華中數(shù)學(xué)分析歷年考研真題

1、華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研真題以上是01年數(shù)分2003年數(shù)學(xué)分析（綜合卷）1.(16)求下列極限：(1). (2)在上連續(xù)，恒不為0，求2.(15)設(shè)在上二階可導(dǎo),過點(diǎn)與的直線與曲線相較于,其中,證明:在中至少存在一點(diǎn),使.3.(15) 證明:在上一致收斂.4.(15) 設(shè)是上的函數(shù)序列,滿足對(duì)每一個(gè)導(dǎo)函數(shù)存在并且滿足下列條件:(1)存在某一個(gè),使收斂；(2)導(dǎo)函數(shù)列在上一致收斂. 證明: 在上一致收斂.5.(14)設(shè)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)在可積,對(duì)任意的自然數(shù).記 , 證明:.2004年數(shù)學(xué)分析1.求下列極限(共50分,第1,2小題各10分,第3,4小題各15分) (1) (2) (3) (4)2

2、.(15)設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),若是在區(qū)間上的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：存在，使得3.(15)設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),證明:在內(nèi)存在使.4.(15)設(shè)在上黎曼可積,證明:在上也是黎曼可積的.5.(15)在上連續(xù),函數(shù)在上也連續(xù),且對(duì)中任意的和正整數(shù),有(),證明:.6.(15)設(shè)()在上連續(xù),且在上一致收斂與.證明:(1)存在,使對(duì)任何自然數(shù),有. (2)若為上連續(xù)函數(shù),則一致收斂于.7.(10)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證明:在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.8.(15)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),且,證明:由方程確定的隱函數(shù)在點(diǎn)取得極小值.2005年數(shù)學(xué)分析1.求下列極限或指定函數(shù)的值:

3、(1)(10分) (2)(10分) (3)(10分) (4)設(shè)在的鄰域二階可導(dǎo),且,求的值.(15分)2.(15)設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),且在上,證明:存在.3.(15)設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的一階導(dǎo)函數(shù),且,證明：.4.(13)設(shè)有方程.若證明:收斂; 設(shè),再證明是方程的唯一解.5.(13)證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在任何有窮區(qū)間上一致收斂.6.(13)設(shè)在上二階可導(dǎo),且,證明:.7.(13)設(shè)均為常數(shù),證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.8.(13)設(shè)在上黎曼可積，用可積準(zhǔn)則證明：函數(shù)在上黎曼可積.9.(10)設(shè)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),證明:在內(nèi)存在,使得2006年數(shù)學(xué)分析1.(30) (1). (2) 設(shè),求. (3

4、) . (4)設(shè),求. (5),其中. (6) 求,其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的正弦曲線有.2.(20)設(shè)在上可導(dǎo),且在上有界,證明:(1) 在上一致連續(xù). (2).(3)若存在，且，則在上至少有一個(gè)零點(diǎn)。3.(20)設(shè)在上連續(xù),(1)證明: 存在,使得.(2)試推測(cè)|:對(duì)任意正整數(shù),是否存在,使得,并證明你的結(jié)論.4.(10)設(shè)在上連續(xù),且,記, (1)求. (2)證明:在上是嚴(yán)格單調(diào)遞增.5.(10)證明: 若絕對(duì)收斂,則也絕對(duì)收斂.6.(15)設(shè)在上連續(xù),證明: (1)上不一致收斂. (2)上一致收斂的充要條件是.7.(10)設(shè)為上的次齊次函數(shù):對(duì),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),若方程確定了可微的隱函數(shù),證

5、明:必為一次齊次函數(shù).8,(20)設(shè)上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),證明:(1)對(duì)內(nèi)任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線L，總有，其中為L(zhǎng)的外法方向，是沿的方向?qū)?shù)，D是L圍成的有界閉區(qū)域; (2)為是的調(diào)和函數(shù)（即）的充要條件是對(duì)內(nèi)的任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線L，總有.9.(15)設(shè)是正整數(shù),給定方程,證明: (1)此方程僅有惟一的正根. (2).2007年數(shù)學(xué)分析1.(30) 計(jì)算題: (1) . (2) 設(shè),求. (3) .(4)設(shè)可微,且,令,求. (5),其中.(6) 求,其中是從點(diǎn)到點(diǎn)的下半圓周.2.(25)設(shè)在上可導(dǎo),且在上有界,證明: (1)在上一致連續(xù). (2)存在.(3)若將條件“在上有界”改為“和都存在”

6、,試問: 還能否推出在上一致連續(xù).如果能請(qǐng)證明你的結(jié)論，如果不能請(qǐng)舉反例. 3.(25)設(shè)在內(nèi)4階可導(dǎo), (1) 證明:若和都存在,則.(2) 若和都存在,是否能推出對(duì)任意的正整數(shù),都存在且為,請(qǐng)證明你的結(jié)論.4.(10)設(shè)在上連續(xù),且(可以為或),試證:.5.(15)設(shè),證明: 收斂收斂.6.(15)若單調(diào)遞減,且,證明:(1) 在上一致收斂,其中. (2) 在上一致收斂的充要條件是收斂.7.(15)設(shè)是由方程組所確定的二階連續(xù)可微隱函數(shù),其中有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù),證明:.8.(15)設(shè)上具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),證明:(1)對(duì)內(nèi)任意光滑簡(jiǎn)單閉曲面,總有,其中為的外法方向,是沿的方向?qū)?shù),是圍成的有

7、界閉區(qū)域; (2) 為是的調(diào)和函數(shù)（即）的充要條件是對(duì)內(nèi)的任意光滑簡(jiǎn)單閉曲線，總有.2008年數(shù)學(xué)分析1.(36)計(jì)算題: (1) (2) (3) 求曲線積分,其中為平面內(nèi)任意一條不經(jīng)過原點(diǎn)的正向光滑封閉簡(jiǎn)單曲線.2.(15)設(shè)函數(shù)在上具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且存在有限,是一個(gè)常數(shù),證明:在上一致連續(xù).3.(15)設(shè)和在上連續(xù)且在內(nèi)可導(dǎo),試證:在內(nèi)存在點(diǎn),使得.4.(20)證明:函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂,但不一致收斂,而和函數(shù)在上可以任意次求導(dǎo).5.(20)證明:方程在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以唯一確定隱函數(shù),并計(jì)算的值.6.(14)證明:若函數(shù)在上無界,則必存在上的某點(diǎn),使得在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)無界.7.(12

8、)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)可微且,試證:(1)存在中的子列使得當(dāng)時(shí), 且(2)存在某常數(shù),使得8.(18)設(shè)為有界閉區(qū)域,且具有光滑邊界.(1)設(shè)是上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),試證:,其中,為的梯度, 為沿區(qū)域的邊界的外法向的方向?qū)?shù);(2)設(shè)在上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),試證:;(3)設(shè)在上具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足若在上恒為零記,試證在上是減函數(shù).2009年數(shù)學(xué)分析1.(30)計(jì)算題: (1) (2) 計(jì)算二重積分,其中是由圍成的區(qū)域.(3) 求曲線積分其中為平面內(nèi)任意一條不經(jīng)過點(diǎn)得正向光滑封閉簡(jiǎn)單曲線2.(12)設(shè)函數(shù)定義在開區(qū)間內(nèi),若對(duì)任意的,都有存在,且和也存在，則在開區(qū)間內(nèi)有界.3.(12)證明:含

9、參量反常積分在上一致收斂,但在內(nèi)不一致收斂.4.(20)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可微,且存在,使得,證明: (1) 在內(nèi)一致連續(xù). (2)存在.5.(20)證明下面結(jié)論: (1)若在上連續(xù),則. (2)若在上連續(xù)可微,則.6.(18)設(shè),討論在原點(diǎn)處的連續(xù)性,偏導(dǎo)的存在性以及可微性.7.(20)設(shè)函數(shù)列中的每一項(xiàng)函數(shù)都是上的單調(diào)函數(shù),試證明:(1)若和都絕對(duì)收斂,則在上一致收斂.(2)若每一項(xiàng)函數(shù)的單調(diào)性相同,且和都收斂，則在上一致收斂.8.(18)設(shè)連續(xù),證明:(1)證明:,其中.(2)記函數(shù),其中,證明:球面為函數(shù)的等值面,即在球面上恒為常數(shù),并求出此常數(shù).2010年數(shù)學(xué)分析1.(30)計(jì)算題: (1)設(shè)函數(shù)定義在上,滿足:,求. (2) 設(shè),求的值.(3) 求曲線積分,其中為平面與球面相交的交線,方向從軸正向看是逆時(shí)針的.2.(12)設(shè),證明:當(dāng)時(shí), 在上一致連續(xù); 當(dāng)時(shí), 在上不一致連續(xù).3.(12)證明:含參量反常積分在上一致收斂,但在內(nèi)不一致收斂.4.(20)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)二階可導(dǎo),且過點(diǎn)和的直線與曲線相交于點(diǎn)(),證明:存在,使得.5.(20)設(shè)可微函數(shù)列在上逐點(diǎn)收斂,且對(duì)任意存在的鄰域,使得在上一致有界,證明:(