知識(shí)講解指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算基礎(chǔ)

1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算； (2)能認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化；(3)能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算. 2.掌握無理指數(shù)冪的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實(shí)數(shù)集；3.通過指數(shù)范圍的擴(kuò)大，我們要能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)到符號(hào)化思想的重要性，在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力；4.通過對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，能學(xué)會(huì)透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要

2、點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1整數(shù)指數(shù)冪的概念2運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）.要點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1n次方根的定義：若xn=y(nN*，n>1，yR)，則x稱為y的n次方根.n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)y的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)y的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；零的奇次方根為零，記為；n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)y的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.2兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）要點(diǎn)詮釋：要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；計(jì)算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時(shí)，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯(cuò)誤要點(diǎn)三

3、、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定a>0，n，mN*，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：要點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1) (2) (3)當(dāng)a>0，p為無理數(shù)時(shí)，ap是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用.要點(diǎn)詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；(2)根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時(shí)可以交換、何時(shí)不能交換.如；(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如.2.指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分

4、數(shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），（a±b）2a2±2abb2，（a±b）3a3±3a2b3ab2±b3，a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2）的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值：（1）.【答案】 -3；【解析】 熟練掌握基本根式的運(yùn)算，特別注意運(yùn)算結(jié)果的符號(hào).（1）；（2）；（3）；（4）【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，例如，4的平方根是，但不是.（2）根式運(yùn)

5、算中，經(jīng)常會(huì)遇到開方與乘方兩種運(yùn)算并存的情況，應(yīng)注意兩者運(yùn)算順序是否可換，何時(shí)可換.舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）-2；（2）3；（3）；（4）.例2.計(jì)算：（1）；（2）.【答案】【解析】 對(duì)于（1）需把各項(xiàng)被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问剑缓笤倮酶竭\(yùn)算性質(zhì)求解.對(duì)于（2），則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）=+-=|+|-|=+-（）=2 （2） = = =【總結(jié)升華】對(duì)于多重根式的化簡(jiǎn)，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題.化簡(jiǎn)分母含有根式的式子時(shí)，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）

6、中，的分子、分母中同乘以.舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)：（1）；（2）【答案】（1）；（2）類型二、指數(shù)運(yùn)算、化簡(jiǎn)、求值例3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】 ；【解析】先將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可（1）（2）；（3）；（4）解法一：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪=解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 =【總結(jié)升華】 此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用當(dāng)所求根式含有多重根號(hào)時(shí)，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)舉一反三：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050 例1】【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來，并化簡(jiǎn)（1）

7、；【答案】（1）；（2）【變式2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】；【解析】（1）=； （2）；（3）；（4）= =例4.計(jì)算下列各式：（1）（2）【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則即可得出【答案】（1）；（2）【解析】（1）原式= = =（2）原式=【總結(jié)升華】（1）運(yùn)算順序(能否應(yīng)用公式)；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式：(1)；(2).【答案】 112；【解析】(1)原式=；(2)原式.【變式2】計(jì)算下列各式：【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050 例3】【答案】21+【解析】原式=16+5+2+=21+例5

8、.（2016 湖北期末）計(jì)算：（1）；（2）；（3）【思路點(diǎn)撥】（1）即合并同類項(xiàng)的想法，常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，同一字母的化為該字母的指數(shù)運(yùn)算；（2）對(duì)字母運(yùn)算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系；(3)具體數(shù)字的運(yùn)算，學(xué)會(huì)如何簡(jiǎn)化運(yùn)算.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式；（2）；（3）原式【總結(jié)升華】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力舉一反三：【變式1】計(jì)算化簡(jiǎn)下列式子【答案】【解析】原式=或注意：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.【變式2】化簡(jiǎn)【答案】 【解析】應(yīng)注意到之間的關(guān)系，對(duì)分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解，原式.【總結(jié)升華】根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)寫為最簡(jiǎn)根式.(1)被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；(2)被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；(3)被開方數(shù)的每個(gè)因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡(jiǎn)下列式子：(1)(2)(3)【答案】 ；【解析】 (1)原式(2)由平方根的定義得：(3).【高清課堂：指數(shù)與指數(shù)運(yùn)算369050 例4】例6已知，求的值【答案】 【解析】 從已知條件中解出的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果與條件的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值，=【總結(jié)升華】 對(duì)于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡(jiǎn)后代換”方法求值本題的關(guān)鍵是先求及的值，然后整體代入舉一反三：【變式1】求值：(1)