高中圓錐曲線題型歸納

1、基本方法：點差法 適用類型：出現(xiàn)弦中點和斜率的關(guān)系已知橢圓C：，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點，求直線ON（O為坐標原點）的斜率KON 。解：設(shè)，設(shè)，將其帶入橢圓C得：減，并整理，得：進一步整理：題型：求軌跡方程類型：弦中點型曲線E：，過點Q（2,1）的E弦的中點的軌跡方程。解：設(shè)直線與橢圓交與兩點，中點為由點差法可得：弦的斜率,由，Q（2,1）兩點可得弦的斜率為,所以，化簡可得中點的軌跡方程為：. 練習(xí)：已知直線過橢圓E:的右焦點，且與E相交于兩點.設(shè)（為原點），求點的軌跡方程答案：類型：動點型在直角坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上

2、任意一點P向y軸作垂線段PP，P為垂足.求線段PP中點M的軌跡C的方程。解：設(shè)M(x，y)，P（x1，y1），則則有： 得軌跡C的方程為 練習(xí)設(shè)分別是橢圓C：的左右焦點，K是橢圓C上的動點，求線段的中點B的軌跡方程。解： 練習(xí)：已知,點在軸上，點在的正半軸上，點在直線上，且.當在軸上移動時，求點軌跡C 答案：類型：動線交點型設(shè)向量，過定點，以方向向量的直線與經(jīng)過點，以向量為方向向量的直線相交于點P，其中，求點P的軌跡C的方程。解：設(shè)，,過定點，以方向向量的直線方程為：,過定點，以方向向量的直線方程為：,聯(lián)立消去得： 求點P的軌跡C的方程為.在ABC中，B是橢圓在x軸上方的頂點，是雙曲線位于x軸

3、下方的準線，當AC在直線上運動時，求ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程。解：易知點直線方程是且在直線上運動?？稍O(shè)則的垂直平分線方程為 的垂直平分線方程為 · P是ABC的外接圓圓心，點P的坐標滿足方程和。· 由和聯(lián)立消去得，故圓心P的軌跡E的方程為題型：動態(tài)定值問題 類型：存在性問題雙曲線C：的左右焦點分別為，直線過點且與雙曲線C交于、兩點。設(shè)點，問：是否存在實數(shù)，使得直線繞點無論怎樣轉(zhuǎn)動，都有成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.解：當直線l的斜率不存在時，易知，計算得；當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消得，設(shè)、，則.假設(shè)存在實數(shù)，使得，

4、故得恒成立，解得 當時，.，綜上，存在，使得.練習(xí)拋物線：，焦點，過點作兩條互相垂直的曲線的弦、，設(shè)、 的中點分別為問：直線是否過某一定點？若經(jīng)過，求出該定點；不經(jīng)過，請說明理由。解：類型：恒成立問題設(shè)圓過，且圓心在曲線：上，是圓在軸上截得的弦，試探究當運動時，弦長是否為定值？為什么？解：設(shè)圓的圓心為，圓過，圓的方程為.令得：.設(shè)圓與軸的兩交點分別為，,不妨設(shè)，由求根公式得，.又點在拋物線上，即4.當運動時，弦長為定值4.練習(xí)如圖，已知橢圓，點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m0），l交橢圓于A、B兩個不同點。求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.解：設(shè)直線MA、

5、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可.,設(shè)，則且，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. 過雙曲線的上支上一點作雙曲線的切線交兩條漸近線分別于點.求證：為定值。解：2 類型：能夠轉(zhuǎn)化為直線垂直的特殊幾何問題（矩形問題）過點Q(2,0)作直線l與曲線C：交于A、B兩點，設(shè)N是過點，且以為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.解： 當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點，不符合題意.所以設(shè)直線l的方程為y = k(x+2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點

6、，N點所在直線方程為由由= 即 即，四邊形OANB為平行四邊形 假設(shè)存在矩形OANB，則，即，即，于是有,得 檢驗：設(shè),即點N在直線上.存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為（三點共圓問題）設(shè)直線與雙曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過點D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.解：設(shè)A、B點的坐標分別為、，由 得，AB與雙曲線交于兩點，>0，即解得若以AB為直徑的圓過D（0，2），則ADBD，即， 解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.題型：動態(tài)最值問題 類型：轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，并通過交點情形找出限定范圍 設(shè)過的直線與曲線C：交于兩

7、個不同點M、N，求的取值范圍。解：當直線的斜率不存在時，與曲線無交點，不合題意，可設(shè)直線的方程為：，與曲線交于,則由 ，的取值范圍是.練習(xí)曲線：的準線線交軸于，過的直線交曲線于兩點，又的中垂線交軸于點，求橫坐標取值范圍。解： 橫坐標取值范圍曲線E是雙曲線C：的右支，焦點為，直線過點且與雙曲線C交于、兩點。過、作直線的垂線、，垂足分別為、，記，求的取值范圍. 解法一：（一般方法）直線的斜率不存在時，當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，設(shè)、，解得.直線是雙曲線的右準線， 由雙曲線定義得：，.綜上， 解法二：（僅適用于雙曲線情形，因為雙曲線可以以漸近線判斷交點個數(shù)）設(shè)直線的傾斜

8、角為，雙曲線的漸近線為由于直線與雙曲線右支有二個交點，過作，垂足為，則， 由，得,故 .類型：巧用求取值范圍橢圓C：,過點P（0，m）的直線l與橢圓C交于相異兩點A、B，且，求m的取值范圍解：,（），（1），14，3 設(shè)l與橢圓C交點為A（x1，y1），B（x2，y2）,得（k22）x22kmx（m21）0,（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）>0 即k2>2m2-2 x1x2， x1x2.3 ,x13x2 ,消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240,整理得4k2m22m2k220.m2時，上式不成立；m2時，k2， 將代入，得：>2m2-2，解

9、，得：1<m< 或 <m<1. 類型：轉(zhuǎn)化為基本不等式已知橢圓，F(xiàn)為橢圓的左焦點，是橢圓上縱坐標不為零的兩點，若，且求線段AB的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍解法一：（聯(lián)立方程）設(shè) A、B是橢圓上縱坐標不為零的點，A、F、B三點共線，且直線AB的斜率存在且不為0.又F（1，0），則可記AB方程為并整理得 顯然對于任意的k，恒有>0， 故直線AB的垂直平分線方程為令x=0，得 等號，所以所求的取值范圍是。 解法二：（點差法）設(shè)斜率為k所以，兩式相減并整理，得：又直線AB過F點，故：解方程組，得：，（剩余部分如上解法） 類型：轉(zhuǎn)化為軌跡方程已知點與橢圓：，過點作直

10、線與軌跡交于、兩點，線段的中點為，求直線的斜率的取值范圍解：由點差法可得點的軌跡方程為設(shè)直線：（其中），則，故由，即，解之得的取值范圍是幾類考察方式：題型：單純的計算問題類型：垂直問題（垂直問題）已知雙曲線、是雙曲線上不同的兩點，且，求直線的方程 解：，M、B2、N三點共線 , 當直線垂直x軸時，顯然不合題意 當直線不垂直x軸時，由B1（0，3），B2（0，3），可設(shè)直線的方程為，直線的方程為 由，知 代入雙曲線方程得，整理得，解得 , ，故直線的方程為 練習(xí)：雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，O為坐標原點，D1、D2分別是雙曲線的虛軸端點（D2在y軸正半軸上），過D1的直線l交雙曲線M、N

11、，求直線l的方程。答案：題型：巧用幾何性質(zhì)簡化計算過程已知直線過橢圓E:的右焦點，且與E相交于兩點.若直線的傾斜角為60°，求的值.解：設(shè)橢圓另一個焦點為，在中設(shè)，則由余弦定理得。同理，在，設(shè)，則，也由余弦定理得于是。題型：三角形面積問題類型：已知面積，求直線方程已知曲線C：，過點當AOB的面積為時（O為坐標原點），求的值。解：當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，設(shè)直線m的方程為，代入 （）設(shè)交點A，B的坐標分別為，則. 點O到直線m的距離，.，（舍去）,.當方程（）的解為,若若.當方程（）的解為,若若.練習(xí)過點E(-2，0）的直線交橢圓C：于點M、N，且滿足，

12、(O為坐標原點)，求直線的方程。解：故直線的方程為:練習(xí)：已知橢圓C：F為橢圓在x軸正半軸上的焦點，M、N兩點在橢圓C上運動，且，定點A（4，0）.當 的值為6時, 求出直線MN的方程.答案： 或 類型：求三角形面積最值問題設(shè)直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點.若的面積取得最大值時的橢圓方程證：設(shè)由 得將代入消去得 由直線l與橢圓相交于兩個不同的點得整理得，即 由，得而點, ,得代入上式，得 于是OAB的面積 其中，上式取等號的條件是即 由可得,將及這兩組值分別代入，均可解出經(jīng)檢驗：與能夠滿足OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 類型：特殊三角形的判定問題曲線：

13、的準線線交軸于，過的直線交曲線于兩點，又的中垂線交軸于點，試判斷能否為正三角形.若能，求出直線AB的斜率；若不能，請說明理由。解：假設(shè)是正三角形則有： N（1，0）可設(shè)：，由由 設(shè)， AB的中點為，AB的中垂線為，令，得：點到直線AB的距離為： 將代入，計算得：，滿足 題型：與圓結(jié)合的計算性問題拋物線的焦點為N，圓N是以N為圓心，同時與直線 相切的圓，問：是否存在一條直線同時滿足下列條件： 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為； 被圓N截得的弦長為解法一：假設(shè)存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在， 設(shè)的方程為， N，以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，即，解得. 當時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾. 當時，的方程為,由，解得點A坐標為， 由，解得點B坐標為，顯然AB中點不是，矛盾.所以不存在滿足條件的直線解法二：由，解