352軸對稱全章復習與鞏固提高知識講解

1、3.52軸對稱全章復習與鞏固（提高）【學習目標】1. 認識軸對稱、軸對稱圖形，理解軸對稱的基本性質及它們的簡單應用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關概念，并掌握它們的性質以及判定方法.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線

2、對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質：關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形2.線段的垂直平分線線段的垂

3、直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.要點二、作軸對稱圖形 1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標表示軸對稱點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,）；點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,）；點（,）關于原點對稱的點的坐標為（,）.要點三、等腰三角形 1.等腰三角形

4、（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質 等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等 邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60.（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個角都相等的三角形是等邊三角形； 有一個角為 60的等腰三角形是等

5、邊三角形.3.直角三角形的性質定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對稱的性質與應用1、如圖，由四個小正方形組成的田字格中，ABC的頂點都是小正方形的頂點在田字格上畫與ABC成軸對稱的三角形，且頂點都是小正方形的頂點，則這樣的三角形（不包含ABC本身）共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【思路點撥】分別以正方形的對角線和田字格的十字線為對稱軸，來找三角形.【答案】C；【解析】先把田字格圖標上字母如圖，確定對稱軸找出符合條件的三角形，再計算個數(shù)HEC與ABC關于CD對稱；FDB與ABC關于BE對稱；GED與ABC關于HF對稱

6、；關于AG對稱的是它本身所以共3個【總結升華】本題考查了軸對稱的性質；確定對稱軸然后找出成軸對稱的三角形是解題的關鍵舉一反三：【變式】如圖，ABC的內(nèi)部有一點P，且D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點若ABC的內(nèi)角A70，B60，C50，則ADBBECCFA（ ）A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C；解：連接AP，BP，CP，D，E，F(xiàn)是P分別以AB，BC，AC為對稱軸的對稱點ADBAPB，BECBPC，CFAAPC，ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40，P為MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當PAB的周長取最小值時，求

7、APB的度數(shù). 【思路點撥】求周長最小，利用軸對稱的性質，找到P的對稱點來確定A、B的位置，角度的計算，可以通過三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質計算.【答案與解析】解：分別作P關于OM、ON的對稱點，連接交OM于A，ON于B.則PAB為符合條件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【總結升華】將實際問題抽象或轉化為幾何模型，將周長的三條線段的和轉化為一條線段，這樣取得周長的最小值.舉一反三：【變式】如圖，在五邊形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC，AEDE，在BC，DE上分別找

8、一點M，N，使得AMN的周長最小時，則AMNANM的度數(shù)為（ ）A100 B110 C 120 D 130【答案】C；提示：找A點關于BC的對稱點，關于ED的對稱點，連接，交BC于M點，ED于N點，此時AMN周長最小. AMNANM180MAN，而2BAMAMN，2EANANM，BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如圖，ABC關于平行于軸的一條直線對稱，已知A點坐標是（1，2），C點坐標是（1，4），則這條平行于軸的直線是（）A.直線1 B.直線3 C.直線1 D.直線3【思路點撥】根據(jù)題意，可得A、C的連線與該條直線垂直，且兩點到此直線的距離相等，從而可以解出該直線【答案】

9、C；【解析】解：由題意可知，該條直線垂直平分線段AC又A點坐標是（1，2），C點坐標是（1，4）AC6點A，C到該直線的距離都為3即可得直線為1【總結升華】本題考查了坐標與圖形的變化一一對稱的性質與運用，解決此類題應認真觀察圖形，由A與C的縱坐標求得對稱軸舉一反三：【變式1】如圖，若直線經(jīng)過第二、四象限，且平分坐標軸的夾角，RtAOB與Rt關于直線對稱，已知A（1，2），則點的坐標為（）A.（1，2） B.（1，2） C.（1，2） D.（2，1）【答案】D； 提示：因為RtAOB與Rt關于直線對稱，所以通過作圖可知，的坐標是（2，1）【變式2】如圖，ABC中，點A的坐標為（0，1），點C的坐

10、標為（4，3），點B的坐標為（3，1），如果要使ABD與ABC全等，求點D的坐標 【答案】解：滿足條件的點D的坐標有3個（4，1）；（1，1）；（1，3）.類型二、等腰三角形的綜合應用4、（2012牡丹江）如圖，ABC中AB=AC，P為底邊BC上一點，PEAB，PFAC，CHAB，垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下： 如圖，連接APPEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH又，ABPE+ACPF=ABCHAB=AC，PE+PF=CH（1）如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：（2）填空

11、：若A=30，ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH=_.點P到AB邊的距離PE=_.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如圖，PE=PF+CH證明如下：PEAB，PFAC，CHAB，=ABPE，=ACPF，=ABCH，=+，ABPE=ACPF+ABCH，又AB=AC，PE=PF+CH；（2）在ACH中，A=30，AC=2CH=ABCH，AB=AC，2CHCH=49，CH=7分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖PE+PF=CH，PE=CH-PF=7-3=4；P為BC延長線上的點時，如圖PE=PF+CH，PE=3+7=10故答案為7

12、；4或10【總結升華】本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使問題簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵5、已知，如圖，112，236，348，424. 求的度數(shù)【答案與解析】ACD123B5E解：將沿AB翻折，得到，連結CE，則，1512.6048又236，72，BEBC為等邊三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【總結升華】直接求很難，那就想想能不能通過翻折或旋轉構造一個與全等的三角形，從而使其換個位置，看看會不會容易求舉一反三：【變式】在ABC中，ABAC，BAC80，D為形內(nèi)一點，且DABDBA10，求ACD的度數(shù).【答案】解：作D關于BC中垂線的對稱

13、點E，連結AE，EC，DE ABDACE ADAE, DABEAC10 BAC=80，DAE60，ADE為等邊三角形AED60 DABDBA10 ADBDDEEC AEC160， DEC140 DCE20 ACD30類型三、等邊三角形的綜合應用6、如圖所示，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，DMN為等邊三角形(1)如圖(1)所示，當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關系？點F是否在直線NE上？ (2)如圖(2)所示，當點M在BC上時，其他條件不變，(1)的結論中EN與MF的數(shù)量關系是否仍然成立？若成立，請利用圖(2)證明；若

14、不成立，請說明理由【答案與解析】解：(1)ENMF，點F在直線NE上 證明：連接DF，DE， ABC是等邊三角形， ABACBC 又 D，E，F(xiàn)是ABC三邊的中點， DE，DF，EF為三角形的中位線 DEDFEF，F(xiàn)DE60又MDNNDFMDF，NDFFDENDE，DMN為等邊三角形，DMDN，MDN60 MDFNDE 在DMF和DNE中， DMFDNE， MFNE，DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB，又EFAB，E、F、N在同一直線上. (2)成立證明：連結DE，DF，EF， ABC是等邊三角形， ABACBC 又 D，E，F(xiàn)是ABC三邊的中點， DE，DF，EF為三角形

15、的中位線 DEDFEF，F(xiàn)DE60 又MDFFDN60，NDEFDN60， MDFNDE 在DMF和DNE中， DMFDNE， MFNE【總結升華】此題綜合應用了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定.全等是證明線段相等的重要方法.（2）題的證明可以沿用（1）題的思路. 【鞏固練習】一.選擇題1. 如圖所示，將矩形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向右對折，接著對折后的紙片沿虛線CD向下對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片打開，則打開后的展開圖是（ ）2. 如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對角線BD上，得折痕BE、BF，則EBF的大小為( )A. 15 B. 30 C. 4

16、5 D. 603在下列說法中，正確的是（ ） A如果兩個三角形全等，則它們必是關于直線成軸對稱的圖形； B如果兩個三角形關于某直線成軸對稱，那么它們是全等三角形； C等腰三角形是關于底邊中線成軸對稱的圖形； D一條線段是關于經(jīng)過該線段中點的直線成軸對稱的圖形 .4. 小明從鏡中看到電子鐘示數(shù)是，則此時時間是（ ）A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：215. 已知A（4，3）和B是坐標平面內(nèi)的兩個點，且它們關于直線3軸對稱，則平面內(nèi)點B的坐標是（ ）A.（1，3） B.（10，3） C.（4，3） D.（4，1）6如圖，已知ABC中，ACBC24，AO、BO分別是角平分線，

17、且MNBA，分別交AC于N、BC于M，則CMN的周長為（ ）A12 B24 C36 D不確定 A N O B M C （22題圖）7. 如圖，將沿、翻折，三個頂點均落在點處.若，則 的度數(shù)為（ ）A. 49 B. 50 C. 51 D. 528. 如圖, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂線交BC的延長線于D,交AC于E, 已知DE2.AC的長為（ ） A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空題9. 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB2，點E在BC上，且AECE若將紙片沿AE折疊，點B恰好與AC上的點重合，則AC 10. 在同一直角坐標系中，A（1，8）與B（5，3）關于軸對稱，

18、則_，_.11如圖所示，ABC中，已知B和C的平分線相交于點F，過點F作DEBC，交AB于點D，交AC于點E，若BDCE9，線段DE_12. 如圖所示，AOPBOP15，PCOA，PDOA，若PC4，PD的長為_13如圖所示，在ABC中，ABAC，點O在ABC內(nèi)，且OBCOCA，BOC110，求A的度數(shù)為_14. 如圖，在四邊形ABCD中，A90，AD4，連接BD，BDCD，ADBC.若P是BC邊上一動點，則DP長的最小值為 .15. 如圖，在ABC中，ABAC，D、E是ABC內(nèi)兩點，AD平分BAC，EBCE60，若BE6，DE2，則BC_16. 如圖，六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角都相等若AB

19、1，BCCD3，DE2，則這個六邊形的周長等于_。三.解答題17如圖所示，ABC中，D，E在BC上，且DEEC，過D作DFBA，交AE于點F，DFAC，求證AE平分BAC18. 如圖所示，等邊三角形ABC中，AB2，點P是AB邊上的任意一點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作PEBC，垂足為E，過E作EFAC，垂足為F，過F作FQAQ，垂足為Q，設BP，AQ （1）寫出與之間的關系式；（2）當BP的長等于多少時，點P與點Q重合？19已知：如圖，在ABC中，ABAC，BAC30點D為ABC內(nèi)一點，且DBDC，DCB30點E為BD延長線上一點，且AEAB（1）求ADE的度數(shù)；（2）若點

20、M在DE上，且DMDA，求證：MEDC20已知，BAC90，ABAC，D為AC邊上的中點，ANBD于M，交BC于N.求證：ADBCDN【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D；【解析】作出對稱軸，將圖形還原即可.2. 【答案】C； 【解析】由題意，ABEDBEDBFFBC，所以EBFABC45，故選C3. 【答案】B；【解析】全等的三角形不一定是成軸對稱，而成軸對稱的兩個三角形一定是全等的C 選項應為軸對稱圖形而不是成軸對稱的圖形.4. 【答案】B；5. 【答案】B；【解析】點B的縱坐標和點A一樣，（橫坐標4）23，解得橫坐標為10.6. 【答案】B；【解析】易證ANON，BMOM，CMN的周

21、長等于ACBC24.7. 【答案】C； 【解析】ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 【答案】B； 【解析】連接AD，易證三角形ABD為等邊三角形，CEDE1，AEDE2，所以ACAECE213.二.填空題9. 【答案】4；【解析】因為AECE，90，所以為AC的中點.AC2AB4.10.【答案】； 【解析】由題意15，38，解得.11【答案】9；【解析】因為DEBC， 所以DFBFBC，EFCFCB， 因為FBCFBD，F(xiàn)CBFCE， 所以FBDDFB，F(xiàn)CEEFC， 所以BDDF，CEEF， 所以BDCEDFFEDE，所以DEBDCE912.【答案】2；【解析】

22、過P作PEOB于E，所以PDPE，因為PCOA，所以BCPBOA30， 在RtPCE中，PEPC，所以PE42，因為PEPD，所以PD213【答案】40；【解析】ABAC，所以ABCACB， 又OBCOCA， ABCACB2（OBCOCB）， BOC110，OBCOCB70， ABCACB140， A180（ABCACB）4014.【答案】4；【解析】過D作DPBC，此時DP長的最小值是.因為ABDCBD，所以ADDP4.15.【答案】8； 【解析】延長ED到BC于M，延長AD到BC與N，ABAC，AD平分BAC，ANBC，BNCN，EBCE60，BEM為等邊三角形，BE6，DE2，DM4，NDM30，NM2，BN4，BC816.【答案】15；【解析】因為六邊形ABCDEF的六個內(nèi)角都相等為120