三角恒等變換知識總結及基礎訓練

1、第四講 三角恒等變形一、三角恒等變形知識點總結1兩角和與差的三角函數(shù)；。2二倍角公式；。3三角函數(shù)式的化簡常用方法：直接應用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；。（2）輔助角公式，。4三角函數(shù)的求值類型有三類（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關鍵在

2、于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結合所求角的范圍及函數(shù)的單調性求得角。5三角等式的證明（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。二、典例解析【題型1】兩角和與差的三角函數(shù)【例1】已知，求cos。分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。解：由已知sin+sin=1， cos+co

3、s=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用?！纠?】已知求。解法一：由韋達定理得tan，所以tan解法二：由韋達定理得tan，所以tan ，。點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2）運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關

4、鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數(shù)關系，三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如【題型2】二倍角公式【例3】化簡：，解：因為，又因，所以，原式=。點評：（1）在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。（2）化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中

5、的降次，消元，切化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。（3）公式變形，?！纠?】若。解：由， 點評：此題若將的左邊展開成再求的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，如，等?！绢}型3】輔助角公式【例5】已知函數(shù)ycos2xsinxcosx1，xR.（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖象可由ysinx（xR）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到?（1）解：ycos2xsinxcosx1（2cos2x1）（2sinx

6、cosx）1cos2xsin2x（cos2x·sinsin2x·cos）sin（2x）y取得最大值必須且只需2x2k，kZ，即xk，kZ。所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為x|xk，kZ。（2）將函數(shù)ysinx依次進行如下變換：把函數(shù)ysinx的圖象向左平移，得到函數(shù)ysin（x）的圖象；把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)ysin（2x）的圖象；綜上得到函數(shù)ycos2xsinxcosx1的圖

7、象。點評：引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，或在歷年高考中使用頻率是相當高的，應加以關注。【題型4】三角函數(shù)式化簡【例6】已知函數(shù)（的第四象限的角）且，求的值。解：因為，且是第四象限的角, 所以a 故 ?！绢}型5】三角函數(shù)的值及周期【例7】設函數(shù) (其中0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為。（）求的值；（）如果在區(qū)間上的最小值為，求a的值。解：（I）依題意得 （II）由（I）知，。又當時，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故【題型6】三角函數(shù)綜合問題【例8】已知向量（I）若求（II）求的最大值。解：（1）；當=1時有最大值,此時，最大值為。二、基礎訓練一、選擇題： 1已知

8、,則= （）ABCD2. 函數(shù)的最小正周期和振幅分別是 （）A,1B,2C2,1D2,23設sin，則 （ ）A B C D4在曲線與直線的交點中，若相鄰交點距離的最小值為，則的最小正周期為 （ ）A. B. C. D.5 ( )A. B. C. D.6. 已知，(0，)，則= ( )A.1 B. C. D.17. 函數(shù)的最小正周期為 ( )A B C D 8. 已知若a=f（lg5），則 ( )A.a+b=0 B. a-b=0 C. a+b=1 D. a-b=1二、填空題： 9. 已知 則的值為_.10. 已知 ，,則 =_.11函數(shù)的最大值為 . 12. 函數(shù)的最大值為 三、解答題： 13