數(shù)學八年級下二次根式復習教學案

1、二 次 根 式 復習課【知識點匯總】知識點一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項式、多項式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因為負數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識點二：取值范圍1.    二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.    二次根式無意義的條件：因負數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當a0時，沒有意義。知識點三：二次根式（）的非負性（）表

2、示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負數(shù)，即0（）。注：因為二次根式（）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即0（），這個性質(zhì)也就是非負數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個性質(zhì)在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識點四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.知識點五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個數(shù)的平方的算術(shù)平

3、方根等于這個數(shù)的絕對值。注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡。知識點六：與的異同點1、不同點：與表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實數(shù)，0，負實數(shù)。但與都是非負數(shù)，即，。因而它的運算的結(jié)果是有差別的， ，而2、相同點：當被開方數(shù)都是非負數(shù)，即時，=；時，無意義，而.【歷年考點例析】考點1、無理數(shù)知識回顧

4、：無限不循環(huán)的小數(shù)，叫做無理數(shù)。知識特點：常見的無理數(shù)：1、以及的有理數(shù)倍數(shù)。2、；考查題型例1、寫出一個有理數(shù)和一個無理數(shù)，使它們都是小于1的數(shù) 。（08年自貢市）分析：-1的絕對值是1，所以，小于1的數(shù)的絕對值一定要大于1，只要符合這一點，就可以了，所以，本題的答案不是唯一的。解：小于1的有理數(shù)-4、-5等等，小于1的無理數(shù)-、-、-等等。例2、從實數(shù)，0，4中，挑選出的兩個數(shù)都是無理數(shù)的為（ ）A. ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08年湖北省宜昌市）分析：根據(jù)常見的無理數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)只有-和是無理數(shù)，因此，選項D是正確的。解：選D。例3、如圖1所示，A，B，C，D四張卡片上分別寫

5、有四個實數(shù)，從中任取兩張卡片A B C D（圖1）（1）請列舉出所有可能的結(jié)果（用字母A，B，C，D表示）；（2）求取到的兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率（08嘉興市）、分析：用列表的方式，把所有的結(jié)果找出來，后根據(jù)無理數(shù)的定義，作出判斷。解：（1）仔細觀察上面的四個數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)B、D是無理數(shù)，A和C是有理數(shù)，結(jié)果列表如下：2仔細觀察上表，一共有12種可能性，期中都是無理數(shù)的可能性有2種，因此，兩個數(shù)都是無理數(shù)的概率為：?？键c2、平方根知識回顧：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個數(shù)x叫做a的平方根。記作±。讀作“正負根號a”知識特點：1、 被開方數(shù)a，滿足的關系式是：a0；

6、2、平方根x與被開方數(shù)a，滿足的關系式是：x=±；3、被開方數(shù)a與平方根x，滿足的關系式是：a= x2= （±）2= 2= （-）2；4、兩個平方根之間滿足的關系式是：+（-）=0，即兩個平方根互為相反數(shù)，所以，他們的和為0.如下說法都是正確的： a的平方根是±；是a的平方根；-是a的平方根；±是a的平方根；其中a是非負數(shù)。此外，0的平方根是0這個特例要記清楚?？疾轭}型例4、2的平方根是（ ）A4BCD（08年南京市）分析：根據(jù)平方根的特點，正數(shù)有兩個平方根，且常用“±”來體現(xiàn)“兩個”。解：選D。例5、9的算術(shù)平方根是A. ±3 B.

7、 3 C. 3 D. （08恩施自治州）分析：算術(shù)平方根是平方根中的正數(shù)根，只有一個，所以，選項A、C都是不正確的；因為，32=9，所以，9的算數(shù)平方根是3。解：選B.例6、化簡：=（ ） A2 B2C4D4（08年甘肅省白銀市）分析：理解的意義是解題的關鍵。的意義實際上就是求正數(shù)4的算術(shù)平方根，所以，應該只有一個，為正數(shù)，并且這個數(shù)的平方應該等于4，這樣只有選項A符合要求。解：選A?；?_。(08年安徽省)分析：因為，（-4）2=16，的意義是求正數(shù)16的算數(shù)平方根，因為，42=16，所以，=4.考點3、二次根式知識回顧：形如（a0）的式子，叫做二次根式。知識特點：1、被開放數(shù)a是一個非負

8、數(shù)；2、二次根式是一個非負數(shù)，即0；3、有限個二次根式的和等于0，則每個二次根式的被開方數(shù)必須是0.考查題型例7、若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是A.x>-5B.x<-5C.x-5D.x-5 (08常州市)分析：在這里二次根式的被開方數(shù)是x+5，要想使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須滿足條件：x+50，所以，x-5，因此，選項D是正確的。解：選D。例8、若，則 （08年遵義市）分析：因為，|a-2|和都是非負數(shù)，并且它們的和是0，所以，|a-2|=0且=0，所以，a=2，b=3，所以，a2-b=4-3=1.例9、若實數(shù)滿足，則xy的值是 (08年寧波市)分析：因為，和都是非負

9、數(shù)，并且它們的和是0，所以，=0且=0，所以，x=-2，y=，所以，xy=-2.考點4、二次根式的化簡與計算知識回顧：二次根式的化簡，實際上就是把二次根式化成最簡二次根式，然后，通過合并同類二次根式的方法進行二次根式的加減運算。知識特點：二次根式的加減運算：a+b=（a+b），（m0）；二次根式的乘法運算：.=，( a0, b0)；二次根式的除法運算：÷= ，( a0, b0)；二次根式的乘方運算：=a，( a0)；二次根式的開方運算：=考查題型例10、下列計算正確的是（ ）ABCD（08年聊城市）分析：這就是二次根式化簡的綜合題目，2與4的被開方數(shù)不相同，所以，它們不是同類二次根式

10、，所以，不能進行合并計算，所以，A是錯誤的；因為，所以，B 也是錯誤的；因為，÷=，所以，C是正確的；根據(jù)二次根式的開方公式，得到D是錯誤的。解：選C。例11、若，則xy的值為 ( )A B C D（08年大連市）分析：xy=（）（）=-=a-b，所以，D是正確的。解：選D?？键c5、最簡二次根式知識回顧：滿足下列條件的二次根式，叫做最簡二次根式： (1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； (2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。知識特點：1、最簡二次根式中一定不含有分母；2、對于數(shù)或者代數(shù)式，它們不能在寫成an×m的形式?？疾轭}型例12、下列根式中屬最簡二次根式的是（）

11、A. B. C. D. （08年湖北省荊州市）分析：因為B中含有分母，所以B不是最簡二次根式；而8=22×2，27=32×3，所以，選項C、D都不是最簡二次根式。所以，只有選項A是正確的。解：選A?？键c6、估算例13、估計的運算結(jié)果應在（ ）（08年蕪湖市）分析：因為，459，所以，所以，23,所以，426,所以，4+42+46+4,所以，82+410,也就是在8到9之間.解:選擇C.【考試題型歸納】一. 基本概念型例1.二次根式中，字母的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 析解：形如的式子叫二次根式，其中被開方數(shù)a的取值范圍是。則二次根式中，即，故選C。說明：注意二次

12、根式中被開方數(shù)是非負數(shù)這個隱含條件是解題關鍵。例2.在下列根式中，最簡二次根式有（ ）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個析解：最簡二次根式的概念是（1）被開方式的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。而。所以最簡二次根式有兩個，故選C。例3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 析解：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式。而，所以與是同類二次根式的是，故選B。二. 性質(zhì)運用型例4.已知，則化簡的結(jié)果是（ ）A. B. C. D. 析解：，因為，所以。故選D例5.化簡得（ ）。A. 2B.

13、C. D. 析解：因為，所以故。故選A。說明：以上二例主要應用二次根式的性質(zhì)：（1）。（2）。正確應用二次根式的性質(zhì)是解決本題的關鍵。三. 結(jié)論開放型例6.先將化簡，然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。析解：這是一道結(jié)論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮和創(chuàng)造空間。但要注意x的取值范圍是。原式取，原式。四. 大小比較型例7. 用計算器計算，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷，與，（n為大于1的整數(shù)）的值的大小關系為（ ）A. B. C. D. 與n的取值有關析解：利用計算器計算得：，從而可以推斷，故選C。例8. 設，則a，b，c的大小關系是（ ）A. B. C. D. 析解：，同理。因為，所以。故選A

14、。五. 判斷正誤型例9. 化簡時，甲的解法是：，乙的解法是：，以下判斷正確的是（ ）A. 甲的解法正確，乙的解法不正確B. 甲的解法不正確，乙的解法正確C. 甲、乙的解法都正確D. 甲、乙的解法都不正確析解：甲是將分子和分母同乘以進行分母有理化，乙是利用進行約分，所以二人都是正確的，故選C。例10. 對于題目“化簡并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同。甲的解答是：；乙的解答是：。誰的解答是錯誤的？為什么？析解：乙的解答是錯誤的。因為當時，所以，而應當是。六. 規(guī)律探索型例11. 細心觀察圖形，認真分析各式，然后解答問題。；（1）請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律。（2）推算出的長

15、。（3）求出的值。析解：（1）通過類比，可推知（2）。（3）七. 計算說理型例12. 有這樣一道題，計算：的值，其中，某同學把“”錯抄成“”，但他的計算結(jié)果是正確的。請回答這是怎么回事？試說明理由。析解：這是一道說理型試題，既然x的值取錯，計算結(jié)果仍是正確。那么可以猜測此二次根式化簡后與x的值無關。這時應從二次根式的化簡入手，揭開它神秘的面紗。原式八. 數(shù)形結(jié)合型例13. 如圖1，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)有（ ）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個圖1析解：由題意知，。所以邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是2個，故選C。例14. “數(shù)軸上的點并不

16、都表示有理數(shù)，如圖2中數(shù)軸上的點P所表示的數(shù)是”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學思想方法叫做（ ）圖2A. 代入法B. 換元法C. 數(shù)形結(jié)合D. 分類討論析解：本題“形”“數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”故選C。九. 閱讀理解型例15. 我國古代數(shù)學家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為：（其中a、b、c為三角形的三邊長，s為面積）。而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：（其中）（1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，試分別運用公式和公式，計算該三角形的面積s；（2）你能否由公式推導出公式？請試試。析解

17、：（1）又，（2）【解題策略】 一、二次根式的定義 例1 函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ） 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負數(shù)。答案為A。 例2 函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ） 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負數(shù)，還應特別注意分式的分母不能為零。答案為：C。 二、二次根式的性質(zhì) 例3 若，則xy的值等于（ ） A. -6B. -2C. 2D. 6 解題策略：緊扣二次根式是一個非負數(shù)的性質(zhì)，可以得到：，故。答案為：A 例4 如果，那么x的取值范圍是（ ） 解題策略：運用二次根式是一個非負數(shù)的性質(zhì)知，。答案為C。 例5 若b<0，化簡的結(jié)果是（ ） 解題策略

18、：緊緊抓住二次根式被開方數(shù)必須是非負數(shù)，由二次根式的性質(zhì) 答案為：C 三、最簡二次根式 例6 把二次根式化成最簡二次根式為_。 例7 下列各式中屬于最簡二次根式的是（ ） 解題策略：最簡二次根式必須滿足下列兩個條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 例6的答案為：，例7的答案為：A。 四、同類二次根式 例8 在下列二次根式中與是同類二次根式的是（ ） 例9 在下列各組根式中，是同類二次根式的是（ ） 解題策略：緊扣定義：化成最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。例8的答案為A，例9的答案為B。 五、二次根式的化簡運算 例10 以上推導中錯誤在第（ ）步 A. (1)B. (2)C. (3)D. (4) 解題策略：緊扣二次根式的性質(zhì)是一個非負數(shù)，第（2）步是一個負數(shù)，是一個正數(shù)，答案為B。 例11 計算 解題策略：二次根式的有關概念是二次根式化簡與運