相似三角形知識點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題

1、相似三角形基本知識 知識點(diǎn)一：放縮與相似形1. 圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動。2. 把形狀相同的兩個圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。注意：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。 相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。 我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的 若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例全等形3. 相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.知識點(diǎn)二：比例線段有關(guān)

2、概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a：bm：n（或）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:bb:c時，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。8.比例

3、線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.反比性質(zhì)： (把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如： 5.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“

4、設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法 (2)應(yīng)用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立知識點(diǎn)三：黃金分割1） 定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：過點(diǎn)B作BDAB，使；連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE，則點(diǎn)C就是所求作的

5、線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)?？?，關(guān)鍵在于找由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.

6、那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例. 5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。幾何語言 ABE中BDCE 簡記： 歸納： 和推廣：類似地還可以得到和 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行

7、線判定定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.用符號語言表示：ADBECF,.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號語言表示：. 重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的

8、重心到一個頂點(diǎn)的距離，等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識點(diǎn)五：相似三角形1、 相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2） 性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。3） 相似比：兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似比為k。4）判定：定義法：

9、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似(此定理用的最多)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似直角三角形相似判定定理:.斜邊與一

10、條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。 補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應(yīng)用）. 補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。 推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。 推論四：直角三角形被斜邊

11、上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個三角形相似。相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例. 相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比). 相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.2、 相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似

12、圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。2）性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）。每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。中考試題分類匯編 相似三角形一、選擇題1、如圖1,已知AD與BC相交于點(diǎn)O,AB/CD,如果B=40°,D=30°,則AOC的大小為（ ）A.60° B.70° C.80° D.120°BACDEAB

13、CDO圖12、如圖，已知D、E分別是的AB、 AC邊上的點(diǎn)，且 那么等于（ ） A1 : 9 B1 : 3 C1 : 8 D1 : 23、圖為rABC與rDEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB / DE。若rABC與rDEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。4、如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CDBD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么該古城墻的高度是（ ）A、6米

14、B、8米 C、18米 D、24米5、如圖，是由經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)是位似中心，分別是的中點(diǎn)，則與的面積比是（ ） ABCD6、給出兩個命題：兩個銳角之和不一定是鈍角；各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形一定相似( ) A真真B假真C真假D假假7、如圖2所示，RtABCRtDEF，則cosE的值等于（ ）A. B. C. D. 8、如上圖，直角梯形ABCD中，BCD90°，ADBC，BCCD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC90°，將BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到DCF，連EF交CD于M已知BC5，CF3，則DM:MC的值為 （）A.5:3 B.3:5 C.4:3 D

15、.3:49、如圖，在中，、分別是、邊的中點(diǎn)，若，則等于 A5 B4 第4題 A B C D E AC3 D210、已知，相似比為3，且的周長為18，則的周長為（ ）A2B3C6D5411、如圖,RtABAC中,ABAC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PEAB于E,PDAC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=（ ）A. B. C. D. 12、 如圖，在RtABC內(nèi)有邊長分別為的三個正方形，則滿足的關(guān)系式是（ ）A、 B、 C、 D、EHFGCBA（第13題圖）113、如圖，ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是ABC的面積的 （ ） 14、

16、下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（ ）（第7題）ABCD15、在同一時刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則樹的高度為（ ） A、4.8米B、6.4米C、9.6米D、10米二、填空題1、如圖，兩點(diǎn)分別在的邊上，與不平行，當(dāng)滿足 條件（寫出一個即可）時， ECDAFB圖52、如果兩個相似三角形的相似比是，那么這兩個三角形面積的比是 3、如圖5，平行四邊形中，是邊上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，如果，那么 4、在RtABC中，C為直角，CDAB于點(diǎn)D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對相似三角形是 和 ；并寫出它的面積比 . （第5題圖）OA1A2A3A4ABB1B2

17、B3145、如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且，若，的面積分別為1，4，則圖中三個陰影三角形面積之和為 圖86、兩個相似三角形的面積比S1:S2與它們對應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為 7、如圖8，D、E分別是的邊AB、AC上的點(diǎn)，則使的條件是 8、如圖4，已知ABBD，EDBD，C是線段BD的中點(diǎn)，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB= （第12題）ABCED9、如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，若，則的長是 圖310、如圖3，要測量A、B兩點(diǎn)間距離，在O點(diǎn)打樁，取OA的中點(diǎn) C，OB的中點(diǎn)D，測得CD=30米，則AB=_米 三、解答題1、如圖5，在ABC中，BC>AC， 點(diǎn)D在BC上，且DC

18、AC,ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.（1）求證：EFBC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求ABD的面積.2、如圖：在等腰ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.(1) 證明：CAE=CBF;(2) 證明：AE=BF;(3) 以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記ABC和ABG的面積分別為SABC和SABG,如果存在點(diǎn)P,能使得SABC=SABG,求C的取值范圍。FCABPEH3、如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：（1）；（2）4、如圖，在中，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)停止運(yùn)動設(shè)，（1）求點(diǎn)到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；ABCDERPHQ5、如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)ABCDEPOR（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求第21題圖6、如圖，ABCD中，E是CD的延長線上一點(diǎn)，B