線性代數(shù) 12 n階行列式 習(xí)題與答案

1、§1.2 n階行列式為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念。為此，先介紹排列的有關(guān)知識。排列與逆序：(課本P4)、排列的定義：由數(shù)碼1，2，n，組成一個有序數(shù)組，稱為一個n級排列。【例1】1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而52341是一個5級排列。(課本P4中例)【例2】由數(shù)碼1，2，3 組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3! = 6個。【例3】數(shù)字由小到大的n級排列1234n 稱為自然序排列。、逆序的定義：在一個n級排列中，如果有較大的數(shù)排在的前面，則稱與構(gòu)成一個逆序。(課本P4)【例4】在4 級

2、排列3412中， 31，32，41，42，各構(gòu)成一個逆序，在5 級排列34152中， 31，32，41，42，52，共構(gòu)成5個逆序。3、逆序數(shù)的定義：一個n級排列中逆序的總數(shù)，稱為這個排列的逆序數(shù)，記為。(課本P4)【例5】排列3412的逆序數(shù)為N(3412) = 4，排列52341的逆序數(shù)為N(52341) = 7，自然序排列的逆序數(shù)為0。4、奇、偶排列的定義：如果排列的逆序數(shù)是奇數(shù)，則將稱為奇排列；如果排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則將稱為偶排列。(課本P4)【例6】由于N(3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N(52341) =7，知排列52341是奇排列，由于N(123n) = 0，

3、知自然排列123n是偶排列。【例7】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3! = 6個，其中，奇排列有132，213，321三個，偶排列有123，312，231三個。奇偶排列各占一半。5、對換的定義：在一個n級排列中，如果其中某兩個數(shù)與對調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，就得到另一個新的n級排列，這樣的變換稱為一個對換，記作。(課本P5)【例8】在排列3412中，將4與2對換， 得到新的排列3214?！纠?】偶排列3412經(jīng)過4與2的對換后，變成了奇排列3214； 反之，奇排列3214經(jīng)過2與4的對換后，變成了偶排列3412。定理1.1 任意一個排列

4、經(jīng)過一個對換后，其奇偶性改變。(課本P5)定理的證明見課本P5。【例10】奇排列132經(jīng)對換(3，2)得到偶排列123，偶排列312經(jīng)對換(1，2)得到奇排列321。定理1. 2 n個數(shù)碼()共有n！個n 級排列，其中奇、偶排列各占一半。(課本P6)定理的證明見課本P6?！纠?1】由數(shù)碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3! = 6個，其中，奇排列有132，213，321三個，偶排列有123，312，231三個。相應(yīng)練習(xí)見課本【第四版】習(xí)題一(A)中的8大題。= n階行列式的定義：(課本P6)我們從觀察二階、三階行列式的特征入手，引出n階行列式的

5、定義。二階行列式為，三階行列式為，我們可以從二階、三階行列式中發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：(1) 二階行列式是2！項的代數(shù)和，三階行列式是3！項的代數(shù)和；(2) 二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；(3) 每一項的符號是：當(dāng)這一項中元素的行標(biāo)是按自然序排列時，如果元素的列標(biāo)為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號。作為二、三階行列式的推廣，我們給出n階行列式的定義。定義1.2 用個元素（）和雙豎線組成的記號稱為n階行列式。有時簡記為。(課本P7)n階行列式的定義包含如下的內(nèi)容：構(gòu)成：n階行列式的橫排稱為行，縱

6、排稱為列。元素的第一個下標(biāo)表示這個元素位于第行，稱為行標(biāo)，第二個下標(biāo)表示這個元素位于第列，稱為列標(biāo)。(課本P7)【例12】三階行列式 有3行3列共32 = 9個元素。其中，第二行元素為 1，4，7；第二列元素為5，4，6，元素7的位置為第2行第3列。含義：n階行列式是n ! 個項的代數(shù)和，其中每一項是取自不同行和不同列的n個元素的乘積。(課本P8)由于一個項中的n個乘積元素來自不同的行，而乘法滿足交換率，故為方便分析，可以將n個元素按行碼的自然數(shù)順序排列，再分析列碼的狀態(tài)。當(dāng)行碼按自然序列排列后，列碼的不同排列即對應(yīng)不同的項，由于n個元素共有不同排列n!個，從而n階行列式中共有n!個不同的項。

7、【例13】一階行列式a= a只有1個項?！纠?4】三階行列式 ，共有3！6個不同的項，和的元素都來自不同行且不同列，都可能是A中的一個項，而中的與同來自第1列，不是其中的一個項，中的與同來自第2行，也不是其中的一個項，與是同一個項，與是不同的項。各項符號：n階行列式中各項符號的確定有兩種方法：只考察列標(biāo)的排列：若該項中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列，則列標(biāo)構(gòu)成的排列為偶排列時，該項取正號；為奇排列時，該項取負號。亦即，將某項中各元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后得到，含的項應(yīng)帶符號為。于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項為。(課本P7)【例15】在5階行列式中，與這兩項各取什么符號？【解】由于該兩項

8、的行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，故應(yīng)取符號為，為正號，應(yīng)取符號為，為負號。綜合考察行標(biāo)與列標(biāo)的排列：若該項中各元素的行標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為S，列標(biāo)構(gòu)成的排列的逆序數(shù)為T，則S+T為偶數(shù)時，該項取正號；S+T為為奇數(shù)時，該項取負號。亦即，含的項應(yīng)帶符號為。于是n階行列式所表示的代數(shù)和中的一般項為。(課本P10)顯見，為的特例?！纠?6】在5階行列式中，含或含的兩項各取什么符號？【解】由于該兩項的行標(biāo)未按自然數(shù)順序排列，故含的項應(yīng)取符號為，為負號，含的項應(yīng)取符號為，為正號。 n階行列式的展開式：(課本P10)n階行列式的展開式有兩種表達方式，一種較為簡單，是將各項元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列形式的表達式

9、，另一種是各項元素任意排列的表達式。具體分別敘述如下：各項元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列時：。其中，稱為n階行列式的一般項。這里，為連加號，表示對該符號下的所有項求和。于是，n階行列式展開后是n!個項的和，各項都含兩個因素：1n個來自不同行和不同列的元素的乘積，2將一個項的n個元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，該項的符號由列標(biāo)的排列數(shù)的奇偶性確定為。一般情況下：其中，是n階行列式的一般項的普通形式。于是，n階行列式展開后是n!個項的和，各項都含兩個因素：1n個來自不同行和不同列的元素的積。2一個項的符號由行標(biāo)的排列數(shù)與列標(biāo)的排列數(shù)的和的奇偶性確定為。【例17】求4階行列式中帶負號且包含因子和的所有項。

10、【解】4階行列式中，當(dāng)行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，包含因子和的項為其中，可以分別是2，4之一。由于2，4兩個數(shù)可以產(chǎn)生兩個不同的排列24和42，所以，4階行列式中包含因子和的所有項可以為或兩項，但題目要求的是帶負號的項，而因為為奇數(shù)，為偶數(shù)，故4階行列式中帶負號且包含因子和的所有項只有一個，為?！纠?8】判斷，以及是否為四階行列式中的一項？【解】的行標(biāo)為1234，這4個元素來自不同的行，列標(biāo)為4312，這4個元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列，其符號應(yīng)為，故不是4階行列式中的一項；的行標(biāo)為1234，這4個元素來自不同的行，列標(biāo)為1324，這4個元素來自不同的列。由于行標(biāo)已按自然數(shù)順序排列

11、，其符號應(yīng)為，故不是4階行列式中的一項；的行標(biāo)為1234，這4個元素來自不同的行，列標(biāo)為1434，這4個元素中和都來自相同的第4列。故不是4階行列式中的一項；的行標(biāo)為3241，這4個元素來自不同的行，列標(biāo)為1432，這4個元素來自不同的列。其符號應(yīng)為，故不是4階行列式中的一項；【例19】若是五階行列式的一項，則應(yīng)為何值？此時該項的符號是什么？（課本P11例2）【解】由于行列式定義規(guī)定每一項的元素來自不同行不同列，故五階行列式的項中，行標(biāo)和列標(biāo)都只能是1，2，3，4，5這五個數(shù)字的排列，從而，該項的列標(biāo)52j14中的j只能是3，該項的行標(biāo)i432k中的i和k只能從1和5中選擇，于是或，綜合起來，

12、應(yīng)得兩組答案：或。當(dāng)時，該項的符號是，即是五階行列式的一項；當(dāng)時，該項的符號是，即是五階行列式的一項?！纠?0】計算行列式?！窘狻坑捎谠?階行列式的各項中，只要含有一個0元素，該項就為0，所以，要計算該4階行列式，只須找到其由不同行不同列的4個非0元素相乘的所有項?？紤]到來自不同行及不同列的要求，該4階行列式不為0的項，使行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，只有含adfh及含bdfg的兩個，而含的項，其符號為，知該項為，含的項，其符號為，知該項為，從而，?！纠?1】用行列式定義計算。（課本P11）【解】用表示行列式中第i行第j列元素，由于該4階行列式的各項中，只要含有一個0元素，該項就為0，所以，要計算該

13、4階行列式，只須找到其不為0的所有項。而要得到非0項，項中各元素必須非0！【解法一】第一行若取，這樣第二行無論取還是，第三行都必然取到0，這樣無法得到非0項；第一行若取，這樣第二行無論取還是，第三行都必然取，這時，當(dāng)?shù)诙腥r，取完第三行后得到，第四行可取，當(dāng)?shù)诙腥r，取完第三行后得到，第四行必然取到0，綜上知，該行列式中僅有含的一項非0，該項符號為，于是，由于，得?！窘夥ǘ坑捎诘谌兄挥幸粋€非零元，故可以從它入手，按不同行不同列的原則去確定展開式中的項的構(gòu)成：取定后，第一行就只能取了，從而第四行也就只能取了，于是，最后確定第二行只能取了。于是確定展開式中僅有一個非零項，它由，構(gòu)成，而含這四個元素的項的符號由逆序數(shù)確定，為負號，即知，。【例22】計算上、下三角形行列式和對角形行列式?！狙a充定義】上三角形行列式就是主對角線下方元素全為0的行列式，下三角形行列式就是主對角線上方元素全為0的行列式，對角形行列式就是主對角線以外元素全為0的