12集合之間的關(guān)系

1、1.2 集合之間的關(guān)系觀察下面幾個(gè)例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;設(shè)A為國(guó)興中學(xué)高一(3)班男生的全體組成的集合,B為這個(gè)班學(xué)生的全體組成的集合;設(shè)C=x|x是兩條邊相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)集合間有什么關(guān)系嗎？(2)例子中集合A是集合B的子集,例子中集合E是集合F的子集,同樣是子集,有什么區(qū)別？(3)結(jié)合例子,類(lèi)比實(shí)數(shù)中的結(jié)論:“若ab,且ba,則a=b”,在集合中,你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?(4)按升國(guó)旗時(shí),每個(gè)班的同學(xué)都聚集在一起站在旗桿附近指定的區(qū)域內(nèi),從樓頂向下看,每位同學(xué)是哪個(gè)班的,一目了然.試想一下,根據(jù)從樓頂向下看的

2、,要想直觀表示集合,聯(lián)想集合還能用什么表示？(5)試用Venn圖表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB,試用Venn圖表示集合A和B的關(guān)系.(7)任何方程的解都能組成集合,那么x2+1=0的實(shí)數(shù)根也能組成集合,你能用Venn圖表示這個(gè)集合嗎？(8)一座房子內(nèi)沒(méi)有任何東西,我們稱(chēng)為這座房子是空房子,那么一個(gè)集合沒(méi)有任何元素,應(yīng)該如何命名呢？(9)與實(shí)數(shù)中的結(jié)論“若ab,且bc,則ac”相類(lèi)比,在集合中,你能得出什么結(jié)論? (1)觀察兩個(gè)集合間元素的特點(diǎn).(2)從它們含有的元素間的關(guān)系來(lái)考慮.規(guī)定:如果AB,但存在xB,且xA,我們稱(chēng)集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA).(3)實(shí)數(shù)中的“”

3、類(lèi)比集合中的.(4)把指定位置看成是由封閉曲線圍成的,學(xué)生看成集合中的元素,從樓頂看到的就是把集合中的元素放在封閉曲線內(nèi).教師指出:為了直觀地表示集合間的關(guān)系,我們常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合,這種圖稱(chēng)為Venn圖.(5)封閉曲線可以是矩形也可以是橢圓等等,沒(méi)有限制.(6)分類(lèi)討論:當(dāng)AB時(shí),AB或A=B.(7)方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解.(8)空集記為,并規(guī)定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A).(9)類(lèi)比子集.結(jié)果：(1)集合A中的元素都在集合B中;集合A中的元素都在集合B中;集合C中的元素都在集合D中;集合E中的元素都在集合F中.可以發(fā)現(xiàn):對(duì)于任意兩個(gè)

4、集合A,B有下列關(guān)系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一個(gè)元素4B,且4A;而例子中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,則A=B.(4)可以把集合中元素寫(xiě)在一個(gè)封閉曲線的內(nèi)部來(lái)表示集合.(5)如圖1121所示表示集合A,如圖1122所示表示集合B.圖1-1-2-1圖1-1-2-2(6)如圖1-1-2-3和圖1-1-2-4所示.圖1-1-2-3圖1-1-2-4(7)不能.因?yàn)榉匠蘹2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解.(8)空集.(9)若AB,BC,則AC;若AB,BC,則AC.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在重量和長(zhǎng)度上都合格時(shí),該產(chǎn)品才合格

5、.若用A表示合格產(chǎn)品的集合,B表示重量合格的產(chǎn)品的集合,C表示長(zhǎng)度合格的產(chǎn)品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)則下列包含關(guān)系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)試用Venn圖表示集合A、B、C間的關(guān)系.2.寫(xiě)出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.3.已知集合P=1,2,那么滿足QP的集合Q的個(gè)數(shù)是( )A.4 B.3 C.2 D.14.集合A中含有n個(gè)元素,那么集合A有多少個(gè)子集？多少個(gè)真子集？5.已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,則實(shí)數(shù)m=_.6.已知集合M=x|2-x<0,集合N=x|ax=1,若NM,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.(1)分別

6、寫(xiě)出下列集合的子集及其個(gè)數(shù):,a,a,b,a,b,c.(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)集合M中含有n個(gè)元素,則集合M有多少個(gè)子集？8.已知集合A2,3,7,且A中至多有一個(gè)奇數(shù),則這樣的集合A有( )A.3個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.6個(gè)9.判斷正誤:(1)空集沒(méi)有子集. ( )(2)空集是任何一個(gè)集合的真子集. ( )(3)任一集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上子集. ( )(4)若BA,那么凡不屬于集合A的元素,則必不屬于B. ( )10.集合A=x|-1<x<3,xZ,寫(xiě)出A的真子集.11.(1)下列命題正確的是 ( )A.無(wú)限集的真子集是有限集B.任何一個(gè)集合必定有兩個(gè)子集C.自然數(shù)集是整數(shù)集的真

7、子集D.1是質(zhì)數(shù)集的真子集(2)以下五個(gè)式子中,錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為 ( )10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0A.5 B.2 C.3 D.4(3)M=x|3<x<4,a=,則下列關(guān)系正確的是 ( )A.aM B.aM C.aM D.aM12.判斷如下集合A與B之間有怎樣的包含或相等關(guān)系:(1)A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2m+1,mZ;(2)A=x|x=2m,mZ,B=x|x=4n,nZ.13.已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|ax+1=0滿足QP,求a所取的一切值.14.已知集合A=xR|x2-3x+4=0,B=xR|(x+1)(x

8、2+3x-4)=0,要使APB,求滿足條件的集合P.15.設(shè)A=0,1,B=x|xA,則A與B應(yīng)具有何種關(guān)系？16.集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,(1)若BA,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)xZ時(shí),求A的非空真子集個(gè)數(shù);(3)當(dāng)xR時(shí),沒(méi)有元素x使xA與xB同時(shí)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.17.已知AB,且AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,則滿足上述條件的集合A共有多少個(gè)？【家庭作業(yè)】一、選擇題1，下列八個(gè)關(guān)系式0= =0 0 0 0 其中正確的個(gè)數(shù) （ ）A、4 B、5 C、6 D、72、集合1，2，3的真子集共有 （ ）A、5個(gè) B、6個(gè) C、7個(gè) D、8個(gè)3

9、、設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式ax2+bx+c0的解集為（ ）A、R B、 C、 D、4.下列語(yǔ)句：（1）0與0表示同一個(gè)集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為 1，2，3或3，2，1；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 1，1，2；（4）集合是有限集，正確的是 （ ）A、只有（1）和（4） B、只有（2）和（3） C、只有（2） D、以上語(yǔ)句都不對(duì)5下列四個(gè)命題： （）空集沒(méi)有了集； （）空集是任何一個(gè)集合的真子集； （）空集的元素個(gè)數(shù)為零； （）任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集 其中正確的有 （ 0個(gè)1個(gè)2個(gè)3個(gè)

10、二、填空題6、在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為 7、若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個(gè)負(fù)根，則k的取值范圍是 8、集合a,b,c的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是 9、方程x2-5x+6=0的解集可表示為 方程組 10已知菱形，正方形，平行四邊形，那么，之間的關(guān)系是_.三、解答題11、已知方程x2-(k2-9)+k2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。12、設(shè)a、bZ，E(x,y)|(xa)23b6y，點(diǎn)(2，1)E，但(1，0)E，(3，2)E。求a、b的值?！竞妙}精選】1設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D.2下面四句話中，正確

11、的有（ ）（1）空集沒(méi)有子集；（2）任何集合至少有兩個(gè)子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若，則.A.1句 B.2句 C.3句 D.4句3滿足的集合的個(gè)數(shù)是（ ）A.8 B.7 C.6 D.44設(shè)集合，則集合與的關(guān)系是（ ）A. B. C. D.無(wú)法確定5下列集合中，只有一個(gè)子集的集合是（ ）A. B. C. D.6若，則=_，=_，=_.7若集合，則它們之間的關(guān)系是_.8設(shè)集合，若，則的取值范圍是_.9若集合，則集合之間的關(guān)系是_.10已知，且，求的值.11已知集合，且，求的取值范圍.【1.2 集合之間的關(guān)系參考答案】1. 解：(1)包含關(guān)系成立的有:BA,CA.(2)集合A、B、C間

12、的關(guān)系用Venn圖表示,如圖1-1-2-5所示.圖1-1-2-52. 解：集合a,b的所有子集為,a,b,a,b.真子集為,a,b.3. 分析:集合P=1,2含有2個(gè)元素,其子集有22=4個(gè),又集合QP,所以集合Q有4個(gè).答案：A4. 解：當(dāng)n=0時(shí),即空集的子集為,即子集的個(gè)數(shù)是1=20;當(dāng)n=1時(shí),即含有一個(gè)元素的集合如a的子集為,a,即子集的個(gè)數(shù)是2=21;當(dāng)n=2時(shí),即含有一個(gè)元素的集合如a,b的子集為,a,b,a,b,即子集的個(gè)數(shù)是4=22.集合A中含有n個(gè)元素,那么集合A有2n個(gè)子集,由于一個(gè)集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)個(gè)真子集.5. 解：BA,3A,m2A.m

13、2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.m=1.答案：16. 解：由題意得M=x|x>2,則N=或N.當(dāng)N=時(shí),關(guān)于x的方程ax=1中無(wú)解,則有a=0;當(dāng)N時(shí),關(guān)于x的方程ax=1中有解,則a0,此時(shí)x=,又NM,M.>2.0<a<.綜上所得,實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=0或0<a<,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a|0a<7. 答案：(1)的子集有:,即有1個(gè)子集;a的子集有:、a,即a有2個(gè)子集;a,b的子集有:、a、b、a,b,即a,b有4個(gè)子集;a,b,c的子集有:、a、b、c、a,b、a,c、b,c、a,b,c,即a,b,c有8個(gè)子集.(2)由(1)可

14、得:當(dāng)n=0時(shí),有1=20個(gè)子集;當(dāng)n=1時(shí),集合M有2=21個(gè)子集;當(dāng)n=2時(shí),集合M有4=22個(gè)子集;當(dāng)n=3時(shí),集合M有8=23個(gè)子集;因此含有n個(gè)元素的集合M有2n個(gè)子集.8. A=或2或3或7或2,3或2,7共有6個(gè).答案：D9. 解：該題的5個(gè)命題,只有(4)是正確的,其余全錯(cuò).對(duì)于(1)、(2)來(lái)講,由規(guī)定:空集是任何一個(gè)集合的子集,且是任一非空集合的真子集.對(duì)于(3)來(lái)講,可舉反例,空集這一個(gè)集合就只有自身一個(gè)子集.對(duì)于(4)來(lái)講,當(dāng)xB時(shí)必有xA,則xA時(shí)也必有xB.10. 解：因-1<x<3,xZ,故x=0,1,2,即a=x|-1<x<3,xZ=0,

15、1,2.真子集:、1、2、0、0,1、0,2、1,2,共7個(gè).11. 答案：(1)C (2)C (3)D12. 解：(1)因A=x|x=2k-1,kZ,B=x|x=2m+1,mZ,故A、B都是由奇數(shù)構(gòu)成的,即A=B.(2)因A=x|x=2m,mZ,B=x|x=4n,nZ,又x=4n=2·2n,在x=2m中,m可以取奇數(shù),也可以取偶數(shù);而在x=4n中,2n只能是偶數(shù).故集合A、B的元素都是偶數(shù).但B中元素是由A中部分元素構(gòu)成,則有BA.13. 解：因P=x|x2+x-6=0=2,-3,當(dāng)a=0時(shí),Q=x|ax+1=0=,QP成立.又當(dāng)a0時(shí),Q=x|ax+1=0=,要QP成立,則有=2

16、或=-3,a=或a=.綜上所述,a=0或a=或a=.點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)題目給的條件中含有字母,一般需分類(lèi)討論.本題易漏掉a=0,ax+1=0無(wú)解,即Q為空集的情況,而當(dāng)Q=時(shí),滿足QP.14. 解：由A=xR|x2-3x+4=0=,B=xR|(x+1)(x2+3x-4)=0=-1,1,-4,由APB知集合P非空,且其元素全屬于B,即有滿足條件的集合P為1或-1或-4或-1,1或-1,-4或1,-4或-1,1,-4.點(diǎn)評(píng)：要解決該題,必須確定滿足條件的集合P的元素,而做到這點(diǎn),必須明確A、B,充分把握子集、真子集的概念,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)集合是解決問(wèn)題的首要條件.15. 解：因A=0,1,B=x|xA,故x為,0

17、,1,0,1,即0,1是B中一元素.故AB.點(diǎn)評(píng)：注意該題的特殊性,一集合是另一集合的元素.16. 解：(1)當(dāng)m+1>2m-1即m<2時(shí),B=滿足BA.當(dāng)m+12m-1即m2時(shí),要使BA成立,需可得2m3.綜上所得實(shí)數(shù)m的取值范圍m3.(2)當(dāng)xZ時(shí),A=-2,-1,0,1,2,3,4,5,所以,A的非空真子集個(gè)數(shù)為2上標(biāo)8-2=254.(3)xR,且A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,又沒(méi)有元素x使xA與xB同時(shí)成立.則若B即m+1>2m-1,得m<2時(shí)滿足條件;若B,則要滿足條件有:或解之,得m>4.綜上有m<2或m>4.點(diǎn)評(píng)：此問(wèn)題解決

18、要注意：不應(yīng)忽略;找A中的元素;分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.17. 活動(dòng)：學(xué)生思考AB,且AC所表達(dá)的含義.AB說(shuō)明集合A是集合B的子集,即集合A中元素屬于集合B,同理有集合A中元素屬于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.思路1:寫(xiě)出由集合B和集合C的公共元素所組成的集合,得滿足條件的集合A;思路2:分析題意,僅求滿足條件的集合A的個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)化為求集合B和集合C的公共元素所組成的集合的子集個(gè)數(shù).解法一：因AB,AC,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此,滿足AB,有:,0,1,2,3,4,0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,