數(shù)學(xué)八年級(jí)下二次根式復(fù)習(xí)教學(xué)案

1、二 次 根 式 復(fù)習(xí)課【知識(shí)點(diǎn)匯總】知識(shí)點(diǎn)一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍1.    二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.    二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí)，沒有意義。知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表

2、示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平

3、方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn)。知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的， ，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.【歷年考點(diǎn)例析】考點(diǎn)1、無理數(shù)知識(shí)回顧

4、：無限不循環(huán)的小數(shù)，叫做無理數(shù)。知識(shí)特點(diǎn)：常見的無理數(shù)：1、以及的有理數(shù)倍數(shù)。2、；考查題型例1、寫出一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無理數(shù)，使它們都是小于1的數(shù) 。（08年自貢市）分析：-1的絕對(duì)值是1，所以，小于1的數(shù)的絕對(duì)值一定要大于1，只要符合這一點(diǎn)，就可以了，所以，本題的答案不是唯一的。解：小于1的有理數(shù)-4、-5等等，小于1的無理數(shù)-、-、-等等。例2、從實(shí)數(shù)，0，4中，挑選出的兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)的為（ ）A. ，0 B. ，4 C. ，4 D. ，（08年湖北省宜昌市）分析：根據(jù)常見的無理數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)只有-和是無理數(shù)，因此，選項(xiàng)D是正確的。解：選D。例3、如圖1所示，A，B，C，D四張卡片上分別寫

5、有四個(gè)實(shí)數(shù)，從中任取兩張卡片A B C D（圖1）（1）請(qǐng)列舉出所有可能的結(jié)果（用字母A，B，C，D表示）；（2）求取到的兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)的概率（08嘉興市）、分析：用列表的方式，把所有的結(jié)果找出來，后根據(jù)無理數(shù)的定義，作出判斷。解：（1）仔細(xì)觀察上面的四個(gè)數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)B、D是無理數(shù)，A和C是有理數(shù)，結(jié)果列表如下：2仔細(xì)觀察上表，一共有12種可能性，期中都是無理數(shù)的可能性有2種，因此，兩個(gè)數(shù)都是無理數(shù)的概率為：。考點(diǎn)2、平方根知識(shí)回顧：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根。記作±。讀作“正負(fù)根號(hào)a”知識(shí)特點(diǎn)：1、 被開方數(shù)a，滿足的關(guān)系式是：a0；

6、2、平方根x與被開方數(shù)a，滿足的關(guān)系式是：x=±；3、被開方數(shù)a與平方根x，滿足的關(guān)系式是：a= x2= （±）2= 2= （-）2；4、兩個(gè)平方根之間滿足的關(guān)系式是：+（-）=0，即兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，所以，他們的和為0.如下說法都是正確的： a的平方根是±；是a的平方根；-是a的平方根；±是a的平方根；其中a是非負(fù)數(shù)。此外，0的平方根是0這個(gè)特例要記清楚?？疾轭}型例4、2的平方根是（ ）A4BCD（08年南京市）分析：根據(jù)平方根的特點(diǎn)，正數(shù)有兩個(gè)平方根，且常用“±”來體現(xiàn)“兩個(gè)”。解：選D。例5、9的算術(shù)平方根是A. ±3 B.

7、 3 C. 3 D. （08恩施自治州）分析：算術(shù)平方根是平方根中的正數(shù)根，只有一個(gè)，所以，選項(xiàng)A、C都是不正確的；因?yàn)椋?2=9，所以，9的算數(shù)平方根是3。解：選B.例6、化簡(jiǎn)：=（ ） A2 B2C4D4（08年甘肅省白銀市）分析：理解的意義是解題的關(guān)鍵。的意義實(shí)際上就是求正數(shù)4的算術(shù)平方根，所以，應(yīng)該只有一個(gè)，為正數(shù)，并且這個(gè)數(shù)的平方應(yīng)該等于4，這樣只有選項(xiàng)A符合要求。解：選A。化簡(jiǎn)=_。(08年安徽省)分析：因?yàn)?，?4）2=16，的意義是求正數(shù)16的算數(shù)平方根，因?yàn)椋?2=16，所以，=4.考點(diǎn)3、二次根式知識(shí)回顧：形如（a0）的式子，叫做二次根式。知識(shí)特點(diǎn)：1、被開放數(shù)a是一個(gè)非負(fù)

8、數(shù)；2、二次根式是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0；3、有限個(gè)二次根式的和等于0，則每個(gè)二次根式的被開方數(shù)必須是0.考查題型例7、若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是A.x>-5B.x<-5C.x-5D.x-5 (08常州市)分析：在這里二次根式的被開方數(shù)是x+5，要想使式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,必須滿足條件：x+50，所以，x-5，因此，選項(xiàng)D是正確的。解：選D。例8、若，則 （08年遵義市）分析：因?yàn)椋瑋a-2|和都是非負(fù)數(shù)，并且它們的和是0，所以，|a-2|=0且=0，所以，a=2，b=3，所以，a2-b=4-3=1.例9、若實(shí)數(shù)滿足，則xy的值是 (08年寧波市)分析：因?yàn)椋投际欠秦?fù)

9、數(shù)，并且它們的和是0，所以，=0且=0，所以，x=-2，y=，所以，xy=-2.考點(diǎn)4、二次根式的化簡(jiǎn)與計(jì)算知識(shí)回顧：二次根式的化簡(jiǎn)，實(shí)際上就是把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后，通過合并同類二次根式的方法進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算。知識(shí)特點(diǎn)：二次根式的加減運(yùn)算：a+b=（a+b），（m0）；二次根式的乘法運(yùn)算：.=，( a0, b0)；二次根式的除法運(yùn)算：÷= ，( a0, b0)；二次根式的乘方運(yùn)算：=a，( a0)；二次根式的開方運(yùn)算：=考查題型例10、下列計(jì)算正確的是（ ）ABCD（08年聊城市）分析：這就是二次根式化簡(jiǎn)的綜合題目，2與4的被開方數(shù)不相同，所以，它們不是同類二次根式

10、，所以，不能進(jìn)行合并計(jì)算，所以，A是錯(cuò)誤的；因?yàn)?，所以，B 也是錯(cuò)誤的；因?yàn)椋?#247;=，所以，C是正確的；根據(jù)二次根式的開方公式，得到D是錯(cuò)誤的。解：選C。例11、若，則xy的值為 ( )A B C D（08年大連市）分析：xy=（）（）=-=a-b，所以，D是正確的。解：選D?？键c(diǎn)5、最簡(jiǎn)二次根式知識(shí)回顧：滿足下列條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式： (1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式； (2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。知識(shí)特點(diǎn)：1、最簡(jiǎn)二次根式中一定不含有分母；2、對(duì)于數(shù)或者代數(shù)式，它們不能在寫成an×m的形式。考查題型例12、下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是（）

11、A. B. C. D. （08年湖北省荊州市）分析：因?yàn)锽中含有分母，所以B不是最簡(jiǎn)二次根式；而8=22×2，27=32×3，所以，選項(xiàng)C、D都不是最簡(jiǎn)二次根式。所以，只有選項(xiàng)A是正確的。解：選A?？键c(diǎn)6、估算例13、估計(jì)的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（ ）（08年蕪湖市）分析：因?yàn)椋?59，所以，所以，23,所以，426,所以，4+42+46+4,所以，82+410,也就是在8到9之間.解:選擇C.【考試題型歸納】一. 基本概念型例1.二次根式中，字母的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 析解：形如的式子叫二次根式，其中被開方數(shù)a的取值范圍是。則二次根式中，即，故選C。說明：注意二次

12、根式中被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這個(gè)隱含條件是解題關(guān)鍵。例2.在下列根式中，最簡(jiǎn)二次根式有（ ）A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)析解：最簡(jiǎn)二次根式的概念是（1）被開方式的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。而。所以最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)，故選C。例3.下列根式中，與是同類二次根式的是（ ）A. B. C. D. 析解：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。而，所以與是同類二次根式的是，故選B。二. 性質(zhì)運(yùn)用型例4.已知，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A. B. C. D. 析解：，因?yàn)椋?。故選D例5.化簡(jiǎn)得（ ）。A. 2B.

13、C. D. 析解：因?yàn)?，所以故。故選A。說明：以上二例主要應(yīng)用二次根式的性質(zhì)：（1）。（2）。正確應(yīng)用二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵。三. 結(jié)論開放型例6.先將化簡(jiǎn)，然后自選一個(gè)合適的x值，代入化簡(jiǎn)后的式子求值。析解：這是一道結(jié)論開放題，它留給我們較大的發(fā)揮和創(chuàng)造空間。但要注意x的取值范圍是。原式取，原式。四. 大小比較型例7. 用計(jì)算器計(jì)算，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，判斷，與，（n為大于1的整數(shù)）的值的大小關(guān)系為（ ）A. B. C. D. 與n的取值有關(guān)析解：利用計(jì)算器計(jì)算得：，從而可以推斷，故選C。例8. 設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 析解：，同理。因?yàn)?，所以。故選A

14、。五. 判斷正誤型例9. 化簡(jiǎn)時(shí)，甲的解法是：，乙的解法是：，以下判斷正確的是（ ）A. 甲的解法正確，乙的解法不正確B. 甲的解法不正確，乙的解法正確C. 甲、乙的解法都正確D. 甲、乙的解法都不正確析解：甲是將分子和分母同乘以進(jìn)行分母有理化，乙是利用進(jìn)行約分，所以二人都是正確的，故選C。例10. 對(duì)于題目“化簡(jiǎn)并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同。甲的解答是：；乙的解答是：。誰的解答是錯(cuò)誤的？為什么？析解：乙的解答是錯(cuò)誤的。因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，而應(yīng)當(dāng)是。六. 規(guī)律探索型例11. 細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題。；（1）請(qǐng)用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律。（2）推算出的長(zhǎng)

15、。（3）求出的值。析解：（1）通過類比，可推知（2）。（3）七. 計(jì)算說理型例12. 有這樣一道題，計(jì)算：的值，其中，某同學(xué)把“”錯(cuò)抄成“”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的。請(qǐng)回答這是怎么回事？試說明理由。析解：這是一道說理型試題，既然x的值取錯(cuò)，計(jì)算結(jié)果仍是正確。那么可以猜測(cè)此二次根式化簡(jiǎn)后與x的值無關(guān)。這時(shí)應(yīng)從二次根式的化簡(jiǎn)入手，揭開它神秘的面紗。原式八. 數(shù)形結(jié)合型例13. 如圖1，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)有（ ）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)圖1析解：由題意知，。所以邊長(zhǎng)為無理數(shù)的邊數(shù)是2個(gè)，故選C。例14. “數(shù)軸上的點(diǎn)并不

16、都表示有理數(shù)，如圖2中數(shù)軸上的點(diǎn)P所表示的數(shù)是”，這種說明問題的方式體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法叫做（ ）圖2A. 代入法B. 換元法C. 數(shù)形結(jié)合D. 分類討論析解：本題“形”“數(shù)”結(jié)合，所反映的正是數(shù)學(xué)中的一種思想方法“數(shù)形結(jié)合”故選C。九. 閱讀理解型例15. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在數(shù)書九章中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊長(zhǎng)，求它的面積。用現(xiàn)代式子表示即為：（其中a、b、c為三角形的三邊長(zhǎng)，s為面積）。而另一個(gè)文明古國(guó)古希臘也有求三角形面積的海倫公式：（其中）（1）若已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8，試分別運(yùn)用公式和公式，計(jì)算該三角形的面積s；（2）你能否由公式推導(dǎo)出公式？請(qǐng)?jiān)囋?。析?/p>

17、：（1）又，（2）【解題策略】 一、二次根式的定義 例1 函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ） 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)。答案為A。 例2 函數(shù)的自變量x的取值范圍是（ ） 解題策略：根據(jù)二次根式的定義，被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，還應(yīng)特別注意分式的分母不能為零。答案為：C。 二、二次根式的性質(zhì) 例3 若，則xy的值等于（ ） A. -6B. -2C. 2D. 6 解題策略：緊扣二次根式是一個(gè)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以得到：，故。答案為：A 例4 如果，那么x的取值范圍是（ ） 解題策略：運(yùn)用二次根式是一個(gè)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知，。答案為C。 例5 若b<0，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ） 解題策略

18、：緊緊抓住二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，由二次根式的性質(zhì) 答案為：C 三、最簡(jiǎn)二次根式 例6 把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式為_。 例7 下列各式中屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ） 解題策略：最簡(jiǎn)二次根式必須滿足下列兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。 例6的答案為：，例7的答案為：A。 四、同類二次根式 例8 在下列二次根式中與是同類二次根式的是（ ） 例9 在下列各組根式中，是同類二次根式的是（ ） 解題策略：緊扣定義：化成最簡(jiǎn)二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。例8的答案為A，例9的答案為B。 五、二次根式的化簡(jiǎn)運(yùn)算 例10 以上推導(dǎo)中錯(cuò)誤在第（ ）步 A. (1)B. (2)C. (3)D. (4) 解題策略：緊扣二次根式的性質(zhì)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，第（2）步是一個(gè)負(fù)數(shù)，是一個(gè)正數(shù)，答案為B。 例11 計(jì)算 解題策略：二次根式的有關(guān)概念是二次根式化簡(jiǎn)與運(yùn)