角的平分線的性質(zhì)教案、教案說明及點評

1、“角的平分線的性質(zhì)”教案、教案說明及點評執(zhí)教人 李 捷(湖北省襄樊市第三十二中學) 點評人 許芬英(浙江省教育廳教研室)教案一、教材的地位和作用角的平分線的性質(zhì)是全等三角形知識的運用和延續(xù)，它為后面證明線段相等、角相等的幾何證明提供了一種新的、更為簡單的證明方法。本節(jié)分為兩課時：第一課時讓學生動手探究角的平分線的畫法；第二課時主要探究角的平分線的性質(zhì)和判定，并在此基礎上進行簡單應用。本節(jié)課是第二課時的內(nèi)容，它不僅為學生動手操作、觀察、交流等活動提供了良好的素材，同時也讓學生學習了怎樣從實際問題中建立數(shù)學模型、解決實際問題。二、教學重、難點重點：掌握角的平分線的性質(zhì)和判定難點：理解性質(zhì)和判定的互

2、逆關(guān)系,并能正確運用它們解決問題三、教學目標1.知識與技能：掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，并會運用它們解決實際問題。2.過程與方法：通過讓學生經(jīng)歷動手實踐、合作交流、演繹推理的過程，培養(yǎng)學生的動手操作能力和邏輯推理能力，提高解決問題的能力。3.情感態(tài)度與價值觀：經(jīng)歷對角的平分線的性質(zhì)和判定的探索過程，發(fā)展應用數(shù)學知識的意識與能力，培養(yǎng)學生良好的學習態(tài)度及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。四、教學過程教學的流程圖是： （1）創(chuàng) 引設 入情 新景 知 （2）動 探手 究操 新作 知（3）初 鞏步 固運 新用 知（4）變 深式 化訓 新練 知（5）提 拓 升 展練 新 習 知（6）歸 布 納 置小 作結(jié) 業(yè) 1創(chuàng)設情景

3、，引入新知 在S區(qū)有一個貿(mào)易市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路，怎樣修才能使路最短？它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？S公路鐵路P在這里設計這樣一個實際問題：讓學生動手畫最短的路，從實際問題中抽象出點到直線的距離，從而第一次建立數(shù)學模型；然后以“這兩條最短的路有怎樣的數(shù)量關(guān)系”引入本節(jié)課的內(nèi)容，由此讓學生感知數(shù)學與實際生活是緊密相連的。2動手操作，探究新知 在這個環(huán)節(jié)中，安排了兩個活動。活動一：（1）你能否通過折疊的方式將AOB平分呢？（2）你能否進行第二次折疊，折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊）呢？（3）將折疊的圖形展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕

4、？你能得出什么結(jié)論？（4）這一結(jié)論，你能用數(shù)學知識來證明嗎?讓學生按這兩個步驟進行折紙活動，展開所折的圖形，觀察到：第一次折疊所得折痕是角的平分線，另兩條折痕則是角的平分線上的點到角的兩邊的距離?？梢钥闯鲞@兩個距離是相等的，同時由于不同的學生在第一條折痕上所取的點的位置不同，可以猜想出：角平分線上任意一點到角的兩邊的距離都是相等的。隨后，引導學生用所學知識對猜想進行證明。在折紙活動中，應重點關(guān)注：學生能否折出以第一條折痕為斜邊的直角三角形；而在證明的過程中，應重點引導學生結(jié)合圖形分析猜想的已知、求證。以及得出性質(zhì)之后，用符號語言加以表示。隨后安排這樣一組判斷題，將性質(zhì)的條件進行刪減:第一題只有

5、角平分線，第二題只有點到直線的距離；使得圖形看似相似，實則不同，目的是讓學生明確性質(zhì)的兩個條件缺一不可，從而加深對性質(zhì)的理解。練習一：判斷：（1） 如圖1,OP是AOB的平分線，則PE=PF（ ）圖1FEOBAP（2） 如圖2,PEOA于E，PFOB于F，則 PE=PF（ ）圖2FEOBAP（3） 在AOB的平分線上任取一點Q，點Q到OA的距離等于3cm,則點Q到OB距離等于3cm（ ）活動二：到這兒,學生可以利用角的平分線的性質(zhì)解釋“為什么引例中兩條最短的路相等”。然后改變引例問題的情景：如圖3，(1)要在S區(qū)建一集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，這個集貿(mào)市場應建于何處? (2)在(1)

6、的條件下,集貿(mào)市場要離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應建于何處?（在圖上標出它的位置，比例尺為1:20000）。S公路鐵路圖3學生利用所學知識可以畫出集貿(mào)市場的位置，并且會發(fā)現(xiàn)可以建無數(shù)個滿足條件的集貿(mào)市場，而這些集貿(mào)市場都建在公路與鐵路所成角的平分線上。從而得出另外一個猜想：到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上。得到這個猜想后，應同前面性質(zhì)的證明一樣重點引導學生結(jié)合圖形寫出猜想的已知、求證，讓學生獨立完成證明，從而得出判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。緊接著設計第二組判斷題，在第一組判斷題的基礎上，將條件進行改變，目的是讓學生鞏固角的平分線的判定，感受性質(zhì)與判定的區(qū)

7、別與聯(lián)系。練習二：判斷：圖4FEOBAP（1）如圖4，若PE=PF，則OP是AOB的平分線。( ) （2）如圖5，若PEOA于E，PFOB于F，則OP是AOB的平分線。( ) 圖5FEOBAP（3）已知Q到OA的距離等于3cm, 且Q到OB距離等于3cm，則Q在AOB的平分線上。（）3初步運用，鞏固新知在引例的基礎上進一步改變問題的情景：如圖，若要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到兩條公路和一條鐵路的距離都相等，請問集貿(mào)市場應建于何處？鐵路S公路公路學生利用前面所學的知識分析可以知道：在S區(qū)集貿(mào)市場的位置是其中兩條角平分線的交點，那么點P到三邊的距離一定相等嗎？從而引出例1。例1 如圖，ABC的角平

8、分線BM、CN相交于點P。（1）求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等。（2）求證：點P在BAC的平分線上NMBCAP在這個例題中,由于結(jié)論涉及到點到直線的距離，而學生又很少接觸到作輔助線的問題，因此，首先引導學生過點P向三邊作垂線段，然后利用角的平分線的性質(zhì)可以證出：PD=PE，PF=PE，從而得出點P到三邊的距離都相等。接著提出：點P在BAC的平分線上嗎？三角形的三條角平分線有什么關(guān)系呢？由于PD=PF，因此點P在BAC的平分線上，那么三角形的三條角平分線也就相交于一點。4變式訓練，深化新知將例題進行變式：變式1 如圖, 點P是ABC的兩個外角平分線，BM、CN的交點，求證：點P在BA

9、C的平分線上。PBCANM變式2 如圖, ABC的一個外角的平分線BM與BAC的平分線AN相交于點P，求證：點P在ABC另一個外角的平分線上。PBCAMN5提升練習 拓展新知 （1）拓展：在活動三的基礎上，將問題進一步開放： 如圖，若要建一個集貿(mào)市場，使它到兩條公路和一條鐵路的距離都相等，請問集貿(mào)市場應建于何處？公路鐵路公路在活動三中，學生已經(jīng)能夠在S區(qū)找到集貿(mào)市場的位置，那么此題中符合條件的集貿(mào)市場只有這一個嗎？通過例題和變式的學習，學生不難發(fā)現(xiàn)還有另外三個滿足條件的點，所以這個集貿(mào)市場可以建在這四個點所在的位置。（2）課外探究: 為了進一步培養(yǎng)學生綜合運用知識解決問題的能力，設計了這樣一個

10、探究活動：如圖：已知方格紙中每個小方格都是相同的正方形，AOB畫在方格紙上，OP是AOB的平分線。若將一個直角三角板的直角頂點放在OP上任意一點，并使兩直角邊與角的兩邊相交。請問直角三角板的直角頂點與交點的距離有怎樣的關(guān)系？請說明理由。AOB P6歸納小結(jié)，整理反思 （1）所學知識:角的平分線的性質(zhì)和判定（2）數(shù)學方法:過角的平分線上的點向角的兩邊作垂線段是解決有關(guān)角的平分線的問題時常用的方法 7布置作業(yè)（1）必做題教材：第23頁第4、5題；（2）選做是前面的課外拓展。教案說明本節(jié)課的內(nèi)容是人教版義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學八年級上冊第十一章第三節(jié)“角的平分線的性質(zhì)”（第二課時）

11、，下面將從以下幾個方面加以說明：1數(shù)學本質(zhì)：本節(jié)課圍繞現(xiàn)實生活中的實際問題采用“創(chuàng)設問題情境建立模型解釋、應用與拓展”的模式展開教學活動，讓學生經(jīng)歷角的平分線的性質(zhì)和判定的形成與初步應用過程，從而更好的理解性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系，增強應用數(shù)學知識的意識與解決實際問題的能力。2教學目標定位：本節(jié)課的重點是掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，而理解性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系，正確運用它們解決問題是本節(jié)課的難點。因此，我在教學中設計了三個活動，讓學生通過實際問題去發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，再利用已學知識加以證明，最后用這些數(shù)學知識回歸到解決實際問題中去。在活動中，學生通過相互交流、探討，經(jīng)歷動手操作、觀察、交流、歸納等過程，

12、幫助學生積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，發(fā)展有條理的思維及初步的演繹推理能力。同時在活動中，為學生留有探究和交流的空間，有利用于改變學生的學習方式，變被動學習為主動學習，提高學習的積極性。 因此，根據(jù)以上分析及課程標準的要求，我將從知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀三個方面確定教學目標。知識與技能掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，并會運用它們解決實際問題。過程與方法通過讓學生經(jīng)歷動手實踐、合作交流、演繹推理的過程，培養(yǎng)學生的動手操作能力和邏輯推理能力，提高解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀經(jīng)歷對角的平分線的性質(zhì)和判定的探索過程，發(fā)展應用數(shù)學知識的意識與能力，培養(yǎng)學生良好的學習態(tài)度及嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。3教材的地

13、位和作用：本節(jié)課是在學習了全等三角形及角的平分線的畫法后，進一步探究有關(guān)角的平分線的性質(zhì)。這一內(nèi)容不僅是全等三角形知識的運用和延續(xù)，更為后面證明線段相等、角相等的幾何證明提供了一種新的、更為簡單的證明方法。性質(zhì)和判定是一種互逆關(guān)系，教學時引導學生分析它們的題設、結(jié)論，通過比較，認識它們的區(qū)別和聯(lián)系，為今后學習互逆命題打下基礎。七年級下冊學生在畫三角形的三條角平分線時發(fā)現(xiàn)它們是相交于一點的，本節(jié)課通過例題的學習從理論上給出了證明。同時提供了一種證明三線共點的方法，為九年級學習內(nèi)切圓的圓心（也就是三角形的內(nèi)心）作了鋪墊。4教學診斷分析：（1）在折紙活動中，學生在折以第一條折痕為斜邊的直角三角形時遇

14、到很大困難，原因是他們不了解以第一條折痕為斜邊折的直角三角形是為了產(chǎn)生角的平分線上的點到角的兩邊的距離，為猜想出性質(zhì)作鋪墊。因此，這里我安排分組活動，讓學生在活動中相互交流，從而尋找正確的第二次折疊的方法。(2) 判定引入的問題學生很容易回答，但要從中發(fā)現(xiàn)判定這一結(jié)論則比較困難。 由于受性質(zhì)的影響，同時也不容易從題目中獲取有效的信息，因此在分析條件時會出現(xiàn)漏掉部分條件或條件、結(jié)論顛倒。針對這一情況，在此設計了“判定引入與引例在條件、結(jié)論方面有什么不同”這一問題，鼓勵學生在組內(nèi)相互探討、交流，以便在交流中發(fā)現(xiàn)判定引入的條件應有兩個“到公路、鐵路的距離”及“距離相等”，為得出判定創(chuàng)造條件，通過比較

15、也讓他們初步感悟性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系，為突破難點打下基礎， （3）例題引入中，學生很容易畫出滿足條件的集貿(mào)市場的位置，而利用性質(zhì)還是判定來解釋畫圖的依據(jù)大部分學生容易出現(xiàn)錯誤，原因是他們不能從題目中獲取相關(guān)信息，以及對性質(zhì)和判定的理解不透徹。所以更要引導學生相互交流共同探討，尋找出正確畫圖的依據(jù)。在例題的證明中，由于結(jié)論涉及到點到直線的距離，而條件中又沒有給出，因此應過交點向三邊作垂線段，從而利用性質(zhì)來進行證明。這是學生第一次接觸輔助線，接受起來比較難，所以要適時地引導學生分析為什么要作輔助線、怎樣作輔助線、如何敘述作輔助線的過程，尤其重點關(guān)注為什么要作輔助線的問題，這也是學生最難理解的。5

16、教法特點及預期效果分析：針對八年級學生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課采用啟發(fā)、引導式的教學方法，體現(xiàn)以教師為主導、學生為主體的新的課堂模式。以“問題”方式引導學生的活動和思考，以“變式”的形式使學生體會相關(guān)知識之間的聯(lián)系和整體性。具體如下：（1）問題情境：以“怎樣修到公路、鐵路距離最短的路”這一實際問題為切入點，激發(fā)學生的求知欲；接著在引例的基礎上以建集貿(mào)市場為主線，由在S區(qū)找出到一條鐵路和一條公路距離相等的點，進而引申出到兩條公路和一條鐵路距離都相等的點；最后拓展到找出所有滿足到兩條公路和一條鐵路距離相等的點。隨著情境的變化，問題層層加深，學生在熟悉的知識背景下逐一將問題解決，使得他們的思維螺

17、旋上升。（2）活動探究：由活動一的折紙活動探究出性質(zhì)；將引例的條件、結(jié)論互換得到活動二，從而探究出判定；最后在活動二的基礎上增加一條公路得到活動三，它是對性質(zhì)和判定的綜合運用。通過學生的活動和探究，讓他們逐步學會如何從實際問題中建立數(shù)學模型，增強應用數(shù)學的意識。（3）變式訓練：例一是對性質(zhì)和判定的綜合運用。對例題進行變式：將兩條內(nèi)角平分線變?yōu)閮蓷l外角平分線相交或一條外角、一條內(nèi)角平分線相交，相對應的結(jié)論還成立嗎？這樣既能使整節(jié)課的知識體系完整，又能讓學生掌握解決這一類問題的方法。通過一系列的問題設計，使得本節(jié)課的各種目標得以有效達成，學生在輕松、快樂的課堂氛圍中自主探索新知，這樣使得每位學生在

18、本節(jié)課中都能得到不同的收獲。最終實現(xiàn)“人人學有價值的數(shù)學、人人都能獲得必需的數(shù)學以及不同的人在數(shù)學上都能得到不同的發(fā)展”。點評李捷老師運用讓學生動手畫圖、折紙，合作探索、交流等多種學習方式，以激發(fā)學生興趣，調(diào)動學習積極性，引發(fā)數(shù)學思考為出發(fā)點設計和組織本節(jié)課的教學，讓學生經(jīng)歷了觀察、實驗、猜測、推理、驗證等活動過程。整節(jié)課在師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程中進行，以下特色和亮點，可供我們學習借鑒：1教學目標明確，符合課標、教材要求和學生實際李捷老師選擇的教學內(nèi)容和設計的問題，能緊緊圍繞課程標準和教材對角平分線性質(zhì)和判定的本質(zhì)要求，將教材中的折紙問題用引例（貿(mào)易市場問題）鋪墊、將教材中的集

19、貿(mào)市場建設問題細化為兩問等，充分考慮了學生的實際水平；在解決S區(qū)域內(nèi)集貿(mào)市場建設問題的基礎上，讓學生進一步思考“如果沒有S區(qū)域的限制，市場應建在何處？”等，充分體現(xiàn)了問題要求的層次性，面向全體學生。此外李捷老師對每個教學環(huán)節(jié)的學習和操作要求都非常清晰明確，使學生明白要研究和探索的問題，有力提高了學習活動的可操作性和有效性。2情境創(chuàng)設合理，提高學習興趣和探究欲望李捷老師充分利用教材資源，根據(jù)教材中的集貿(mào)市場建設問題，改編了已有市場建路、有三條路時集貿(mào)市場應建在何處等問題，將教學內(nèi)容用系列的問題串聯(lián)，既反映數(shù)學本質(zhì)，又使這節(jié)課有一個好的形態(tài)、好的結(jié)構(gòu)，讓學生在不斷地探索和解決問題中學習，提高了教學

20、的有效性和學習興趣。3合作交流有效，有助經(jīng)驗共享和問題本質(zhì)理解李捷老師這節(jié)課中，有兩處比較有效的師生合作交流，一處是在折紙活動后，學生按要求折出角平分線和角平分線上的點到角兩邊的“距離”，然后老師引導學生交流，觀察兩次折疊后形成的三條折痕，能得出什么結(jié)論？學生輕松得出：“距離相等”。隨后老師示范，說明折疊時取點的隨意性，取不同點時，都能得出“距離相等”這個同樣的結(jié)論，由此讓學生感悟：角平分線上的任意一點到角兩邊的距離相等。緊接著又采用問題：角平分線上有多少個點？引導學生思考并感受，角平分線上有無數(shù)個點，靠折紙不可能取遍所有點，體會用數(shù)學推理的方法證明猜想成立的必要性。當然這里如果老師能讓學生相互間交流折紙時取點是否相同，由此體會取點的任意性，會比老師再行示范折疊更加有效，并且能充分體現(xiàn)學生的主體性和合作的必要性。另一處有效的交流是在學生畫出S區(qū)內(nèi)到兩條公路和一條鐵路距離相等的集貿(mào)市場位置，并證明三角形兩條角平分線的交點到三角形三邊的距離相等之后，李捷老師引導學生交流S區(qū)內(nèi)到兩條公路和一條鐵路距離相等的集貿(mào)市場位置的不同畫法，通過討論，明確了三角形的三條角平分線相交于同一點；畫到三角形三邊距離相等的點只需畫兩條角平分線的交點等。這樣的交流，能使學生對問題的本質(zhì)有深刻的理解。4及時歸納提煉，達到基礎知識的落實和基本能力的提升李捷老師在這節(jié)課的每一個環(huán)