14列方程解應(yīng)用題

1、丟番圖的墓志銘丟番圖(Diophantus，246330)是公元3世紀(jì)的古希臘的一位著名的數(shù)學(xué)家. 他的著作有算術(shù)和多角數(shù)兩本. 他的兩本書是世界上最早的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)著作，可惜沒有被完整的保存下來. 他最突出的貢獻(xiàn)在代數(shù)方面，尤其是對(duì)不定方程的解法作了系統(tǒng)的研究. 他的墓志全文如下：過路人，這里埋著丟番圖的骨灰.下面的數(shù)目告訴您，他的壽命究竟有多長(zhǎng).他生命的1/6是幸福的童年.再活了一生的1/12， 頰上長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須.丟番圖結(jié)了婚，可是還不曾有孩子，這樣又度過了一生的1/7.再過5年，他得了頭胎兒子，感到很幸福，可是命運(yùn)給這個(gè)孩子在世界上的光輝燦爛的生命只有他父親的一半.打從兒子死了以后，這

2、老頭兒在深深的悲痛中再活了4年，就結(jié)束了塵世的生涯.請(qǐng)算一下，丟番圖究竟活了多大歲數(shù)，才和死神相見？根據(jù)碑文，我們?nèi)菀琢谐龊?jiǎn)單方程：丟番圖的簡(jiǎn)單生平是這樣的：他活到84歲，21歲結(jié)的婚，38歲做了父親，80歲死了兒子，84歲去世，兒子僅活到42歲.列方程解應(yīng)用題列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題列不定方程解應(yīng)用題(本節(jié)不講)對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題，使用算術(shù)方法常常比較困難.而用列方程的方法，未知數(shù)未知數(shù)與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象與已知數(shù)同樣都是運(yùn)算的對(duì)象. .通過找出“未知”與“已知”之間的相互關(guān)系，即列出方程（或方程組），使問題得以解決.所以對(duì)于應(yīng)用題，列方程的方法往往比算術(shù)解法易于思考，

3、易于求解.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是：審題、設(shè)審題、設(shè)未知數(shù)、找出相等關(guān)系、列方程、解方未知數(shù)、找出相等關(guān)系、列方程、解方程、檢驗(yàn)作答程、檢驗(yàn)作答.列方程列方程是關(guān)鍵的一步.其實(shí)質(zhì)是將同一個(gè)將同一個(gè)量或等量用兩種方式表達(dá)出來量或等量用兩種方式表達(dá)出來. 而要建立這種相等關(guān)系必須對(duì)題目作細(xì)致分析. 有些相等關(guān)系比較隱蔽，必要時(shí)要應(yīng)用圖表或圖形進(jìn)行直觀分析.列簡(jiǎn)易方程解應(yīng)用題例1：（和差問題）甲、乙二數(shù)的和是a，差是b， 求甲、乙二數(shù).（要求用代數(shù)方法）（要求用代數(shù)方法）結(jié)論：和加上差，再除以2，得大數(shù)； 和減去差，再除以2，得小數(shù).注：用代數(shù)方法求解，優(yōu)點(diǎn)是得出的結(jié)果是一個(gè) 公式，帶有普遍性.例

4、2：有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的三分之一放在一起是13畝；麥地的一半和菜地的三分之一放在一起是12畝.問：菜地多少畝？ （第一屆華杯賽初賽試題）解：設(shè)菜地是x畝，麥地是y畝. 根據(jù)題意，有練習(xí)：從甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，沒有平路。一輛汽車上坡時(shí)每小時(shí)行駛20千米，下坡時(shí)每小時(shí)行駛35千米. 車從甲地開往乙地需9小時(shí)，從乙地開往甲地需7.5小時(shí). 問：甲、乙兩地間的公路有多少千米？從甲地到乙地須行駛多少千米的上坡路？（第五屆華杯賽復(fù)賽試題）例3：有奇數(shù)塊石頭，沿直線每隔1米放一塊. 要把石頭集中在最中間的位置上，從最右邊的石頭開始，按順序每次只能搬一塊石頭. 如果一個(gè)人

5、用這樣的辦法搬石頭，除了中間的石頭外，把其余的石頭向中間集中，共走了300米. 問：石頭有多少塊？（第一屆漢城國際數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）引入?yún)?shù)列方程解應(yīng)用題對(duì)于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜或已知條件較少的應(yīng)用題，列方程時(shí)，除了應(yīng)設(shè)的未知數(shù)外，還需要增設(shè)一些增設(shè)一些“設(shè)而不求設(shè)而不求”的的參數(shù)參數(shù)，便于把用自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，以便溝通數(shù)量關(guān)系，為列方程創(chuàng)造條件. 一個(gè)難解的結(jié)一個(gè)難解的結(jié)一位旅行者從下午三點(diǎn)步行到晚上八點(diǎn). 他走的先是平路，然后爬山，到了山頂以后就循原路下坡，再走平路，回到出發(fā)點(diǎn). 已知他在平路上每小時(shí)走4英里，爬山時(shí)每小時(shí)走3英里，下坡每小時(shí)走6英里，回到平地還是每小時(shí)走4英里

6、.請(qǐng)問旅行者一共走了多少路程？注：此題出自英國劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教師，著名兒童文學(xué)作家劉易士.卡洛爾的一本有趣的數(shù)學(xué)通俗讀物亂紛紛的結(jié).不少人認(rèn)為本題少條件，請(qǐng)您試一試，看看能不能解決此問題.例4：某人從甲地去乙地. 如果他從甲地先騎摩托車行12小時(shí)，再換騎自行車行9小時(shí)，恰好達(dá)到乙地. 如果他從甲地先騎自行車行21小時(shí)，再換騎摩托車行8小時(shí)，也恰好達(dá)到乙地. 問：全程騎摩托車需要幾小時(shí)達(dá)到乙地？（第四屆華杯賽初賽試題） 練習(xí)：甲、乙兩個(gè)同學(xué)從A地到B地，甲步行的速度為每小時(shí)3千米，乙步行的速度為每小時(shí)5千米.兩人騎自行車的速度都是每小時(shí)15千米.現(xiàn)在甲先步行，乙先騎自行車，兩人同時(shí)出發(fā).走了一段路

7、程后，乙放下車步行，甲走到乙放車處改騎自行車.以后不斷交替行進(jìn)，兩人恰好同時(shí)到達(dá)B地.甲走全程的平均速度是多少千米/小時(shí)？（第六屆迎春杯初賽試題） 例5：往返公共汽車每隔x分鐘發(fā)車一次，小宏在大街上行走，發(fā)現(xiàn)從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔30/7分鐘迎面開來一輛公共汽車.如果公共汽車與小宏行進(jìn)的速度都是均勻的，則x=_分鐘.（第六屆迎春杯初賽試題） 分析：這道題中包括了追及追及與相遇相遇兩種情況.如果設(shè)汽車速度為每分鐘a米，小宏的速度為每分鐘b米. 那么當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)，另一輛車在小那么當(dāng)一輛汽車追上小宏時(shí)，另一輛車在小宏后面宏后面ax米處，它用了米處，它用了6分鐘追上小宏分鐘

8、追上小宏.另一方面，當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時(shí)，另一輛車在小宏前面當(dāng)一輛汽車與小宏相遇時(shí)，另一輛車在小宏前面ax米處，它經(jīng)過米處，它經(jīng)過30/7分鐘與小宏相遇分鐘與小宏相遇. 根據(jù)這兩個(gè)條件可以得到兩個(gè)方程. 注: 本題引入兩個(gè)未知量作參數(shù)，計(jì)算時(shí)這兩個(gè)參數(shù)被消去，即問題的答案與參數(shù)的選擇無關(guān). 本題的解法很多.牛頓牧場(chǎng)問題例6：有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上的草是一樣密的，而且長(zhǎng)的一樣快，它們的面積分別是10/3公頃、10公頃、24公頃. 第一片牧場(chǎng)飼養(yǎng)12頭牛，可以維持4個(gè)星期；第二片牧場(chǎng)飼養(yǎng)21頭牛，可以維持9個(gè)星期. 問在第三片牧場(chǎng)上飼養(yǎng)多少頭牛，可以維持18個(gè)星期？注：本題出自牛頓的普遍算術(shù)，但不是牛

9、頓個(gè)人想出來的.解：設(shè)每公頃原有草a公斤，每星期每公頃長(zhǎng)出草b公斤，則注：上述解法中，引入了兩個(gè)輔助未知數(shù)兩個(gè)輔助未知數(shù)a,b，是為了便于把自然語言描述的數(shù)量關(guān)系翻譯成代數(shù)語言，這是解應(yīng)用題常用的方法.鏈接牛吃草問題牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草都勻速勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，供25頭牛吃幾天？解決“牛吃草”問題的兩個(gè)基本步驟：第一，求出每天（或每周）新長(zhǎng)出的草可供幾頭牛吃1天（或1周）；第二，求出牧場(chǎng)上原有的草可供幾頭牛吃1天（或1周）.注1：關(guān)鍵是求出“每天新長(zhǎng)出的草”與“原有的草”這兩個(gè)不變的量.注2：本題也可類似前面列方程解.練習(xí)：牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天牧草

10、都均勻生長(zhǎng)，這片牧草可供15頭牛吃20天，可供20頭牛吃10天，那么新長(zhǎng)出的草可供多少頭牛吃1天？一水庫存水量一定，每天河水均勻入庫. 如果4臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)15天可將水抽干，6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)9天可將水抽干. 問水庫原有的水需用多少臺(tái)抽水機(jī)1天將水抽干？10；45變式變式現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時(shí)有水勻速流入池塘. 若用8臺(tái)抽水機(jī)10天可以抽干；用6臺(tái)抽水機(jī)20天能抽干. 問：若要5天抽干水，需多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)來抽水？甲、乙、丙三個(gè)倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉. 甲倉庫用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和12個(gè)工人5小時(shí)可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完；乙倉庫用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和28個(gè)工人3小時(shí)可將乙倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果每個(gè)工人每小時(shí)工效相同，每臺(tái)皮帶輸送機(jī)每小時(shí)工效也相同，皮帶輸送機(jī)和工人一起往外搬運(yùn)面粉，那么要用2小時(shí)把丙倉庫