§10.4二項式定理公開課教案

1、§10.4二項式定理公開課教案（第一教時） 執(zhí)教：盧明 2002年4月30日一、教學(xué)目標(biāo)1、理解楊輝三角形。其行為樣例是：（1）能用不完全歸納法寫出楊輝三角形；（2）能根據(jù)楊輝三角形對的二項式進(jìn)行展開。2、掌握二項式定理。其行為樣例是：（1）能根據(jù)組合思想及不完全歸納法猜出二項展開式的系數(shù)以及二項展開式的通項；(2)能正確區(qū)分二項式系數(shù)和某一項的系數(shù)；（3）能應(yīng)用定理對任意給定的一個二項式進(jìn)行展開、并求出它特定的項或系數(shù)；（4）逆向應(yīng)用定理去求一類特殊的組合多項式的值。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)：二項式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用。2、難點(diǎn)：二項式定理的發(fā)現(xiàn)。（教具：多媒體課件）通過“

2、余數(shù)問題”設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生的求知欲通過5次以下的二項式展開，探究二項式系數(shù)規(guī)律體驗(yàn)楊輝三角形的局限性探究二項式定理解讀二項式定理定理的簡單運(yùn)用課堂小結(jié)布置作業(yè)三、教學(xué)程序四、教學(xué)過程1、情景設(shè)置，激發(fā)動機(jī)問題1：若今天是星期一，再過30天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：星期三，將問題轉(zhuǎn)化為求“30被7除后算余數(shù)”是多少。問題2：若今天是星期一，再過天后是星期幾？怎么算？預(yù)期回答：將問題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少。師：也就是研究的展開式是什么？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容，學(xué)完本課后，此題就不難求解了。（設(shè)計意圖：使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的，用懸念來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機(jī)。奧蘇貝爾認(rèn)為動機(jī)是學(xué)習(xí)的先決條件，

3、而認(rèn)知驅(qū)力，即學(xué)生渴望認(rèn)知、理解和掌握知識，并能正確陳述問題、順利解決問題的傾向是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要動力。）2、引領(lǐng)探索，指導(dǎo)學(xué)法讓學(xué)生展開；教師將以上各展開式的系數(shù)整理成如下模型 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1問題1：請你找出以上數(shù)據(jù)上下行之間的規(guī)律。預(yù)期回答：下一行中間的各個數(shù)分別等于上一行對應(yīng)位置的相鄰兩數(shù)之和。問題2：以的展開式為例說出：各項字母排列的規(guī)律，項數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系，展開式首、尾兩項系數(shù)和第二項系數(shù)的特點(diǎn)。預(yù)期回答：展開式每一項的次數(shù)按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個字母的和等于乘方指數(shù)；展開式的項數(shù)比乘方指數(shù)多1項

4、；展開式中首、尾兩項系數(shù)均為1，第二項的系數(shù)等于乘方指數(shù)。初步歸納出下式： （）說明：（）式中括號中的系數(shù)可以通過上面“三角形模型”求得。（設(shè)計意圖：以上呈現(xiàn)給學(xué)生的由系數(shù)排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，教師將此“三角形”模型以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但是，它畢竟不是最后的結(jié)果，而是一種尋找系數(shù)規(guī)律的有效工具，便于學(xué)生將新的學(xué)習(xí)材料同自己原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，并納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，從而實(shí)現(xiàn)有意義學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)是主動建構(gòu)的而不是被動死記的心理過程。）練習(xí)：展開教師作階段性評價，告訴學(xué)生以上的系數(shù)表是我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝的杰作，稱為楊輝三角形，這項發(fā)明比歐洲人帕斯卡三角早40

5、0多年。你們今天做了與楊輝同樣的探索，以鼓勵學(xué)生探究的熱情，并激發(fā)作為一名文明古國的后代的民族自豪感和愛國熱情。3、類比猜想，體會方法如何展開以及呢？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生感到楊輝三角形的局限性，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)新的更簡捷的方法的欲望。）師：為了尋找規(guī)律，我們將中第一個括號中的字母分別記成；第二個括號中的字母分別記成；依次類推。請再次用多項式乘法運(yùn)算法則計算： 的由來 的由來的由來 的由來 的由來（設(shè)計意圖：上述呈現(xiàn)內(nèi)容是為了搭建“認(rèn)知橋梁”，用以激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的經(jīng)驗(yàn)，便于學(xué)生進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，用已有的經(jīng)驗(yàn)同化當(dāng)前學(xué)習(xí)的新知識，并遷移到陌生的情境之中。）問題1：以項為例，有幾種情況相乘均可得到

6、“”？這里的字母各來自哪個括號？問題2：既然以上的字母分別來自4個不同的括號，項的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？（預(yù)期答案：有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是、一個是。每個括號只能取一個字母，任取兩個、兩個，然后相乘，問不同的取法有幾種？）問題4：請用類比的方法，求出二項展開式中的其它各項系數(shù)，并將式子：括號中的系數(shù)全部用組合數(shù)的形式進(jìn)行填寫。推廣到一般，讓學(xué)生填寫，的展開式是什么？預(yù)期答案師：以上你們所寫的就是著名的二項式定理板書課題。4、深化認(rèn)識，熟記公式請學(xué)生總結(jié)：二項式定理展開式的系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)的特點(diǎn)是什么？二項式定理展開式

7、的結(jié)構(gòu)特征是什么？展開由此，得出二項式定理、二項展開式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)、二項展開式的通項等概念，這是本課的重點(diǎn)。（設(shè)計意圖：教師用邊講邊問的形式，讓學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，挖掘?qū)W習(xí)材料潛在的意義，雖然這種學(xué)習(xí)是接受式的，但是它是有意義的，并具有啟發(fā)性的。）4、鞏固應(yīng)用，提升能力【例1】展開 【例2】求的展開式的第4項的系數(shù)及第4項的二項式系數(shù)。求的展開式中含項的系數(shù)。變式1：在二項式定理中，令，得到怎樣的公式？答案：問題：為什么？變式2：變式3：【例3】解決起始問題：，前面是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為，故應(yīng)該為星期二。說明：解決某些整除性問題是二項式定理又一方面的應(yīng)用。五、系統(tǒng)梳理，反思提高提問：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些東西？你認(rèn)為掌握二項式定理