4小波變換(my)數(shù)字圖像處理課件

1、小波變換與多分辨率分析Gabor變換變換小波變換的基本概念小波變換的基本概念多分辨率分析多分辨率分析離散小波變換離散小波變換小波變換的應(yīng)用小波變換的應(yīng)用時頻分析時頻分析 信號分析的主要目的是尋找一種簡單有效的信號變換方法，以便突出信號中重要特性，簡化運(yùn)算的復(fù)雜度。大家熟知的Fourier變換就是一種刻劃函數(shù)空間，求解微分方程，進(jìn)行數(shù)值計算的主要方法和有效的數(shù)學(xué)工具。它可把許多常見的微分、積分和卷積運(yùn)算簡化為代數(shù)運(yùn)算。第第1節(jié)節(jié) Gabor變換變換 從物理意義上理解，一個周期振動信號可看成是從物理意義上理解，一個周期振動信號可看成是具有簡單頻率的簡諧振動的疊加。具有簡單頻率的簡諧振動的疊加。Fo

2、urierFourier展開正展開正是這一物理過程的數(shù)學(xué)描述。即是這一物理過程的數(shù)學(xué)描述。即：()( )jtFf t edt1( )()2jtftFed（3197） (3198) Fourier變換的特點是域變換，它把時域和頻域聯(lián)系變換的特點是域變換，它把時域和頻域聯(lián)系起來，把時域內(nèi)難以顯現(xiàn)的特征在頻域中十分清楚起來，把時域內(nèi)難以顯現(xiàn)的特征在頻域中十分清楚地顯現(xiàn)出來。頻譜分析的本質(zhì)就是對地顯現(xiàn)出來。頻譜分析的本質(zhì)就是對 F() 的加工的加工與處理?；谶@一基本原理，現(xiàn)代譜分析已研究與與處理。基于這一基本原理，現(xiàn)代譜分析已研究與發(fā)展了多種行之有效的高效、多分辨率的分析算法發(fā)展了多種行之有效的高效

3、、多分辨率的分析算法。 由于由于 ，因此，頻譜，因此，頻譜 F( () ) 的任一頻的任一頻率成份的值是由時域過程率成份的值是由時域過程 f(t) 在在 , + 上的貢上的貢獻(xiàn)決定的，而過程獻(xiàn)決定的，而過程 f(t) 在任一時刻的狀態(tài)也是由在任一時刻的狀態(tài)也是由 F( () ) 在整個頻域在整個頻域 , + 的貢獻(xiàn)決定的。的貢獻(xiàn)決定的。1j te 該性質(zhì)可由該性質(zhì)可由 (t) (t) 函數(shù)來理解，即時域上函數(shù)來理解，即時域上的一個沖激脈沖在頻域中具有無限伸展的均的一個沖激脈沖在頻域中具有無限伸展的均勻頻譜。勻頻譜。f(t) 與與 F( () ) 間的彼此的整體刻劃間的彼此的整體刻劃，不能反映各

4、自在局部區(qū)域上的特征。，不能反映各自在局部區(qū)域上的特征。只能確定信號中有哪些頻率，但不能確定此只能確定信號中有哪些頻率，但不能確定此頻率何時發(fā)生。頻率何時發(fā)生。章毓晉 (TH-EE-IE) 在實際過程中,時變信號是常見的，如語音信號、地震信號、雷達(dá)回波等。在這些信號的分析中，希望知道信號在突變時刻的頻率成份，顯然利用Fourier變換處理這些信號，這些非平穩(wěn)的突變成份往往被Fourier變換的積分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在實際應(yīng)用中，也不乏不同的時間過程卻對應(yīng)著相同的頻譜的例子。 由于由于FourierFourier變換存在著不能同時進(jìn)行時間頻率變換存在著不能同時進(jìn)行時間頻率局部

5、分析的缺點，曾出現(xiàn)許多改進(jìn)的方法。局部分析的缺點，曾出現(xiàn)許多改進(jìn)的方法。19461946年年D.GaborD.Gabor提出一種加窗的提出一種加窗的FourierFourier變換方法，它在非變換方法，它在非平穩(wěn)信號分析中起到了很好的作用。是一種有效的平穩(wěn)信號分析中起到了很好的作用。是一種有效的信號分析方法，而且與當(dāng)今的小波變換有許多相似信號分析方法，而且與當(dāng)今的小波變換有許多相似之處。之處。 Gabor變換的定義變換的定義在在GaborGabor變換中，把非平穩(wěn)過程看成是一系列短變換中，把非平穩(wěn)過程看成是一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，而短時性是通過時間上加窗時平穩(wěn)信號的疊加，而短時性是通過時間上

6、加窗來實現(xiàn)的。整個時域的覆蓋是由參數(shù)來實現(xiàn)的。整個時域的覆蓋是由參數(shù)的平移達(dá)的平移達(dá)到的。到的。 換句話說，該變換是用一個窗函數(shù) g(t-) 與信號f(t)相乘實現(xiàn)在 附近開窗和平移，然后施以Fourier變換，這就是Gabor變換也稱短時Fourier變換或加窗Fourier變換。Gabor變換的定義由下式給出：對于 f(t) L2(R) (, )( )()jtff t g tedt Gp 是積分核是積分核。p 該變換在該變換在 點附近局部測量了頻率為點附近局部測量了頻率為 的正弦分量的幅度。的正弦分量的幅度。p 通常通常g(t)選擇能量集中在低頻處的實偶函數(shù)選擇能量集中在低頻處的實偶函數(shù)(

7、)j tg te （1） D.Gabor采用高斯(Gauss)函數(shù)作窗的函數(shù)，相應(yīng)的Fourier變換仍舊是Gauss函數(shù)，從而保證窗口Fourier變換在時域和頻域內(nèi)均有局部化功能。令窗口函數(shù)為)(tgaataea tg4/221)()(tga則有則有：式中式中a決定了窗口的寬度，決定了窗口的寬度， 的的FourierFourier變換用變換用 表示。表示。( )aG相應(yīng)的重構(gòu)公式為：相應(yīng)的重構(gòu)公式為：p 顯然信號顯然信號f( (t t) )的的GaborGabor變換按窗口寬度分解了變換按窗口寬度分解了f(t)(t)的頻譜的頻譜F(F(),),提取出它的局部信息。提取出它的局部信息。p 當(dāng)

8、當(dāng)在整個時間軸上平移時，就給出了在整個時間軸上平移時，就給出了FourierFourier的完整變換。的完整變換。 為了提取高頻分量，時域窗口應(yīng)盡量窄，頻域窗口適為了提取高頻分量，時域窗口應(yīng)盡量窄，頻域窗口適當(dāng)放寬。當(dāng)放寬。 對于慢變的低頻信號，時窗可適當(dāng)加寬，而頻窗應(yīng)盡對于慢變的低頻信號，時窗可適當(dāng)加寬，而頻窗應(yīng)盡量縮小，保證有較高的頻率分辨率和較小的測量誤差。量縮小，保證有較高的頻率分辨率和較小的測量誤差。 總之，對多尺度信號希望時頻窗口有自適應(yīng)性，高頻情總之，對多尺度信號希望時頻窗口有自適應(yīng)性，高頻情況下，頻窗大，時窗小，低頻情況下，頻窗小，時窗大。況下，頻窗大，時窗小，低頻情況下，頻窗

9、小，時窗大。Gabor變換的缺點變換的缺點 GaborGabor變換的時頻口是固定不變的，變換的時頻口是固定不變的，窗口沒有自適窗口沒有自適應(yīng)性應(yīng)性，不適于分析多尺度信號過程和突變過程，而且其，不適于分析多尺度信號過程和突變過程，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實現(xiàn)高效算法，這是離散形式?jīng)]有正交展開，難于實現(xiàn)高效算法，這是GaborGabor變換的主要缺點，因此也就限制了它的應(yīng)用。變換的主要缺點，因此也就限制了它的應(yīng)用。但是但是Gabor變換已具備了變換已具備了平移功能平移功能，只是其相當(dāng)于放大倍，只是其相當(dāng)于放大倍數(shù)固定的顯微鏡而已。在這方面數(shù)固定的顯微鏡而已。在這方面J.Morlet為此作

10、出了重大為此作出了重大貢獻(xiàn)。貢獻(xiàn)。 小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近的新領(lǐng)域，經(jīng)過近2020年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實。第第2節(jié)節(jié) 小波變換的基本概念小波變換的基本概念 信號和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時間尺度信號和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時間尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣成、圖像識別、計算機(jī)視覺、

11、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價值的成果值的成果p與與FourierFourier變換、變換、GaborGabor變換相比，小波變換是時間（空間變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對信號（函數(shù)）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對信號（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分處頻率細(xì)分p 能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，

12、解決了細(xì)節(jié)，解決了FourierFourier變換的困難問題，成為繼變換的困難問題，成為繼FourierFourier變換變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。以來在科學(xué)方法上的重大突破。p 有人把小波變換稱為有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡數(shù)學(xué)顯微鏡”。 1 .1 .小波小波 形如下式的函數(shù)稱之為小波。形如下式的函數(shù)稱之為小波。,1( )a btbtaa其中其中a為尺度參數(shù)，為尺度參數(shù)，b是定位參數(shù)。是定位參數(shù)。 小波的概念小波的概念u 若若a1，函數(shù)函數(shù) 具有伸展作用；具有伸展作用；u 若若0a1，函數(shù)函數(shù) 具有收縮作用。而其具有收縮作用。而其FourierFourier變換變換 則恰好相反。伸縮

13、參數(shù)則恰好相反。伸縮參數(shù)a對對小波小波 的影響見下圖。的影響見下圖。u 小波小波 隨伸縮參數(shù)隨伸縮參數(shù)a平移參數(shù)平移參數(shù)b而變化如而變化如下圖所示。下圖所示。a bt,( )( )(,tbaa bt,( )a bt,( )a:a1。 )(tabba,小波的波形隨參數(shù)變化的情形 )(10, 5 . 0ta btt,( )( )2 152)(ttetabtt,( )( )215)(10, 5 . 0t圖中小波函數(shù) 。當(dāng)a=2, b=15時， 的波形 從原點向右移至t=15且波形展寬，a=0.5, b=-10時， 則是從原點向左平移至t=-10處且波形收縮。)(t 隨著參數(shù)隨著參數(shù)a的減小，的減小，

14、 的支撐區(qū)也隨之變窄，的支撐區(qū)也隨之變窄，而而 的頻譜隨之向高頻端展寬，反之亦然。的頻譜隨之向高頻端展寬，反之亦然。這就有可能實現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化，當(dāng)信號頻率這就有可能實現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化，當(dāng)信號頻率增高時，時窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于增高時，時窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時域分辨率，反之亦然。提高時域分辨率，反之亦然。a bt,( ),( )a b小波小波 的選擇既不是唯一的，也不是任意的。的選擇既不是唯一的，也不是任意的。這里這里 是歸一化的具有單位能量的解析函數(shù)是歸一化的具有單位能量的解析函數(shù)，它應(yīng)滿足如下幾個條件：它應(yīng)滿足如下幾個條件： ( ) t( ) t (1

15、)(1)定義域應(yīng)是緊支撐的定義域應(yīng)是緊支撐的(Compact Support)(Compact Support)，換句，換句話說就是在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)為零，也就話說就是在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)為零，也就是函數(shù)應(yīng)有是函數(shù)應(yīng)有速降特性速降特性。2 .2 .小波的特點小波的特點 (2)(2)平均值為零，即：平均值為零，即：tt dtkNk( ), ,0011 該條件也叫該條件也叫小波的容許條件小波的容許條件(Admissibility Condition)其高階矩也為零。其高階矩也為零。( ) t dt0（6）（7）式中 , 是有限值 C它意味著 處 連續(xù)可積2( )Cd ( )( )j

16、tt edt( )00)()0(dtt（8）（9） 上面兩個條件可概括為：小波應(yīng)是一個具有振蕩性具有振蕩性和迅速衰減迅速衰減的波。 由上式可以看出，小波 在 t 軸上取值有正有負(fù)才能保證式上式積分為零。所以 應(yīng)有振蕩性。( ) t( ) t 小波變換的形式：小波變換的形式：dtabtatfdtttfbaWbaf1)()()(),(,af tLR02 , ( )( ) 設(shè)函數(shù) 具有有限能量，即: )(tff tLR( )( )2（10） 則小波變換的定義如下：其中，積分核就是函數(shù)族： 如果 是復(fù)變函數(shù)時，上式采用復(fù)共軛函數(shù) 。a bt,( )a bt,( ) abtatba1)(,對于所有的 ，

17、 ，連續(xù)小波逆變換由式（11）給出。)(tf( )( )tLR2f tCaWa bt dadbfa b( )( , )( ),12(11) 2( )Cd 其中 圖 3加窗Fourier分析和小波分析的時頻特性比較a)f7f8f9f6f5f4f2f3f頻率恒定帶寬(STFT)b)2f8ff4f頻率恒定相對帶寬(小波變換WT)圖 4 Gabor變換特性（a）和小波濾波特性(b) 圖圖4 4顯示了顯示了GaborGabor變換與小波變換的濾波特變換與小波變換的濾波特性。性。由圖可見由圖可見Gabor濾波是恒定帶寬濾波，濾波是恒定帶寬濾波，而小波濾波隨著中心頻率增加而帶寬加大。而小波濾波隨著中心頻率增

18、加而帶寬加大。 可以這樣理解小波變換的含義：打個比喻，我們用鏡頭觀察目標(biāo)信號f (t)， (t)代表鏡頭所起的所用。b 相當(dāng)于使鏡頭相對于目標(biāo)平行移動，a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。由此可見，小波變換有以下特點： 多尺度/多分辨的特點，可以由粗及細(xì)地處理信號； 可以看成用基本頻率特性為()的帶通濾波器在不同尺度a下對信號做濾波。 適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使(t)在時域上為有限支撐,()在頻域上也比較集中，就可以使WT在時、頻域都具有表征信號局部特征的能力。小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。v 尺度伸縮 對波形的尺度伸縮就是在時間軸上對信號進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。1);sin()(attf21

19、);2sin()(attf41);4sin()(attf小波變換的思想21);2()(attf41);4()(attf1);()(attfv 尺度與頻率的關(guān)系尺度與頻率的關(guān)系如下： 小尺度a 壓縮的小波快速變換的細(xì)節(jié)高頻部分 大尺度a 拉伸的小波緩慢變換的粗部低頻部分v 時間平移 時間平移就是指小波函數(shù)在時間軸上的波形平行移動，如圖所示。(1) 選擇一個小波函數(shù)，并將這個小波與要分析的信號起始點對齊；(2) 計算在這一時刻要分析的信號與小波函數(shù)的逼近程度，即計算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。小波運(yùn)算的基本步驟：小波運(yùn)算的基本步驟：(3) 將小波

20、函數(shù)沿時間軸向右移動一個單位時間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個信號長度，如圖所示；(4) 將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；(5) 對所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。小波變換的基本性質(zhì)小波變換的基本性質(zhì) （1）線性小波變換是線性變換。設(shè) 為 的小波變換,Wa bf 1( , )ft1( )則有: f tftft( )( )( )12 ),( ),( ),(21baWbaWbaWfff (14),(2baWf)(2tf 為 的小波變換,（2）平移和伸縮的共變性）平移和伸縮的共變性連續(xù)小波變

21、換在任何平移連續(xù)小波變換在任何平移 b0 之下是共變的，即：之下是共變的，即：如果如果 是小波變換關(guān)系，則是小波變換關(guān)系，則也是小波變換關(guān)系。也是小波變換關(guān)系。),()(baWtff),()(00bbaWbtff 3）尺度轉(zhuǎn)換）尺度轉(zhuǎn)換 若若f(x)的小波變換為為的小波變換為為 ，則，則 的的小波變換為小波變換為 ( , )fWa b(,)fa bW ()xf幾種典型的一維小波幾種典型的一維小波 小波的選擇是靈活的，凡能滿足條件的函數(shù)均小波的選擇是靈活的，凡能滿足條件的函數(shù)均可作為小波函數(shù)，這里僅介紹幾種具有代表性的可作為小波函數(shù)，這里僅介紹幾種具有代表性的小波以供參考。小波以供參考。 該正交

22、函數(shù)是由該正交函數(shù)是由A.HaarA.Haar于于19101910年提出的，對年提出的，對t t平移時平移時可得到：可得到： 0 121 1210 1 )(其他tttH (12)（1） Haar小波HHttn dtn( )(),0012 (13) 其波形如圖 5所示： 圖 5 Haar 小波 （2） Mexico Hat小波Mexico Hat小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即：222)1 (4132)(tett ( 13)Mexico HatMexico Hat小波也叫小波也叫MarrMarr小波，小波，Mexico HatMexico Hat小波是實值小波小波是實值小波0.867 -2 -

23、1 0 1 2 x0 sFTMarr小波及其頻譜小波及其頻譜 （3） Morlet小波Morlet小波是最常用的復(fù)值小波，它可由下式給出：22001422( ) tjtteee(3237)其Fourier變換為： (3-238)22200()14222() eee 52第3節(jié) 多分辨率分析 多分辨率分析多分辨率分析（MRA，Multi-Resolution Analysis） 現(xiàn)代信號處理中的一個重要的概念?，F(xiàn)代信號處理中的一個重要的概念。 例如，不同比例的地圖就形成了一套典型的多分辨率圖形：例如，不同比例的地圖就形成了一套典型的多分辨率圖形： 全國地圖，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要

24、特征，但無法分辨細(xì)節(jié)；全國地圖，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但無法分辨細(xì)節(jié)； 城市地圖，可以分清局部細(xì)節(jié)（街道、廣場和公園等），但無法看到大特征。城市地圖，可以分清局部細(xì)節(jié)（街道、廣場和公園等），但無法看到大特征。 再如，照相機(jī)鏡頭不同拉伸（再如，照相機(jī)鏡頭不同拉伸（zoom）時形成的一套多分辨率照片：）時形成的一套多分辨率照片： 當(dāng)鏡頭拉遠(yuǎn)時，我們看到的大場面，能夠分辨大的特征，但看不清細(xì)節(jié)；當(dāng)鏡頭拉遠(yuǎn)時，我們看到的大場面，能夠分辨大的特征，但看不清細(xì)節(jié)； 當(dāng)鏡頭拉近時，能夠看清細(xì)節(jié)，但看不清大特征。當(dāng)鏡頭拉近時，能夠看清細(xì)節(jié)，但看不清大特征。小波基函數(shù)：小波基函數(shù)： a1時

25、，時域變寬，便于表現(xiàn)大特征；時，時域變寬，便于表現(xiàn)大特征；a1時，時域變窄，便于分析細(xì)節(jié)。時，時域變窄，便于分析細(xì)節(jié)。 導(dǎo)致了信號多分辨率分析的最基本思路。導(dǎo)致了信號多分辨率分析的最基本思路。53 若 函數(shù) 的整數(shù)平移序列 滿足 則 為尺度函數(shù)（scaling function）。 張成零尺度空間V0 ： (6.23) 對任意 ，可由V0空間的尺度函數(shù)的線性組合表示： )()(2RLt )()(kttk,( ),( )iji jtt)(tk00(2)( )kkkkVspantspantkZ0)(Vtf)()(tatfkkk)(tk一、尺度函數(shù)和尺度空間54 尺度函數(shù)既平移又伸縮： （6.24）

26、 張成Vj 尺度空間： （6.25） 對任意 ，可由Vj空間的尺度函數(shù)的線性組合表示 （6.26）由此，尺度函數(shù)在不同尺度下其平移序列構(gòu)成了一系列的尺度空間： )2()2(2)(2,tkttjkjjkjZktspanVjkkj,)2()2(tjkjVtf)(2( )(2)2(2)jjjkkkkkf tatatkZjjV55 尺度j 增大，j=2，尺度函數(shù)的定義域變大，實際的平移間隔（由2 j 決定）變大， 它們的線性組合式（6.26）不適宜表示函數(shù)的細(xì)微（小于該尺度）變化， 因此其張成的尺度空間只能包括大跨度的緩變信號。 尺度j 減小，j=0，尺度函數(shù)的定義域變小，實際的平移間隔變小， 它們的

27、線性組合式便能表示函數(shù)的更細(xì)微（小尺度范圍）的變化， 張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多（包括小尺度信號和大尺度的緩變信號）。 隨著尺度j 的減小，尺度空間變大。j=0j=1j=2圖圖6.6 不同尺度空間的尺度函數(shù)不同尺度空間的尺度函數(shù))2(00tSpanVk11(2)kVSpant22(2)kVSpant56 由不同的尺度函數(shù)和尺度空間可以組成一個多分辨率分析， 滿足下述性質(zhì)的 上的一系列閉子空間 。 1) 一致單調(diào)性： （6.27） 反映不同尺度空間之間的包含關(guān)系。 2) 漸進(jìn)完全性： （6.28） 3) 伸縮規(guī)則性：（不同尺度間） 若 ，則 （6.29）)(2RLZjjV21012VVVVV

28、0jZjV)(2RLVjZj0(2 )jftVjZ( )jf tV二、多分辨率分析Digital Image Processing574) 平移不變性（同一尺度內(nèi)）： 若 ，則 （6.30） 5) 尺度函數(shù)存在性： 存在尺度函數(shù) ，使得 成為 的一個線性無關(guān)基。 （6.31）MRA分析：所有閉子空間都是由同一尺度函數(shù)伸縮、平移系列張成的尺度空間。( )jf tV()jf tnVnZV0V1V2V3W1W2W3圖圖6.7 尺度空間和小波空間尺度空間和小波空間V-1粗尺粗尺度度細(xì)尺細(xì)尺度度21012VVVVV0( ) tVZnnt )(0V0()n ZVspantnRiesz基基58 （1）小波函

29、數(shù)和小波空間 MRA的一系列尺度空間是由一個尺度函數(shù)在不同的尺度下張成的， 不同的尺度空間互相包含，基函數(shù)在不同尺度間不具有正交性， 在同一尺度下具有正交性。 定義尺度空間的補(bǔ)空間： （6.32）mmmWVV1mmWVVmVm-1 Wm圖圖6.8 小波空間示意小波空間示意三、小波分析59任意 與 是相互正交的（空間不相交），記為 。由（6.27）（6.28）式可知： （6.33） 因此， 構(gòu)成了 的一系列正交的子空間，由（6.33）可得： ， ， ， （6.34） 由尺度函數(shù)伸縮規(guī)則可得： 如果 ，則 （6.35）設(shè) 為 的正交基，則 為 的正交基。 的整個集合必然構(gòu)成了 空間的一組正交基。

30、是由同一母函數(shù)伸縮、平移得到的正交小波基（小波函數(shù)）。mWnWnmWWjZjWRL)(2ZjjW)(2RL010VVW101VVWjjjVVW10( )f tW(2)jjftWjZ/2,2(2);jjj kt k k Z;, 0Zkk0W,;,Zkjkj)(2RL)(,tkj小波空間小波空間jW60（2）正交小波分解 多分辨率分析： 對于任意函數(shù)，可以將它分解為細(xì)節(jié)部分和大尺度逼近部分， 然后將大尺度逼近部分進(jìn)一步分解， 如此重復(fù)可以得到任意尺度（分辨率）上的 大尺度逼近部分和細(xì)節(jié)部分。61【例6.3】一連續(xù)信號f(t)在尺度空間的投影為信號的概貌fs(t)， 在小波空間的投影為信號的細(xì)節(jié)fd

31、(t)。圖圖6.9 信號在尺度空間和小波空間的投影信號在尺度空間和小波空間的投影t在在V4 空間的投影空間的投影fs4(t )W4 = V3 V4在在W4 空間的投影空間的投影fd4(t ) t在在V5 空間的投影空間的投影fs5(t ) tW5 = V4 V5在在W5 空間的投影空間的投影fd5(t ) t在在V3 空間的投影空間的投影fs3(t )tW3 = V2 V3(a) 信號在不同尺度空間的信號在不同尺度空間的投影投影(b) 信號在不同小波空間的信號在不同小波空間的投影投影在在W3 空間的投影空間的投影fd3(t ) t62 j尺度下的概貌信號 其中，尺度展開系數(shù)為： （6.36）

32、j尺度下的細(xì)節(jié)信號 其中，小波展開系數(shù)為： （6.37） 若將 按以下空間組合展開： （6.38）,( ),( )j kj kcf tt,( )(2)( )jjsj k kj kj kkkftctct)()2()(,tdtdtfkjkjkjkkjkjd)(),(,ttfdkjkjJjJjJJVWVWWWWWRL1012)()()(2RLxf63 其中J為任意設(shè)定的尺度，則形成小波綜合公式： （6.39） （6.40）記dj,k為f(t)的離散小波變換WTf(j,k)，離散小波變換綜合公式（逆變換）為 （6.41） 離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的。,( )( , )( )fj kj

33、 kf tWTj kt,( )( )( )Jj kj kJ kJ kjkkf tdtct J)()(,tdtfkjkjjk 所有細(xì)所有細(xì) 細(xì)節(jié)細(xì)節(jié)Wj 概貌概貌64 （4）尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性 1）尺度函數(shù)在同一尺度 下正交： 不同尺度之間不正交。 （6.42） 2）小波函數(shù)在所有空間正交： （6.43） 3）同一尺度下小波函數(shù)同尺度函數(shù)正交： （6.44）0,2(2)(2),jjjkttk dtj kZ, ,( )( ), ,j km nj m k ntt dtj k m nZ,( )( )0j kj ntt dt65（5）二尺度方程 由MRA可知，V0空間的任一函數(shù)可用V1空間的尺度

34、函數(shù)線性展開： 其中展開系數(shù)h0(n)、h1(n)分別為： （6.47） （6.45）和（6.46）為二尺度方程：描述相鄰二尺度空間基函數(shù)之間的關(guān)系。nnnhnh, 11, 10,)(,)()2()(2)()()(1, 11ntnhtnhtnnn)2()(2)()()(0, 10ntnhtnhtnnnV0空間空間 組合系數(shù)組合系數(shù) V1空間空間尺度尺度函數(shù)函數(shù)（6.45）（6.46）Digital Image Processing66頻域的二尺度方程：0( )()()22H 1( )()()22H 01( )(2)jjH 101( )()(2)2jjHH 0( )2( ) (2)nthntn1

35、( )2( ) (2)nthntnDFTDFT（6.48）（6.49）67（6）尺度向量和小波向量 二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度 j 和 j-1 之間，即： （6.50） （6.51） 展開系數(shù)h0和h1是由尺度函數(shù)和小波函數(shù)決定的，與具體的尺度j無關(guān)。 稱濾波系數(shù) h0為尺度向量，h1為小波向量，具有以下特性： ， ， （6.52）)()()(, 100,tnhtnjnj)()()(, 110 ,tnhtnjnj0( )2nh n 1( )0nh n 10( )( 1)(12)nh nhnN 在連續(xù)小波變換中，伸縮參數(shù)和平移參數(shù)連續(xù)取值，在連續(xù)小波變換中，伸縮參數(shù)和平移參數(shù)連續(xù)取值，連續(xù)小波

36、變換主要用于理論分析，在實際應(yīng)用中離連續(xù)小波變換主要用于理論分析，在實際應(yīng)用中離散小波變換更適于計算機(jī)處理。散小波變換更適于計算機(jī)處理。第第4 4節(jié)節(jié) 離散小波變換離散小波變換 為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù) 的a、限定在一些離散的點上取值。)(1)(,atata離散化方法離散化方法（1）尺度的離散化）尺度的離散化 目前通行的做法是對尺度進(jìn)行冪數(shù)級離散化。即令a取2 , 1 , 0),(, 0,02000jtaaZjaaajjj對應(yīng)的小波函數(shù)是：（2 2）位移離散化）位移離散化通常對進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個時間軸， 滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時，沿軸的響應(yīng)采樣間

37、隔是2j 0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對應(yīng)的頻率減小一半。此時采樣率可降低一半而不導(dǎo)致引起信息的丟失。00jka因此在尺度j下，由于 的寬度是 的 倍，因此采樣間隔可擴(kuò)大 ，而不會引起信息的丟失。 可寫成：離散小波變換的定義為：)(0taj)(tja0ja0) (,ta)(002000020ktaakataajjjjjZkjdtttfkaWTkajfj，,2 ,1 ,0,)()(),(00,00一般，取a0=2，則a=2j，=2jk0，則采樣間隔為=2j0當(dāng)a=2j時，的采樣間隔是 2j0 ，此時， 變?yōu)椋?(,taZkjtktkjjj；即, 2 , 1 , 0),(),

38、2(2,02一般，將0歸一化，即0=1，于是有： -二進(jìn)小波此時，對應(yīng)的WTf為：)2(2)(2,kttjjkjdtttfkjWTkjf)()(),(,75二進(jìn)小波基函數(shù)的示例 b=4b=4b=3b=2b=2b=1b=0b=0b=0a=1a=1/2a=1/2a=1/2a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4j=0-k=0j=-1-k=0j=-1-k=4j=-1-k=8j=-2-k=0j=-2-k=4j=-2-k=8j=-2-k=12j=-2-k=16x0 1 2 3 4 5圖圖6.18 二進(jìn)小波示意圖二進(jìn)小波示意圖76（3）正交二進(jìn)小波）正交二進(jìn)小波 如果二進(jìn)小波函數(shù) 滿足： （6.

39、74） 則稱為正交小波基。 如果任一函數(shù) f(x)，可由正交小波基的線性組合表示，也可稱作小波級數(shù)： （6.75）elsemkandljmlkjmlkj01,( )( )j kj kjjf xcx /2,( )( )2( ) (2)jjj kj kcf xxf xxk dx/2,( )2(2)jjj kxxkf(x)的小波系數(shù)的小波系數(shù)77（4）正交小波基幾例）正交小波基幾例 1）Haar正交小波基: （6.76） 2）Meyer正交小波基，其傅里葉變換為： （6.77） 3）二階Marr正交小波基: （6.78） 4）Morlet復(fù)正交小波基: （6.79） 頻譜 （6.80）101/2(

40、)11/21xxx22(1/2)sin (3| /4/2)2 /3 | 4 /3( )(1/2)cos (8| /3/2)4 /3 | 8 /3jjevev 2222( )(1)3xxxe2020( ),5xjxxee20()2( )2e 2022年2月20日16時07分離散小波變換方法離散小波變換方法l執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法這種方法實際上是一種信號的分解方法，在數(shù)字信號處理中稱為雙通道子帶編碼l用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號，通過兩個互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個信號A表示信號的近似值(app

41、roximations)D表示信號的細(xì)節(jié)值(detail)2022年2月20日16時07分l在許多應(yīng)用中，信號的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個“添加劑”的作用。l比如聲音，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。l在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號的高頻分量。雙通道濾波過程2022年2月20日16時07分l離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹一棵樹原始信號通過這樣

42、的一對濾波器進(jìn)行的分解叫做一級分解原始信號通過這樣的一對濾波器進(jìn)行的分解叫做一級分解信號的分解過程可以疊代，也就是說可進(jìn)行多級分解。信號的分解過程可以疊代，也就是說可進(jìn)行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續(xù)進(jìn)行分如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(wavelet decomposition tree)分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要分解級數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的

43、需要小波分解樹小波分解樹2022年2月20日16時07分小波包分解樹小波包分解樹 l小波分解樹表示只對信號的低頻分量進(jìn)行連續(xù)小波分解樹表示只對信號的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。如果不僅對信號的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分分解。如果不僅對信號的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不解，而且對高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹得到的樹叫做小波包分解樹(wavelet packet decomposition tree

44、)，這種樹是一個完整的二，這種樹是一個完整的二進(jìn)制樹。進(jìn)制樹。 對于一幅圖像，量化級數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來表示。 我們可以將不同的量化級數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的 從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設(shè)有一幅256級量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的圖像，則 可理解為Vj空間中的圖像有一部分保留在Vj+1空間中，還有一部分放在Wj+1空間，如下圖所示：11jjjWVV

45、VjWj+1Vj+184 用一維張量乘積構(gòu)造的二維尺度空間，各維變量是相互獨立的。 二維j 尺度空間為： （6.81） 如果 是 Vj 的標(biāo)準(zhǔn)正交基， 則 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基。 ( )( )( )( )jjjjjVVVg xf yg xVf yVjZ/2,( )2(2)jjj nxxn,( )( )j nj mn m ZxxjV111123()()()()()()jjjjjjjjjjjjjjjjjjjVVVVWVWVVWVWVWWVWWW（6.82）,( )( )j nj mn m Zxx,( )( )j nj mn m Zxx,( )( )j nj mn m Zxx,( )( )j nj mn

46、 m Zxx對應(yīng)的尺度和小波函數(shù)二維多分辨率分析二維多分辨率分析85由 構(gòu)成的張量積二維MRA：1）2） （6.84）3） （6.85）4）3V22WW22VW33WW33VW2W3W4W4V2W3W4W4V22VW33VW1V2V1V2V3V 圖圖6.19 二維二維MRA空間示意圖空間示意圖jj ZV22101()VVVL R0jj ZV22()jj ZVL R22123,()()( )( )( )( )( )( )jjjj Zj nj nj nj nj nj nj m n ZLRWWWspanxxxxxx （6.86）（6.83）Digital Image Processing86 二維尺

47、度向量 二維尺度函數(shù) 可分離 一維尺度函數(shù) 小波函數(shù) 4個基本小波: 由此可建立二維二進(jìn)小波函數(shù)集： （6.87）0( , )h x y( , )x y，( ) ( )xy)(xkkxkhx)2()()(1 , ,( , )2(2,2)ljljjj m nx yxmyn)(ykkykhy)2()()(1)()(),(1yxyx)()(),(2yxyx)()(),(3yxyx)()(),(yxyx二維離散小波變換87（1）二維小波正變換 NN的圖像f1(x,y)，N=2 i ，二維離散小波變換的第一層分解（j=1）如下： （6.88） （6.89） （6.90） （6.91） 當(dāng)j=2時，可以一

48、直分解下去。 具體運(yùn)算時，在行和列兩個方向上的間隔抽樣后依次做下去。01111( , )( , ), (2,2)W m nf x yx my n1111111( , )( , ),(2,2)W m nf x yxmyn2211111( , )( , ),(2,2)Wm nf x yx myn3311111( , )( , ),(2,2)W m nf x yx my nDigital Image Processing88【例6.6】圖像的三層小波分解實際過程如圖6.20所示。 (a) 一層小波分解的計算一層小波分解的計算h0(-y)h1(-y)h0(-y)h1(-y)h0(-x)h1(-x)f1

49、(x,y)W10(x,y)W11(x,y)W12(x,y)W13(x,y) 列處理列處理 丟奇數(shù)行丟奇數(shù)行行處理行處理 丟奇數(shù)列丟奇數(shù)列2:12：12：1Digital Image Processing89圖6.20 圖像小波分解的示例2：12：1W20 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=2層次層次W40 W12 W11 W13 W22 W21 W23 j=3層次層次(b) 三層小波分解的示意圖三層小波分解的示意圖f1(x,y)W10 W12 W11 W13 j=1層次層次2：1原圖像原圖像Digital Image Processing90 圖圖6.20 圖像小波分解的示例

50、圖像小波分解的示例(c) 二層小波分解結(jié)果二層小波分解結(jié)果91（2）二維小波逆變換 二維小波逆變換（IDWT）過程和正變換相反，其中一層的計算如圖6.21所示。重建重建f1(x,y)W10(m,n)列插列插0行插行插0卷積行卷積行卷積列卷積列圖圖6.21一次小波反變換示意圖一次小波反變換示意圖h0(m)h1(m)h0(m)h1(m)h0(n)h1(n)W11(m,n)W12(m,n)W13(m,n)1:21:21:21:21:21:2章毓晉 (TH-EE-IE)小波家族名稱小波家族名稱wname簡稱簡稱Haar wavelethaarMorlet waveletmorlMeyer wavele

51、tmeyrBiothogonal waveletbiorDaubechies waveletsdbSymletssymMatlab中的小波變換函數(shù)：章毓晉 (TH-EE-IE)小波家族函數(shù)waveletfamilies()Waveletfamilies或waveletfamilies(f)：該函數(shù)返回Matlab中所有可用的小波家族名稱Waveletfamilies(n)：該函數(shù)返回Matlab中所有可用的小波家族名稱及成員小波的名稱Waveletfamilies(a)：該函數(shù)返回在Matlab中所有可用的小波家族名稱、成員小波的名稱及其特性章毓晉 (TH-EE-IE)小波函數(shù)信息查詢函數(shù)Wa

52、veinfo(wname)：返回名為wname的小波家族的具體信息waveinfo(db)章毓晉 (TH-EE-IE)小波函數(shù)和尺度函數(shù)wavefun()PHI,PSI,XVAL = wavefun(wname, ITER)該函數(shù)返回名為wname的正交小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)；XVAL表示橫坐標(biāo)采樣點，PHI為對應(yīng)采樣點的尺度函數(shù)縱坐標(biāo)，PSI為對應(yīng)采樣點的小波函數(shù)，ITER確定小波函數(shù)和尺度采樣點數(shù)為2ITER個，默認(rèn)取8，即默認(rèn)采256點章毓晉 (TH-EE-IE)小波函數(shù)和尺度函數(shù)wfilters()LO_D,HI_D,LO_R,HI_R = WFILTERS(wname)該函數(shù)返回與

53、母小波wname相關(guān)的4個濾波器；其中，LO_D和HI_D分別表示分解低通濾波器和分解高通濾波器，LO_R和HI_R表示重構(gòu)低通濾波器和高通濾波器1-D離散小波變換函數(shù)dwt（）格式：cA,cD=dwt(X,wname)cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)說明：cA,cD=dwt(X,wname)使用指定的小波基函數(shù)wname對信號X進(jìn)行分解，cA和cD分別是近似分量和細(xì)節(jié)分量；cA,cD=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的濾波器組Lo_D,Hi_D對信號進(jìn)行分解1-D離散小波反變換函數(shù)idwt（）（）格式：X=idwt(cA,cD,wname)X=idwt(cA,cD,Lo_R

54、,Hi_R)X=idwt(cA,cD,wname,L)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)說明：由近似分量cA和細(xì)節(jié)分量cD經(jīng)過小波反變換，選擇某小波函數(shù)或濾波器組，L為信號X中心附近的幾個點章毓晉 (TH-EE-IE)單層二維離散小波分解函數(shù)dwt2()cA, cH, cV, cD = dwt2(X, wname)該函數(shù)利用母小波函數(shù)wname對圖像矩陣X進(jìn)行二維離散小波分解，計算返回圖像X的近似系數(shù)矩陣cA，細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣的水平分量cH，垂直分量cV以及對角分量CD章毓晉 (TH-EE-IE)章毓晉 (TH-EE-IE)單層二維離散小波逆變換函數(shù)idwt2()X = idwt2

55、(cA, cH, cV, cD, wname)該函數(shù)利用指定母小波函數(shù)wname實現(xiàn)單層圖像矩陣的重構(gòu)，輸入?yún)?shù)cA表示近似系數(shù)矩陣，cH,cV,cD分別表示細(xì)節(jié)系數(shù)的水平、垂直及對角矩陣，計算返回結(jié)果為重構(gòu)的圖像矩陣X章毓晉 (TH-EE-IE)多層二維離散小波分解函數(shù)wavedec2()C, S = wavedec2(X, N, wname)該函數(shù)利用母小波wname對于圖像矩陣X的在第N層進(jìn)行二維離散小波分解，其中N取值為正整數(shù)，返回結(jié)果為分解系數(shù)矩陣C和相對應(yīng)分解系數(shù)的長度矢量矩陣S章毓晉 (TH-EE-IE)多層二維離散小波逆變換函數(shù)X = waverec2(C, S, wname)

56、利用指定母小波wname實現(xiàn)多層圖像矩陣的二維離散逆小波變換，C和S分別表示小波的分解系數(shù)矩陣、相應(yīng)的分解系數(shù)的長度矩陣，結(jié)果返回給圖像矩陣X章毓晉 (TH-EE-IE)二維小波系數(shù)閾值去噪函數(shù)wthcoef2()NC = wthcoef2(type, C, S, N, T, SORH)返回根據(jù)小波分解結(jié)構(gòu)C, S獲得細(xì)節(jié)系數(shù)水平分量、垂直分量及對角分量經(jīng)過閾值去噪后的系數(shù)。type表示選取細(xì)節(jié)參數(shù)的哪種分量，取值可以是h, v, d，分別代表細(xì)節(jié)系數(shù)的水平、垂直及對角分量；C, S是通過函數(shù)wavedec2()獲得小波分解結(jié)構(gòu)；SORH表示選取的閾值濾波函數(shù), s代表軟閾值函數(shù)，h代表硬閾值

57、函數(shù)；N表示進(jìn)行閾值去噪的小波分解層；T為小波閾值章毓晉 (TH-EE-IE)圖像去噪或壓縮函數(shù)XC, CXC, LXC, PERF0, PERFL2 = wdencmp(gbl, X, wname, N, THR, SORH, KEEPAPP)返回圖像X利用指定母小波wname經(jīng)過N層分解后，小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理后的消噪信號XC和信號XC的小波分解結(jié)構(gòu)CXC, LXC。其中，gbl表示每層都采用同一個閾值進(jìn)行處理，THR為閾值向量；KEEPAPP取值為1時，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化；PERF0表示小波系數(shù)中設(shè)置為”0”的百分比；PERFL2表示壓縮后圖像能量的

58、百分比章毓晉 (TH-EE-IE)獲取圖像去噪或壓縮閾值選取函數(shù)THR, SORH, KEEPAPP, CRIT = ddencmp(IN1, IN2, X)返回圖像的小波、小波包消噪和壓縮的閾值選取方案。其中，X為一維或二維的信號向量或矩陣；IN1表示出了目的是去噪還是壓縮，取值為den(信號消噪)或cmp；IN2表示出了的方式，取值wv(使用小波分解)或wp(使用小波包分解)；THR為函數(shù)選擇的閾值，SORH為函數(shù)選擇閾值使用方式：輸出參數(shù)KEEPAPP決定是否對近似分量進(jìn)行閾值處理，可選為0或1；CRIT為使用小波包進(jìn)行分解時所選取的熵函數(shù)類型對數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行偽真彩色編碼函數(shù)wcodemat（）（）格式：Y=wcodemat(X,NB,OPT,ABSOL)Y= wcodemat(X,