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1、3.52軸對(duì)稱全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱、軸對(duì)稱圖形,理解軸對(duì)稱的基本性質(zhì)及它們的簡單應(yīng)用;2. 了解垂直平分線的概念,并掌握其性質(zhì);3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念,并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱1.軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱(1)軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì):軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸,是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.(2)軸對(duì)稱定義:把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線
2、對(duì)稱,這條直線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì):關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同,大小相等,是全等形;如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線;兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長線相交,那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.(3)軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系,軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形;軸對(duì)稱涉及兩個(gè)圖形,而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系:如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱;如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體,那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形2.線段的垂直平分線線段的垂
3、直平分線的性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來,與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱圖形 1.作軸對(duì)稱圖形(1)幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成,我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn),再連接這些點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形;(2)對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形,只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))的對(duì)稱點(diǎn),連接這些對(duì)稱點(diǎn),就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱點(diǎn)(,)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(,);點(diǎn)(,)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(,);點(diǎn)(,)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).要點(diǎn)三、等腰三角形 1.等腰三角形
4、(1)定義:有兩邊相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等,即“等邊對(duì)等角”;等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別地,等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45.(3)等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(即“等角對(duì)等 邊”).2.等邊三角形(1)定義:三條邊都相等的三角形,叫做等邊三角形.(2)等邊三角形性質(zhì):等邊三角形的三個(gè)角相等,并且每個(gè)角都等于60.(3)等邊三角形的判定: 三條邊都相等的三角形是等邊三角形; 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形; 有一個(gè)角為 60的等腰三角形是等
5、邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類型一、軸對(duì)稱的性質(zhì)與應(yīng)用1、如圖,由四個(gè)小正方形組成的田字格中,ABC的頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn)在田字格上畫與ABC成軸對(duì)稱的三角形,且頂點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn),則這樣的三角形(不包含ABC本身)共有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【思路點(diǎn)撥】分別以正方形的對(duì)角線和田字格的十字線為對(duì)稱軸,來找三角形.【答案】C;【解析】先把田字格圖標(biāo)上字母如圖,確定對(duì)稱軸找出符合條件的三角形,再計(jì)算個(gè)數(shù)HEC與ABC關(guān)于CD對(duì)稱;FDB與ABC關(guān)于BE對(duì)稱;GED與ABC關(guān)于HF對(duì)稱
6、;關(guān)于AG對(duì)稱的是它本身所以共3個(gè)【總結(jié)升華】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì);確定對(duì)稱軸然后找出成軸對(duì)稱的三角形是解題的關(guān)鍵舉一反三:【變式】如圖,ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,且D,E,F(xiàn)是P分別以AB,BC,AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)若ABC的內(nèi)角A70,B60,C50,則ADBBECCFA( )A.180 B.270 C.360 D.480【答案】C;解:連接AP,BP,CP,D,E,F(xiàn)是P分別以AB,BC,AC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)ADBAPB,BECBPC,CFAAPC,ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40,P為MON內(nèi)一定點(diǎn),OM上有一點(diǎn)A,ON上有一點(diǎn)B,當(dāng)PAB的周長取最小值時(shí),求
7、APB的度數(shù). 【思路點(diǎn)撥】求周長最小,利用軸對(duì)稱的性質(zhì),找到P的對(duì)稱點(diǎn)來確定A、B的位置,角度的計(jì)算,可以通過三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算.【答案與解析】解:分別作P關(guān)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn),連接交OM于A,ON于B.則PAB為符合條件的三角形.MON40 140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280 PAB, PBA180 APB100【總結(jié)升華】將實(shí)際問題抽象或轉(zhuǎn)化為幾何模型,將周長的三條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段,這樣取得周長的最小值.舉一反三:【變式】如圖,在五邊形ABCDE中,BAE120,BE90,ABBC,AEDE,在BC,DE上分別找
8、一點(diǎn)M,N,使得AMN的周長最小時(shí),則AMNANM的度數(shù)為( )A100 B110 C 120 D 130【答案】C;提示:找A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn),關(guān)于ED的對(duì)稱點(diǎn),連接,交BC于M點(diǎn),ED于N點(diǎn),此時(shí)AMN周長最小. AMNANM180MAN,而2BAMAMN,2EANANM,BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如圖,ABC關(guān)于平行于軸的一條直線對(duì)稱,已知A點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),C點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4),則這條平行于軸的直線是()A.直線1 B.直線3 C.直線1 D.直線3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意,可得A、C的連線與該條直線垂直,且兩點(diǎn)到此直線的距離相等,從而可以解出該直線【答案】
9、C;【解析】解:由題意可知,該條直線垂直平分線段AC又A點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),C點(diǎn)坐標(biāo)是(1,4)AC6點(diǎn)A,C到該直線的距離都為3即可得直線為1【總結(jié)升華】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化一一對(duì)稱的性質(zhì)與運(yùn)用,解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察圖形,由A與C的縱坐標(biāo)求得對(duì)稱軸舉一反三:【變式1】如圖,若直線經(jīng)過第二、四象限,且平分坐標(biāo)軸的夾角,RtAOB與Rt關(guān)于直線對(duì)稱,已知A(1,2),則點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(2,1)【答案】D; 提示:因?yàn)镽tAOB與Rt關(guān)于直線對(duì)稱,所以通過作圖可知,的坐標(biāo)是(2,1)【變式2】如圖,ABC中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1),點(diǎn)C的坐
10、標(biāo)為(4,3),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1),如果要使ABD與ABC全等,求點(diǎn)D的坐標(biāo) 【答案】解:滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)(4,1);(1,1);(1,3).類型二、等腰三角形的綜合應(yīng)用4、(2012牡丹江)如圖,ABC中AB=AC,P為底邊BC上一點(diǎn),PEAB,PFAC,CHAB,垂足分別為E、F、H易證PE+PF=CH證明過程如下: 如圖,連接APPEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH又,ABPE+ACPF=ABCHAB=AC,PE+PF=CH(1)如圖,P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí),其它條件不變,PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想,并加以證明:(2)填空
11、:若A=30,ABC的面積為49,點(diǎn)P在直線BC上,且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時(shí),則AB邊上的高CH=_.點(diǎn)P到AB邊的距離PE=_.【答案】7;4或10;【解析】解:(1)如圖,PE=PF+CH證明如下:PEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH,=+,ABPE=ACPF+ABCH,又AB=AC,PE=PF+CH;(2)在ACH中,A=30,AC=2CH=ABCH,AB=AC,2CHCH=49,CH=7分兩種情況:P為底邊BC上一點(diǎn),如圖PE+PF=CH,PE=CH-PF=7-3=4;P為BC延長線上的點(diǎn)時(shí),如圖PE=PF+CH,PE=3+7=10故答案為7
12、;4或10【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與三角形的面積,難度適中,運(yùn)用面積證明可使問題簡便,(2)中分情況討論是解題的關(guān)鍵5、已知,如圖,112,236,348,424. 求的度數(shù)【答案與解析】ACD123B5E解:將沿AB翻折,得到,連結(jié)CE,則,1512.6048又236,72,BEBC為等邊三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30【總結(jié)升華】直接求很難,那就想想能不能通過翻折或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一個(gè)與全等的三角形,從而使其換個(gè)位置,看看會(huì)不會(huì)容易求舉一反三:【變式】在ABC中,ABAC,BAC80,D為形內(nèi)一點(diǎn),且DABDBA10,求ACD的度數(shù).【答案】解:作D關(guān)于BC中垂線的對(duì)稱
13、點(diǎn)E,連結(jié)AE,EC,DE ABDACE ADAE, DABEAC10 BAC=80,DAE60,ADE為等邊三角形AED60 DABDBA10 ADBDDEEC AEC160, DEC140 DCE20 ACD30類型三、等邊三角形的綜合應(yīng)用6、如圖所示,已知等邊三角形ABC中,點(diǎn)D,E,F(xiàn)分別為邊AB,AC,BC的中點(diǎn),M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),DMN為等邊三角形(1)如圖(1)所示,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí),請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系?點(diǎn)F是否在直線NE上? (2)如圖(2)所示,當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí),其他條件不變,(1)的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請(qǐng)利用圖(2)證明;若
14、不成立,請(qǐng)說明理由【答案與解析】解:(1)ENMF,點(diǎn)F在直線NE上 證明:連接DF,DE, ABC是等邊三角形, ABACBC 又 D,E,F(xiàn)是ABC三邊的中點(diǎn), DE,DF,EF為三角形的中位線 DEDFEF,F(xiàn)DE60又MDNNDFMDF,NDFFDENDE,DMN為等邊三角形,DMDN,MDN60 MDFNDE 在DMF和DNE中, DMFDNE, MFNE,DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB,又EFAB,E、F、N在同一直線上. (2)成立證明:連結(jié)DE,DF,EF, ABC是等邊三角形, ABACBC 又 D,E,F(xiàn)是ABC三邊的中點(diǎn), DE,DF,EF為三角形
15、的中位線 DEDFEF,F(xiàn)DE60 又MDFFDN60,NDEFDN60, MDFNDE 在DMF和DNE中, DMFDNE, MFNE【總結(jié)升華】此題綜合應(yīng)用了等邊三角形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判定.全等是證明線段相等的重要方法.(2)題的證明可以沿用(1)題的思路. 【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 如圖所示,將矩形紙片先沿虛線AB按箭頭方向向右對(duì)折,接著對(duì)折后的紙片沿虛線CD向下對(duì)折,然后剪下一個(gè)小三角形,再將紙片打開,則打開后的展開圖是( )2. 如圖,將正方形紙片ABCD折疊,使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD上,得折痕BE、BF,則EBF的大小為( )A. 15 B. 30 C. 4
16、5 D. 603在下列說法中,正確的是( ) A如果兩個(gè)三角形全等,則它們必是關(guān)于直線成軸對(duì)稱的圖形; B如果兩個(gè)三角形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱,那么它們是全等三角形; C等腰三角形是關(guān)于底邊中線成軸對(duì)稱的圖形; D一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線成軸對(duì)稱的圖形 .4. 小明從鏡中看到電子鐘示數(shù)是,則此時(shí)時(shí)間是( )A.12:01 B.10:51 C.11:59 D.10:215. 已知A(4,3)和B是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),且它們關(guān)于直線3軸對(duì)稱,則平面內(nèi)點(diǎn)B的坐標(biāo)是( )A.(1,3) B.(10,3) C.(4,3) D.(4,1)6如圖,已知ABC中,ACBC24,AO、BO分別是角平分線,
17、且MNBA,分別交AC于N、BC于M,則CMN的周長為( )A12 B24 C36 D不確定 A N O B M C (22題圖)7. 如圖,將沿、翻折,三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)處.若,則 的度數(shù)為( )A. 49 B. 50 C. 51 D. 528. 如圖, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂線交BC的延長線于D,交AC于E, 已知DE2.AC的長為( ) A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空題9. 如圖,在矩形紙片ABCD中,AB2,點(diǎn)E在BC上,且AECE若將紙片沿AE折疊,點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)重合,則AC 10. 在同一直角坐標(biāo)系中,A(1,8)與B(5,3)關(guān)于軸對(duì)稱,
18、則_,_.11如圖所示,ABC中,已知B和C的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DEBC,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BDCE9,線段DE_12. 如圖所示,AOPBOP15,PCOA,PDOA,若PC4,PD的長為_13如圖所示,在ABC中,ABAC,點(diǎn)O在ABC內(nèi),且OBCOCA,BOC110,求A的度數(shù)為_14. 如圖,在四邊形ABCD中,A90,AD4,連接BD,BDCD,ADBC.若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),則DP長的最小值為 .15. 如圖,在ABC中,ABAC,D、E是ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分BAC,EBCE60,若BE6,DE2,則BC_16. 如圖,六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等若AB
19、1,BCCD3,DE2,則這個(gè)六邊形的周長等于_。三.解答題17如圖所示,ABC中,D,E在BC上,且DEEC,過D作DFBA,交AE于點(diǎn)F,DFAC,求證AE平分BAC18. 如圖所示,等邊三角形ABC中,AB2,點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)P可以與點(diǎn)A重合,但不與點(diǎn)B重合),過點(diǎn)P作PEBC,垂足為E,過E作EFAC,垂足為F,過F作FQAQ,垂足為Q,設(shè)BP,AQ (1)寫出與之間的關(guān)系式;(2)當(dāng)BP的長等于多少時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合?19已知:如圖,在ABC中,ABAC,BAC30點(diǎn)D為ABC內(nèi)一點(diǎn),且DBDC,DCB30點(diǎn)E為BD延長線上一點(diǎn),且AEAB(1)求ADE的度數(shù);(2)若點(diǎn)
20、M在DE上,且DMDA,求證:MEDC20已知,BAC90,ABAC,D為AC邊上的中點(diǎn),ANBD于M,交BC于N.求證:ADBCDN【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D;【解析】作出對(duì)稱軸,將圖形還原即可.2. 【答案】C; 【解析】由題意,ABEDBEDBFFBC,所以EBFABC45,故選C3. 【答案】B;【解析】全等的三角形不一定是成軸對(duì)稱,而成軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形一定是全等的C 選項(xiàng)應(yīng)為軸對(duì)稱圖形而不是成軸對(duì)稱的圖形.4. 【答案】B;5. 【答案】B;【解析】點(diǎn)B的縱坐標(biāo)和點(diǎn)A一樣,(橫坐標(biāo)4)23,解得橫坐標(biāo)為10.6. 【答案】B;【解析】易證ANON,BMOM,CMN的周
21、長等于ACBC24.7. 【答案】C; 【解析】ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 【答案】B; 【解析】連接AD,易證三角形ABD為等邊三角形,CEDE1,AEDE2,所以ACAECE213.二.填空題9. 【答案】4;【解析】因?yàn)锳ECE,90,所以為AC的中點(diǎn).AC2AB4.10.【答案】; 【解析】由題意15,38,解得.11【答案】9;【解析】因?yàn)镈EBC, 所以DFBFBC,EFCFCB, 因?yàn)镕BCFBD,F(xiàn)CBFCE, 所以FBDDFB,F(xiàn)CEEFC, 所以BDDF,CEEF, 所以BDCEDFFEDE,所以DEBDCE912.【答案】2;【解析】
22、過P作PEOB于E,所以PDPE,因?yàn)镻COA,所以BCPBOA30, 在RtPCE中,PEPC,所以PE42,因?yàn)镻EPD,所以PD213【答案】40;【解析】ABAC,所以ABCACB, 又OBCOCA, ABCACB2(OBCOCB), BOC110,OBCOCB70, ABCACB140, A180(ABCACB)4014.【答案】4;【解析】過D作DPBC,此時(shí)DP長的最小值是.因?yàn)锳BDCBD,所以ADDP4.15.【答案】8; 【解析】延長ED到BC于M,延長AD到BC與N,ABAC,AD平分BAC,ANBC,BNCN,EBCE60,BEM為等邊三角形,BE6,DE2,DM4,NDM30,NM2,BN4,BC816.【答案】15;【解析】因?yàn)榱呅蜛BCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等為120
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