butterworth低通濾波器（以處理test1.pgm為例） I= imre

13、ad('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');f=double(I);g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器d0=50;m=fix(M/2); n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m)2+(j-n)2); h1=1/(1+0.41

14、4*(d/d0)(2*nn); % 計(jì)算低通濾波器傳遞函數(shù) result1(i,j)=h1*g(i,j); endendresult1=ifftshift(result1);J2=ifft2(result1);J3=uint8(real(J2);subplot(1,2,2);imshow(J3);title('低通濾波圖test1.pgm'); % 顯示濾波處理后的圖像S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(result1(I,j)2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(

15、I,j)2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比2、Gaussian低通濾波器（以處理test1.pgm為例）I=imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm');subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2(Im);F_result=fftshift(F);g=F_result;m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:m for v

16、=1:n D=sqrt(u-M)2+(v-N)2); H=exp(-D2/(2*r2); F_result(u,v)=F_result(u,v)*H; endendG_result=ifftshift(F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaussian低通濾波后的test1.pgm(r=5)');S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(F_result(i,j)2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S

17、=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比頻域高通濾波器 1、 Butterworth濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I); title('源圖像test3_corrupt.pgm');f=double(I); % 數(shù)據(jù)

18、類型轉(zhuǎn)換，MATLAB不支持圖像的無符號(hào)整型的計(jì)算g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth)高通濾波器d0=5;m=fix(M/2);n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m)2+(j-n)2); if (d=0) h2=0; else h2=1/(1+0.414*(d0/d)(2*nn);% 計(jì)算傳遞函數(shù) endresult2(i,j)=h2*g(i,j);endendresult3=ifftshift(result2);J4=iff

19、t2(result3);J5=uint8(real(J4);subplot(1,2,2);imshow(J5);title('高通濾波圖test3_corrupt.pgm'); % 濾波后圖像顯示S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(result2 (i,j)2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計(jì)算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比2、Gaussian濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I=

20、imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm'); subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2(Im);F_result=fftshift(F);g= F_result；m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:m for v=1:n D=sqrt(u-M)2+(v-N)2); H=1-exp(-D2/(2*r2); F_result(u,v)=F_result(u

21、,v)*H; endendG_result=ifftshift(F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaussian低通濾波后的test3_corrupt.pgm (r=5)');S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(F_result (i,j)2; %計(jì)算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計(jì)算源圖像的功率譜

22、 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計(jì)算功率譜比3、 Laplacian濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test3_corrupt.pgm');f=double(I);g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);m=fix(M/2); n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N H=1+4*pi2*(i-m)2+(j-n)2); % 計(jì)算高通濾波器傳遞函數(shù) result1(i,j)=H*g(i,j); e