有趣的數(shù)學(xué)定理

1、數(shù)學(xué)中竟然還有這樣的定理！ “醉鬼可以找到回家的路，喝醉的小鳥可能再也回不了家了”?！耙坏犊偪梢云椒忠粋€(gè)給定的火腿三明治”。不知道我在講什么？我在談數(shù)學(xué)定理呢。誰說數(shù)學(xué)是枯燥的？今天死理性派就來給你介紹幾個(gè)與生活息息相關(guān)并且很有愛的數(shù)學(xué)定理。誰說數(shù)學(xué)是枯燥的？在數(shù)學(xué)里，有很多歡樂而又深刻的數(shù)學(xué)定理。這些充滿生活氣息的數(shù)學(xué)定理，不但深受數(shù)學(xué)家們的喜愛，在數(shù)學(xué)迷的圈子里也廣為流傳。喝醉的小鳥定理：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥則可能永遠(yuǎn)也回不了家。假設(shè)有一條水平直線，從某個(gè)位置出發(fā)，每次有 50% 的概率向左走1米，有50%的概率向右走1米。按照這種方式無限地隨機(jī)游走下去，最終能回到出發(fā)點(diǎn)

2、的概率是多少？答案是100% 。在一維隨機(jī)游走過程中，只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，我們最終總能回到出發(fā)點(diǎn)。現(xiàn)在考慮一個(gè)喝醉的酒鬼，他在街道上隨機(jī)游走。假設(shè)整個(gè)城市的街道呈網(wǎng)格狀分布，酒鬼每走到一個(gè)十字路口，都會(huì)概率均等地選擇一條路（包括自己來時(shí)的那條路）繼續(xù)走下去。那么他最終能夠回到出發(fā)點(diǎn)的概率是多少呢？答案也還是 100% 。剛開始，這個(gè)醉鬼可能會(huì)越走越遠(yuǎn)，但最后他總能找到回家路。不過，醉酒的小鳥就沒有這么幸運(yùn)了。假如一只小鳥飛行時(shí)，每次都從上、下、左、右、前、后中概率均等地選擇一個(gè)方向，那么它很有可能永遠(yuǎn)也回不到 出發(fā)點(diǎn)了。事實(shí)上，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率只有大約 34% 。這個(gè)定

3、理是著名數(shù)學(xué)家波利亞（George Pólya）在 1921 年證明的。隨著維度的增加，回到出發(fā)點(diǎn)的概率將變得越來越低。在四維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是 19.3% ，而在八維空間中，這個(gè)概率只有 7.3% 。“你在這里”定理：把一張當(dāng)?shù)氐牡貓D平鋪在地上，則總能在地圖上找到一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)下面的地上的點(diǎn)正好就是它在地圖上所表示的位置。也就是說，如果在商場(chǎng)的地板上畫了一張整個(gè)商場(chǎng)的地圖，那么你總能在地圖上精確地作一個(gè)“你在這里”的標(biāo)記。1912 年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾（Luitzen Brouwer）證明了這么一個(gè)定理：假設(shè) D 是某個(gè)圓盤中的點(diǎn)集，f 是一個(gè)從 D 到它自身

4、的連續(xù)函數(shù)，則一定有一個(gè)點(diǎn) x ，使得 f(x) = x 。換句話說，讓一個(gè)圓盤里的所有點(diǎn)做連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，則總有一個(gè)點(diǎn)可以正好回到運(yùn)動(dòng)之前的位置。這個(gè)定理叫做布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理（Brouwer fixed point theorem）。除了上面的“地圖定理”，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理還有很多其他奇妙的推論。如果取兩張大小相同的紙，把其中一張紙揉成一團(tuán)之后放在另一張紙上，根據(jù)布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理，紙團(tuán)上一定 存在一點(diǎn)，它正好位于下面那張紙的同一個(gè)點(diǎn)的正上方。這個(gè)定理也可以擴(kuò)展到三維空間中去：當(dāng)你攪拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一個(gè)點(diǎn)，它在攪拌前后的位置相同（雖然這個(gè)點(diǎn)在攪拌過程中可 能到過別的地方）。不能

5、撫平的毛球定理：你永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛。想象一個(gè)表面長(zhǎng)滿毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發(fā)一樣的旋嗎？拓?fù)鋵W(xué)告訴你，這是辦不到的。這叫做毛球定理（hairy ball theorem），它也是由布勞威爾首先證明的。用數(shù)學(xué)語言來說就是，在一個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場(chǎng)。這個(gè)定理可以推廣到更高維的空間：對(duì)于任意一個(gè)偶數(shù)維的球面，連續(xù)的單位向量場(chǎng)都是不存在的。毛球定理在氣象學(xué)上有一個(gè)有趣的應(yīng)用：由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是連續(xù)的，因此由毛球定理，地球上總會(huì)有一個(gè)風(fēng)速為 0 的地方，也就是說氣旋和風(fēng)眼是不可避免的。氣候完全相同的另一端定理：在任意時(shí)刻，

6、地球上總存在對(duì)稱的兩點(diǎn)，他們的溫度和大氣壓的值正好都相同。波蘭數(shù)學(xué)家烏拉姆（Stanisaw Marcin Ulam）曾經(jīng)猜想，任意給定一個(gè)從 n 維球面到 n 維空間的連續(xù)函數(shù)，總能在球面上找到兩個(gè)與球心相對(duì)稱的點(diǎn)，他們的函數(shù)值是相同的。1933 年，波蘭數(shù)學(xué)家博蘇克（Karol Borsuk）證明了這個(gè)猜想，這就是拓?fù)鋵W(xué)中的博蘇克-烏拉姆定理（BorsukUlam theorem）。博蘇克-烏拉姆定理有很多推論，其中一個(gè)推論就是，在地球上總存在對(duì)稱的兩點(diǎn)，他們的溫度和大氣壓的值正好都相同（假設(shè)地球表面各地的溫度差異和大氣壓差異是連續(xù)變化的）。這是因?yàn)?，我們可以把溫度值和大氣壓值所有可能的組

7、合看成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，于是地球表面各點(diǎn)的溫度和大氣壓變化情況就可以看作是二維球面到二維平面的函數(shù)，由博蘇克-烏拉姆定理便可推出，一定存在兩個(gè)函數(shù)值相等的對(duì)稱點(diǎn)。當(dāng) n = 1 時(shí)，博蘇克-烏拉姆定理則可以表述為，在任一時(shí)刻，地球的赤道上總存在溫度相等的兩個(gè)點(diǎn)。對(duì)于這個(gè)弱化版的推論，我們有一個(gè)非常直觀的證明方法：假設(shè)赤道上有 A、B 兩個(gè)人，他們站在關(guān)于球心對(duì)稱的位置上。如果此時(shí)他們所在地方的溫度相同，問題就已經(jīng)解決了。下面我們只需要考慮他們所在地點(diǎn)的溫度一高一低的情況。不妨假設(shè)，A 所在的地方是 10 度，B 所在的地方是 20 度吧?，F(xiàn)在，讓兩人以相同的速度相同的方向沿著赤道旅行，保持

8、兩人始終在對(duì)稱的位置上。假設(shè)在此過程中，各地的溫度均不變。旅行過程中，兩人不斷報(bào)出自己 當(dāng)?shù)氐臏囟取５鹊絻扇硕辑h(huán)行赤道半周后，A 就到了原來 B 的位置，B 也到了 A 剛開始時(shí)的位置。在整個(gè)旅行過程中，A 所報(bào)的溫度從 10 開始連續(xù)變化（有可能上下波動(dòng)甚至超出 10 到 20 的范圍），最終變成了 20；而 B 經(jīng)歷的溫度則從 20 出發(fā)，最終連續(xù)變化到了 10。那么，他們所報(bào)的溫度值在中間一定有“相交”的一刻，這樣一來我們也就找到了赤道上兩個(gè)溫度相等的對(duì)稱點(diǎn)。平分火腿三明治定理：任意給定一個(gè)火腿三明治，總有一刀能把它切開，使得火腿、奶酪和面包片恰好都被分成兩等份。而且更有趣的是，這個(gè)定理的名字真的就叫做“火腿三明治定理”（ham sandwich theorem）。它是由數(shù)學(xué)家亞瑟斯通（Arthur Stone）和約翰圖基（John Tukey）在 1942 年證明的，在測(cè)度論中有著非常重要的意義?；鹜热髦味ɡ砜梢詳U(kuò)展到 n 維的情況：如果在 n 維空間中有