等腰三角形(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、等腰三角形（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個(gè)角相等、兩條線(xiàn)段相等以及兩條直線(xiàn)垂直2. 掌握等腰三角形，等邊三角形的判定定理3. 熟練運(yùn)用等腰三角形，等邊三角形的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行推理和計(jì)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角要點(diǎn)詮釋?zhuān)旱妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為

2、銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.A180°2B，BC .2.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線(xiàn)、底邊上的高、底邊上的中線(xiàn)互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線(xiàn)合一”）3.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù)性質(zhì)2用來(lái)證明線(xiàn)段相等，角相等，垂直關(guān)系等4.等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線(xiàn)或底邊上的中線(xiàn)）所在直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，通常情況只有一條對(duì)稱(chēng)軸5.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊”）. 要點(diǎn)

3、詮釋?zhuān)旱妊切蔚呐卸ㄊ亲C明兩條線(xiàn)段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.要點(diǎn)二、等邊三角形1.等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.要點(diǎn)詮釋?zhuān)河啥x可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形2.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.3.等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形【典型例題】類(lèi)型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計(jì)算題1

4、、（2015春張家港）如圖，已知ABC中，AB=BD=DC，ABC=105°，求A，C度數(shù)【答案與解析】解：AB=BD，BDA=A，BD=DC，C=CBD，設(shè)C=CBD=x，則BDA=A=2x，ABD=180°4x，ABC=ABD+CDB=180°4x+x=105°，解得：x=25°，所以2x=50°，即A=50°，C=25°【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；解題中運(yùn)用了等腰三角形“等邊對(duì)等角”的性質(zhì)，并聯(lián)系三角形的內(nèi)角定理求解有關(guān)角的度數(shù)問(wèn)題舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、

5、AC上的點(diǎn)，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，設(shè)ECDEDC，BCDBDC，則AEDADE2，AB180°4在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得，180°4180°4180°又A、D、B在同一直線(xiàn)上，2180°由 ，解得36°B180°4180°144°36°.類(lèi)型二、等腰三角形中的分類(lèi)討論2、在等腰三角形中，有一個(gè)角為40°，求其余各角【思路點(diǎn)撥】唯獨(dú)等腰三角形的角有專(zhuān)用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒(méi)有，然而此題沒(méi)有指明40

6、76;的角是頂角還是底角，所以要分類(lèi)討論.【答案與解析】解：(1)當(dāng)40°的角為頂角時(shí)，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個(gè)底角的度數(shù)之和180°40°140°，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個(gè)底角的度數(shù)；(2)當(dāng)40°的角為底角時(shí)，另一個(gè)底角也為40°，則頂角的度數(shù)180°40°40°100°其余各角為70°，70°或40°，100° 【總結(jié)升華】條件指代不明，做此類(lèi)題應(yīng)分類(lèi)討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏.3、已知等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊

7、長(zhǎng)為3，求其余各邊【答案與解析】解：(1)3為腰長(zhǎng)時(shí)，則另一腰長(zhǎng)也為3，底邊長(zhǎng)13337； (2)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則兩個(gè)腰長(zhǎng)的和13310，則一腰長(zhǎng) 這樣得兩組：3，3，7 5，5，3 而由構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊可知：337，故不能組成三角形，應(yīng)舍去 等腰三角形的周長(zhǎng)為13，一邊長(zhǎng)為3，其余各邊長(zhǎng)為5，5【總結(jié)升華】唯獨(dú)等腰三角形的邊有專(zhuān)用名詞“腰”“底”，別的三角形沒(méi)有，此題沒(méi)有說(shuō)明邊長(zhǎng)為3的邊是腰還是底，所以做此題應(yīng)分類(lèi)討論同時(shí)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，來(lái)驗(yàn)證討論哪些情況符合，哪些情況不符合，從而決定取舍，最后得到正確答案舉一反三：【變

8、式】（2015威海模擬）如圖，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，過(guò)D作直線(xiàn)平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，AEF的周長(zhǎng)為（）A13B12C15D20【答案】選B解：EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，EBD=CBD，EDB=EBD，BE=ED，同理DF=CF，AEF的周長(zhǎng)是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12類(lèi)型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用4、已知：如圖，中，ADBC于D，CF交AD于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，求證：（1）ABDCFD；（2）BEAC【思路點(diǎn)撥】此題由等腰三角形的判定知A

9、DDC，易證ABDCFD，要證BEAC，只需證BEC90°即可，DFBD，可知FBD45°，由已知ACD45°，可知BEC90°.【答案與解析】證明：(1) ADBC， ADCFDB90°. ， ADCD ， ABDCFD (2)ABDCFD BDFD. FDB90°， . ， . BEAC 【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于熟練的綜合運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過(guò)求證ABDCFD，推出BD=FD，求出FBD=BFD=45°類(lèi)型四、等邊三角形5、如

10、圖在等邊ABC中，ABC與ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且ODAB，OEAC（1）試判定ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）線(xiàn)段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫(xiě)出你的判斷過(guò)程【答案與解析】解：（1）ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形，ABCACB60°， ODAB，OEAC，ODEABC60°，OEDACB60°ODE是等邊三角形；（2）答：BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60°，ABOOBD30°，ODAB，BODABO30°，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，DEODOE，BDDEEC【總結(jié)升華】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得到ODE是等邊三角形；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)可得到DBODOB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得到DBDO，同理可證明ECEO，因?yàn)镈EODOE，所以BDDEEC舉一反三：【變式】等邊ABC，P為BC上一點(diǎn)，含30°、60°的直角三角板60°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P上，使三角板繞P點(diǎn)旋