第5章恒定電流

1、第五章 恒定電流思 考 題5-1電流是電荷的流動(dòng)，在電流密度的地方，電荷體密度是否可能等于零？答：有可能等于零。例如，在金屬導(dǎo)體中電荷的定向移動(dòng)形成電流，此時(shí)在導(dǎo)體中存在著等量異號(hào)的電荷，故電荷體密度等于零。而當(dāng)單獨(dú)的正離子或負(fù)離子的運(yùn)動(dòng)形成電流時(shí)電荷的體密度不等于零。5-2如果通過(guò)導(dǎo)體中各處的電流密度不相同，那么電流能否是恒定的？為什么？答：電流能夠恒定，因?yàn)榧词箤?dǎo)體中各處的電流密度不相同，但只要滿足電流的恒定條件，通過(guò)導(dǎo)體的電流就是恒定的。5-3一根銅線外涂以銀層，兩端加上電壓后，在銅線和銀層中通過(guò)的電流是否相同？電流密度是否相同？電場(chǎng)強(qiáng)度是否相同？答：由歐姆定律，銅線和銀層的長(zhǎng)度一樣，但

2、它們的橫截面積S不同，電阻率不同，所以，當(dāng)兩端施加同樣的電壓時(shí)通過(guò)銅線和銀層的電流是不相同的。同理，由可知，銅線和銀層的電流密度也不相同。由可知，銅線和銀層中的電場(chǎng)強(qiáng)度是相同的。5-4截面相同的鋁絲和鎢絲串聯(lián)，接在一個(gè)直流電源上，問(wèn)通過(guò)鋁絲和鎢絲的電流強(qiáng)度和電流密度是否相等？鋁絲內(nèi)和鎢絲內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度是否相等？答：因?yàn)殇X絲和鎢絲串聯(lián)，所以通過(guò)鋁絲和鎢絲的電流強(qiáng)度相等。又因二者截面積相同，根據(jù)，則通過(guò)的電流密度也相等。根據(jù)，由于兩種材料的電阻率不相等，通過(guò)的電流密度相等，所以，兩種材料內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度不相等。5-5 將電壓加在一根導(dǎo)線的兩端，設(shè)導(dǎo)線的截面半徑為r，長(zhǎng)度為l。試分別討論下列情況對(duì)自由電子

3、漂移速率的影響：(1)增至原來(lái)的兩倍；(2)r不變，l增至原來(lái)的兩倍；(3)l不變，r增至原來(lái)的兩倍。答：自由電子的平均漂移速率與導(dǎo)體內(nèi)某點(diǎn)處單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)n、電流密度j的關(guān)系為，S=為導(dǎo)線的截面積。(1) S、l保持不變，則電阻R不變。增至原來(lái)的兩倍時(shí)，由可知，I也增至原來(lái)的兩倍，故也增至原來(lái)的兩倍。(2)S、不變，l增至原來(lái)的兩倍時(shí)，由可知，R增至原來(lái)的兩倍，由可得I減小為原來(lái)的1/2，故也減小為原來(lái)的1/2。(3)l、不變，r增至原來(lái)的兩倍時(shí)，S為原來(lái)的4倍，由可知，R為原來(lái)的1/4，而由可知I增大為原來(lái)的4倍，故不變。5-6電源的電動(dòng)勢(shì)和端電壓有什么區(qū)別？?jī)烧咴谑裁辞闆r下才相等

4、？答：電動(dòng)勢(shì)是單位正電荷從負(fù)極經(jīng)電源內(nèi)部移到正極時(shí)非靜電力所做的功，端電壓是指電源正負(fù)兩極之間的電壓，一般情況下電源的端電壓不等于電動(dòng)勢(shì)，兩者之差為Ir，即電源電流與內(nèi)阻r之積，稱內(nèi)阻電位降。當(dāng)電源內(nèi)阻為0，即Ir=0時(shí)，端電壓在數(shù)值上等于電動(dòng)勢(shì)。對(duì)于有內(nèi)阻的電源，只要流過(guò)它的電流為零（處于開(kāi)路狀態(tài)的電源就是如此），端電壓也與電動(dòng)勢(shì)在數(shù)值上相等。 5-7如果選擇兩種逸出功和電子密度差別都非常大的金屬A和B，讓它們互相接觸，是否就可以作為具有幾伏電動(dòng)勢(shì)的永遠(yuǎn)不會(huì)耗竭的電源呢? 答：兩種逸出功和電子密度差別都非常大的金屬A和B接觸并達(dá)到平衡狀態(tài)后，在接觸界面區(qū)域可以形成電勢(shì)差即接觸電勢(shì)差。但是，在

5、同一溫度下，若使這兩種金屬構(gòu)成閉合回路，或利用其他金屬與它們構(gòu)成閉合回路，整個(gè)回路都將不會(huì)有電流流動(dòng)，因?yàn)椴煌饘俚慕佑|處都存在這種效應(yīng)，對(duì)整個(gè)回路而言，各接觸處的電勢(shì)差的代數(shù)和為零。 所以，是不可能利用接觸電效應(yīng)作為永遠(yuǎn)不會(huì)耗竭的電源的，這也不符合能量守恒與轉(zhuǎn)換定律。 5-8 試說(shuō)明基爾霍夫第二定律與電路中的能量守恒是等價(jià)的。 答：基爾霍夫第二定律為 它表明沿任一閉合回路的電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和等于回路中各電阻上電勢(shì)降落的代數(shù)和。 對(duì)于只具有單一回路的電路，很容易證明基爾霍夫第二方程與電路中的能量守恒等價(jià)。在此情況下，電路中的電動(dòng)勢(shì)和電阻呈串聯(lián)關(guān)系，它們中的電流相等且沿同一方向，這時(shí)將第二定律兩端乘

6、以Idt再積分得 此式左端是在0t時(shí)間內(nèi)各電源供能的代數(shù)和，右端是在該時(shí)間內(nèi)各電阻負(fù)載耗能之和。這就證明了電路中電源供能之和(代數(shù)和)等于電路中負(fù)載耗能之和，符合能量守恒關(guān)系，說(shuō)明基爾霍夫第二方程與電路中的能量守恒等價(jià)。練習(xí)題EdS練習(xí)題5-15-1 大氣中由于存在少量的自由電子和正離子而具有微弱的導(dǎo)電性。已知地球表面附近空氣的電導(dǎo)率，場(chǎng)強(qiáng)，地球半徑。若將大氣電流視為恒定電流，計(jì)算由大氣流向地球表面的總電流強(qiáng)度。解：已知，。在地球表面上取一個(gè)微元曲面，如本題圖所示。則由大氣流向曲面的電流強(qiáng)度為（1）對(duì)上式積分可得大氣流向地球表面的總電流強(qiáng)度為因?yàn)榈厍虮砻娣e為于是，大氣流向地球表面的總電流為 5

7、-2 截面積為10mm2的銅線中，允許通過(guò)的電流是60A，試計(jì)算銅線中的允許電流密度。設(shè)每個(gè)銅原子貢獻(xiàn)一個(gè)自由電子，可算得銅線中的自由電子密度是，試計(jì)算銅線中通有允許電流時(shí)自由電子的漂移速度。解：銅線截面積，允許通過(guò)的電流，則銅線中允許電流密度又知銅線中的自由電子密度，則銅線中通有允許電流時(shí)自由電子的漂移速度為 5-3 有一個(gè)靈敏電流計(jì)可以測(cè)量小到的電流，當(dāng)銅導(dǎo)線中通有這樣小的電流時(shí)，每秒內(nèi)有多少個(gè)自由電子通過(guò)導(dǎo)線的任一個(gè)截面？如果導(dǎo)線的截面積是，自由電子的密度是，自由電子沿導(dǎo)線漂移需要多少時(shí)間？IvtS解：設(shè)導(dǎo)線中單位體積的電子數(shù)為n，導(dǎo)線截面積為S，電子運(yùn)動(dòng)的平均速度為，則t時(shí)間內(nèi)通過(guò)截面

8、S的電子數(shù)N應(yīng)為如本題圖所示的圓柱體內(nèi)的電子數(shù)，即由于，即，將其帶入上式得 練習(xí)題5-3由已知條件可知，銅導(dǎo)線中電流，t1s，則每秒內(nèi)通過(guò)導(dǎo)線任一個(gè)截面的自由電子數(shù)為又知導(dǎo)線的截面積，自由電子的密度， 則電子的平均漂移速率為于是，自由電子沿導(dǎo)線漂移需要的時(shí)間為5-4 一個(gè)銅棒的截面積為，長(zhǎng)為，兩端的電勢(shì)差為。已知銅的電導(dǎo)率，銅內(nèi)自由電子的電荷體密度為。求：（1）該銅棒的電阻；（2）電流；（3）電流密度；（4）銅棒內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度；（5）銅棒中所消耗的功率；（6）棒內(nèi)電子的漂移速度。解：銅棒的截面積，長(zhǎng)，電導(dǎo)率，則（1） 銅棒電阻為（2） 由于銅棒兩端的電勢(shì)差為，則電流為 （3） 由電流密度的定義可

9、知電流密度為 （4） 棒內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度 （5） 銅棒中所消耗的功率為 （6） 由于自由電子的電荷體密度，則電子的漂移速度為（m·s-1） 5-5 把大地看成均勻的導(dǎo)電介質(zhì)，其電導(dǎo)率為。將半徑為a的球形電極的一半埋于地面下，如本題圖所示，求此電極的接地電阻。 解：以電極球心為原點(diǎn)，在離原點(diǎn)距離為l處取厚度為dl的半球面，該球面的電阻為故，總電阻為 練習(xí)題5-5用圖 5-6 如本題圖所示，圓錐體的電阻率為，長(zhǎng)為l，兩端面的半徑分別為和。試計(jì)算此錐體兩端面之間的電阻。 練習(xí)題5-6用圖 練習(xí)題5-6題解用圖解：取半徑為r，厚度為dx的導(dǎo)體元。該導(dǎo)體元的電阻為由幾何關(guān)系可得 即 微分得 于是5

10、-7大多數(shù)生物細(xì)胞的形狀類(lèi)似球形，可將其細(xì)胞膜視為一個(gè)同心球殼體系。由于活體細(xì)胞內(nèi)外均有許多帶電粒子，這些粒子可通過(guò)細(xì)胞膜進(jìn)行交換，形成跨膜電流。設(shè)細(xì)胞膜內(nèi)半徑為Ra，外半徑為Rb，膜中介質(zhì)的電阻率為。求（1）細(xì)胞膜電阻；（2）若膜內(nèi)外的跨膜電勢(shì)為Uab，求跨膜電流的電流密度與半徑r的關(guān)系。練習(xí)題5-7d rRaRbr 解：（1）設(shè)想細(xì)胞膜是由許多個(gè)薄層圓形球面組成。以r代表其中任意一個(gè)薄層球面的半徑，其面積，以dr表示薄層的厚度，如圖所示。由題意可知電流沿徑向方向流動(dòng)，該薄層的電阻應(yīng)為，則細(xì)胞膜的總電阻為（2）由于膜內(nèi)外的跨膜電勢(shì)為，跨膜電流由于在距離球心r處的總電流所通過(guò)的“截面積”，則跨

11、膜電流的電流密度與半徑r的關(guān)系為5-8 電纜的芯線是半徑為的銅線，在銅線外面包有一層同軸的絕緣層，絕緣層的外半徑為，電阻率。在絕緣層外面又用鉛層保護(hù)起來(lái)。求：（1）長(zhǎng)的這種電纜沿徑向的電阻；（2）當(dāng)芯線與鉛層間的電勢(shì)差為100V時(shí)，在這電纜中沿徑向的電流多大？Il練習(xí)題5-8d rr (a) (b)解：（1）設(shè)想整個(gè)絕緣層是由許多個(gè)薄圓桶形絕緣層疊合而成。如圖所示，以r代表其中任意一個(gè)薄層的半徑，該薄圓桶形絕緣層的表面積，以dr表示此薄層的厚度，則由電阻公式，該薄層的徑向電阻應(yīng)為長(zhǎng)的這種電纜沿徑向的總電阻為代入數(shù)據(jù)后，解得（2）當(dāng)芯線與鉛層間的電勢(shì)差時(shí)，根據(jù)歐姆定律求得徑向電流為 AB、rIA

12、B、rI充電放電練習(xí)題5-95-9 如本題圖所示，一個(gè)蓄電池在充電時(shí)通過(guò)的電流為3.0A，此時(shí)蓄電池兩極間的電勢(shì)差為4.25V。當(dāng)這個(gè)蓄電池放電時(shí)，通過(guò)的電流為4.0A，此時(shí)兩極間的電勢(shì)差為3.90V。求該蓄電池的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻。解：如圖所示，設(shè)所選定的積分路徑是自A端經(jīng)蓄電池到B端，應(yīng)用含源電路的歐姆定律可得AB兩端的電勢(shì)差。當(dāng)蓄電池充電時(shí)，有當(dāng)蓄電池放電時(shí)，有將兩式聯(lián)立求解，并帶入數(shù)據(jù)，；，可解得，IDCBA練習(xí)題5-10r2e1r1e2即蓄電池的電動(dòng)勢(shì)為4.10V,內(nèi)阻為0.05。5-10 右圖中的兩個(gè)電源都是化學(xué)電池，,，內(nèi)阻。求：（1）充電電流；（2）每秒內(nèi)電源1消耗的化學(xué)能；（3）每

13、秒內(nèi)電源2獲得的化學(xué)能。解：（1）如圖所示，對(duì)閉合回路ABCDA應(yīng)用基爾霍夫第二定律得：帶入數(shù)據(jù)，解得（2）每秒內(nèi)電源消耗的化學(xué)能為（3）每秒內(nèi)電源獲得的化學(xué)能為 （a） （b） 練習(xí)題5-11Be1e2CAI2RVRCBAe1e2I1V5-11 電動(dòng)勢(shì)為和的兩個(gè)電池與外電阻R以兩種方式連接，如圖8-26所示，圖（a）中伏特計(jì)的讀數(shù)為。問(wèn)：（1）圖（b）中伏特計(jì)的讀數(shù)為多少（伏特計(jì)的零點(diǎn)刻度在中央）？（2）討論電池在兩種情形中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系。解：（1）設(shè)電動(dòng)勢(shì)為、的兩電池內(nèi)阻分別為、，兩電路中的電流、及方向如本題圖所示。對(duì)電路（a）應(yīng)用含源電路的歐姆定律得對(duì)回路ABCA應(yīng)用基爾霍夫第二定律得類(lèi)

14、似地，對(duì)電路（b）得對(duì)回路得聯(lián)立求解、式，代入數(shù)據(jù)、即，可解出因伏特計(jì)的零點(diǎn)刻度在中央，在電路（a）中讀數(shù)為0.6V，則在電路（b）中讀數(shù)應(yīng)為。（2）在（a）電路中，電流方向與的方向一致，電池2處于放電狀態(tài)。電池2消耗的電能一部分輸出給外電路，另一部分轉(zhuǎn)化為其內(nèi)阻上的焦耳熱。R1e1，r1R2321e2，r2ABe3，r3練習(xí)題5-12用圖在（b）中電池2處于充電狀態(tài)，外電路輸入的能量一部分轉(zhuǎn)化為電池2的非靜電能，另一部分轉(zhuǎn)化為其內(nèi)阻上的焦耳熱。5-12 在右圖所示的電路中，已知，。求：（1）通過(guò)3的電流；（2）R2消耗的功率；（3）3對(duì)外供給的功率。解：（1）設(shè)各支路中的電流強(qiáng)度分別為、，其

15、指向如圖8-27所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)A應(yīng)用基爾霍夫第一定律可得 對(duì)閉合回路A1B3A（繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍┖虯2B3A（繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍┓謩e應(yīng)用基爾霍夫第二定律可得 將數(shù)據(jù)、 代入回路方程、并與電流方程聯(lián)立求解可解出 ,此結(jié)果中、為負(fù)值，說(shuō)明它們的實(shí)際電流指向與圖中假定方向相反， 為正值，說(shuō)明實(shí)際電流方向與原假定方向相同。所以，通過(guò)3的電流大小為0.29A。（2）R2消耗的功率（3）3對(duì)外供給的功率5-13 在下圖所示的電路中，已知，。求通過(guò)電阻R2的電流的大小和方向。ABR2Ri2I2e1，r1I1R1Ri1R4Rie2，r2R3Ri3I3e3，r3 練習(xí)題5-13用圖解：設(shè)各支路中的電流強(qiáng)

16、度分別為、，其指向如圖所示，對(duì)節(jié)點(diǎn)A應(yīng)用基爾霍夫第一定律可得 對(duì)閉合回路A1B2A（繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍┖虯2B3A（繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍┓謩e應(yīng)用基爾霍夫第二定律可得帶入數(shù)據(jù)、和，可解得，此結(jié)果中為正值，說(shuō)明其方向與原來(lái)假定方向相同；、為負(fù)值，說(shuō)明實(shí)際電流指向與原假定方向相反。因此，通過(guò)電阻R2的電流的大小為0.46A，方向從A指向B。5-14 在下圖所示的電路中，已知，并假設(shè)各電流的方向如圖所示。求：（1）A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）C、D兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（3）如C、D兩點(diǎn)短路，這時(shí)通過(guò)R5的電流有多大？e2，r2RiI2ARiBRi21R1RiR3RiR2RiR4RiR5RiI33e3，r3DC 練習(xí)題5-14用圖e1，r1I1解：（1）設(shè)回路中電流強(qiáng)度的方向如圖8-29所示。對(duì)回路A1B2A，設(shè)回路繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍瑧?yīng)用基爾霍夫第二定律可得當(dāng)C、D斷開(kāi)時(shí)，由此解得 帶入數(shù)據(jù)，解得。選擇一段含源電路A1B應(yīng)用含源電路的歐姆定律可得