第4講利用軸對(duì)稱破解最短路徑問題

1、第一章 平移、對(duì)稱與旋轉(zhuǎn)第4講 利用軸對(duì)稱破解最短路徑問題一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問題通過軸對(duì)稱的性質(zhì)與作圖轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問題求解。2.能將實(shí)際問題或幾何問題（對(duì)稱背景圖）中有關(guān)最短路徑（線段之差最大值）問題借助軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問題分析與求解。二、基礎(chǔ)知識(shí)輕松學(xué)與軸對(duì)稱有關(guān)的最短路徑問題關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（1）在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短（兩點(diǎn)之間，線段最短）；（2）三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（3）在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。（4）垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等

2、；【精講】一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”或者“三角形兩邊之和大于第三邊”加以證明，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”。另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（判定：如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等。）三、重難疑點(diǎn)輕松破最短路徑問題在平面圖形中要解決最短路徑問題，自然離不開構(gòu)建與轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”的數(shù)學(xué)公理，通常將涉及到的兩點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而運(yùn)用兩點(diǎn)之間，線段最短解決實(shí)際問題在日常生活、工作中，經(jīng)常會(huì)遇到有關(guān)行程路線的問題。

3、“最短路徑問題”的原型來自于“飲馬問題”、“造橋選址問題”，出題通常以直線、角、等腰（邊）三角形、長(zhǎng)方形、正方形、坐標(biāo)軸等對(duì)稱圖形為背景。（1）“一線同側(cè)兩點(diǎn)”問題例1 如圖，點(diǎn)A、B在直線m的同側(cè)，點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)，AB交m于點(diǎn)P（1）AB與AP+PB相等嗎？為什么？（2）在m上再取一點(diǎn)N，并連接AN與NB，比較AN+NB與AP+PB的大小，并說明理由解析：（1）點(diǎn)B是點(diǎn)B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)，PB=PB，AB=AP+PB，AB=AP+PB（2）如圖：連接AN，BN，BN，AB=AP+PB，AN+NB=AN+NBAB，AN+NBAP+PB點(diǎn)評(píng)：兩條線段之和最短，往往利用對(duì)稱的思想，把兩條線

4、段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短得出結(jié)果。這類題主考實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱、“兩點(diǎn)之間，線段最短”及三角形三邊的關(guān)系等變式1 需要在高速公路旁邊修建一個(gè)飛機(jī)場(chǎng)，使飛機(jī)場(chǎng)到A，B兩個(gè)城市的距離之和最小，請(qǐng)作出機(jī)場(chǎng)的位置（2）“兩點(diǎn)兩線（平行）”問題例2 如圖所示，在一條河的兩岸有兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在河上建一座小橋，橋的方向與河流垂直，設(shè)河的寬度不變，試問：橋架在何處，才能使從A到B的距離最短？解析：雖然A、B兩點(diǎn)在河兩側(cè)，但連接AB的線段不垂直于河岸關(guān)鍵在于使AP+BD最短，但AP與BD未連起來，要用線段公理就要想辦法使P與D重合起來，利用平行四邊形的特征可以

5、實(shí)現(xiàn)這一目的如圖，作BB垂直于河岸GH，使BB等于河寬，連接AB，與河岸EF相交于P，作PDGH，則PDBB且PD=BB，于是PDBB為平行四邊形，故PD=BB根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB最短，即AP+BD最短故橋建立在PD處符合題意點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”， 解決“造橋選址”的簡(jiǎn)單的實(shí)際問題但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題此類題往往需要利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以后還會(huì)學(xué)習(xí)一些線段轉(zhuǎn)化的方法變式2 如圖，兩個(gè)村莊A和B被一條河隔開，現(xiàn)要在河上架設(shè)一座橋CD請(qǐng)你

6、為兩村設(shè)計(jì)橋址，使由A村到B村的距離最?。俣▋珊影秏、n是平行的，且橋要與河垂直）要求寫出作法，并說明理由（3）“一點(diǎn)兩線（相交）”解決周長(zhǎng)最短問題例3：如圖所示，ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，在BA、BC邊上各取一點(diǎn)P1、P2，使PP1P2的周長(zhǎng)最小解析：依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可分別作點(diǎn)P關(guān)于AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)，如圖，以BC為對(duì)稱軸作P的對(duì)稱點(diǎn)M，以BA為對(duì)稱軸作出P的對(duì)稱點(diǎn)N，連MN交BA、BC于點(diǎn)P1、P2PP1P2為所求作三角形點(diǎn)評(píng)：解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化“直線上同一側(cè)兩點(diǎn)與此直線上一動(dòng)點(diǎn)距離和最小”問題（將軍飲馬問題），其核心是化折為直（兩點(diǎn)之間線段最短）的思想，轉(zhuǎn)化技巧是能夠運(yùn)用軸對(duì)稱性質(zhì)及作圖求解

7、問題變式3 城關(guān)中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請(qǐng)你在下圖幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最短？（4）“一線異側(cè)兩點(diǎn)” “差最大” 問題例4 在定直線XY異側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線XY上求作一點(diǎn)P，使PA與PB之差的絕對(duì)值最大解析：作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線XY的對(duì)稱點(diǎn)B，作直線AB交XY于P點(diǎn)，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)（如圖）；若BAXY（即B、A到直線XY的距離相等），則點(diǎn)P不存在證明：連接BP，在XY上任意取點(diǎn)P，連接PA、PB，則PB=PB，PB=PB，因?yàn)閨PBPA|

8、=|PBPA|AB=|PBPA|=|PBPA|，所以，此時(shí)點(diǎn)P使|PAPB|最大點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短線路問題，解答此類題目的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形，再由兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)求解變式4.如圖，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交AC于M，連接MB，若AB8 cm，MBC的周長(zhǎng)是14 cm，（1）求BC的長(zhǎng)（2）在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使PACP的值最大，若存在，畫出點(diǎn)P的位置，并求最大值，若不存在，說明理由。（5）“兩點(diǎn)一線線段”例5 直線L的同側(cè)有兩點(diǎn)A、B，在直線L上求兩點(diǎn)C、D，使得AC、CD、DB的和最小，且CD的長(zhǎng)為定值a，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)。作法：將點(diǎn)A

9、向右平移a個(gè)單位到A1作點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)B1連結(jié)A1B1交直線L于點(diǎn)D過點(diǎn)A作ACA1D交直線L于點(diǎn)C，連結(jié)BD，則線段AC、CD、DB的和最小。點(diǎn)C、D即為所求。 變式5長(zhǎng)方形OACB，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，畫出點(diǎn)E的位置；（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，畫出點(diǎn)E、F的位置；（6）臺(tái)球擊點(diǎn)問題例6如圖，在臺(tái)球桌面ABCD上，有白和黑兩球分別位于M，N兩點(diǎn)處，問：怎樣撞擊白球M，使白球先撞擊臺(tái)邊BC，反彈后再去擊中黑球N？解析：作N關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交BC于點(diǎn)E，連

10、接EN按ME方向撞擊白球M，白球M反彈后必沿EN方向擊中黑球N點(diǎn)評(píng)：要使白球M撞擊臺(tái)邊BC反彈后再去擊中黑球N，必須使MEB=NEC由軸對(duì)稱還可得，NEC=NEC又對(duì)頂角MEB=NEC，故可得到MEB=NEC本題重在考查軸對(duì)稱的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，關(guān)鍵注意對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等變式6 如圖，甲乙丙丁四人做接力游戲開始時(shí)，甲站在長(zhǎng)方形操場(chǎng)ABCD內(nèi)部的E點(diǎn)處，丙在BC的中點(diǎn)G處，乙，丁分別站在AB、CD邊上游戲規(guī)則是，甲將接力棒傳給乙，乙傳給丙，丙傳給丁，最后丁跑回傳給甲如

11、果他們四人的速度相同，試找出乙，丁站在何處，他們的比賽用時(shí)最短？（請(qǐng)畫出路線，并保留作圖痕跡，作法不用寫）四、課時(shí)作業(yè)輕松練A.基礎(chǔ)題組1. 如圖，直線l是一條河，P，Q是兩個(gè)村莊欲在L上的某處修建一個(gè)水泵站，向P，Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需管道最短的是（）A、B、 C、D、2.已知，如圖ABC為等邊三角形，高AH=10cm，P為AH上一動(dòng)點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，則PD+PB的最小值為 cm 第2題 第3題3.如圖，MN是正方形ABCD的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC+PD最小時(shí)，PCD= 4.為慶祝60年國(guó)慶圣典，陽(yáng)光中學(xué)八年級(jí)（2）班舉行一

12、次文藝晚會(huì)，桌子擺成兩真線（如圖：AO，OB）AO桌子上擺滿蘋果，BO桌子上擺滿桔子，坐在C處的小華想先拿蘋果再拿桔子，然后回到座位C處，AOB小于90度，請(qǐng)你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線，使小華所走路程最短請(qǐng)作出路線圖，并用字母表示所走路線（保留作圖痕跡，不寫作法、不必說明理由）B.中檔題組5.如圖，山娃星期天從A處趕了幾只羊到草地l1放羊，然后趕羊到小河l2飲水，之后再回到B處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請(qǐng)你為它設(shè)計(jì)一條最短的路線，標(biāo)明放羊與飲水的位置6.如圖，一牧民從A點(diǎn)出發(fā)，到草地出發(fā)，到草地MN去喂馬，該牧民在傍晚回到營(yíng)帳B之前先帶馬去小河邊PQ給馬飲水（MN、PQ均為直線），試問牧民

13、應(yīng)走怎樣的路線，才能使整個(gè)路程最短？（簡(jiǎn)要說明作圖步驟，并在圖上畫出）C.挑戰(zhàn)題組7.如圖，荊州古城河在CC處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為5米，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)兩座橋：DD，EE（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，A、B在東西方向上相距65米，南北方向上相距85米，如何架橋可使到A到B的路程最短，畫出路程圖五、我的錯(cuò)題本參考答案變式練習(xí)變式1解：利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可作點(diǎn)A關(guān)于公路的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，與公路的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置變式2 解：如圖，過點(diǎn)B作BCn，且使BC等于河寬，連接AC交直線m與M，作MNBC即可 理由：兩點(diǎn)之間線段最短變式3解析：本題意思是在OA上找一點(diǎn)D，在O

14、B上找一點(diǎn)E，使CDE的周長(zhǎng)最小如果作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是M，關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是N，當(dāng)點(diǎn)D、E在MN上時(shí)，CDE的周長(zhǎng)為CD+DE+EC=MN，此時(shí)周長(zhǎng)最小變式4解：（1）因MN垂直平分AB，所以MBMA，又因MBC的周長(zhǎng)是14 cm，故AC+BC14 cm，所以BC6 cm.（2）當(dāng)點(diǎn)P位于直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)時(shí)，PACP的值最大，最大值是6cm，理由：因A、B關(guān)于直線MN對(duì)稱，所以AP=BP，當(dāng)點(diǎn)P位于MN（直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)除外）上時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系始終有PBCPBC，當(dāng)點(diǎn)P位于直線MN與BC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)P時(shí)，即B、C、P三點(diǎn)成線時(shí)，存在PACPBC6 cm為最大值，

15、變式5解：（1）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D，連接CD與OA交于點(diǎn)E，連接DE若在邊OA上任取點(diǎn)E與點(diǎn)E不重合、，連接CE、DE、DE由DE+CE=DE+CECD=DE+CE=DE+CE，可知CDE的周長(zhǎng)最?。?）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)D，在CB邊上截取CG=2，連接DG與OA交于點(diǎn)E，在EA上截取EF=2，GCEF，GC=EF，四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，又GC、EF的長(zhǎng)為定值，此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小變式6解：作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G，作E關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E連接GE，交CD于點(diǎn)F、交AB于點(diǎn)H，故比賽最短的路線為：EHGF課堂作業(yè)A.基礎(chǔ)題組1.D

16、解析：利用對(duì)稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離作點(diǎn)P關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)P，連接QP交直線L于M根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D鋪設(shè)的管道，則所需管道最短故選D2.10解析：連接PC，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，應(yīng)使D、P、C三點(diǎn)一線連接PC，ABC為等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)，PD+PB的最小值為：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm3. 45解析：當(dāng)PC+PD最小時(shí)，作出D點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，正好是A點(diǎn)，連接AC，AC為正方形對(duì)角線，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出PCD=45，PCD=454.解析：要求小華所走路程最短路線，如圖，可作點(diǎn)C關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)M，作點(diǎn)C關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)N連接MN，交OA于點(diǎn)F，交OB于點(diǎn)E，最短路線CEFB.中檔題組5解：作出點(diǎn)A關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)E，點(diǎn)B適于l2的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，交于l1