1觀(guān)察歸納與推理200703

1、數(shù)學(xué)游戲與競(jìng)賽數(shù)學(xué)游戲與競(jìng)賽 Mathematics for All趣味數(shù)學(xué)具有重大教育學(xué)價(jià)值趣味數(shù)學(xué)具有重大教育學(xué)價(jià)值數(shù)學(xué)是一種文化體系數(shù)學(xué)是一種文化體系數(shù)學(xué)能幫助培養(yǎng)未來(lái)工作人員獨(dú)立思考的能力和開(kāi)拓進(jìn)取的意識(shí)，數(shù)學(xué)能幫助培養(yǎng)未來(lái)工作人員獨(dú)立思考的能力和開(kāi)拓進(jìn)取的意識(shí)，以及在工作中誠(chéng)實(shí)堅(jiān)定、尊重勞動(dòng)和鄙視游手好閑的優(yōu)良品質(zhì)以及在工作中誠(chéng)實(shí)堅(jiān)定、尊重勞動(dòng)和鄙視游手好閑的優(yōu)良品質(zhì).無(wú)用之用，方為大用無(wú)用之用，方為大用Whatever is worth doing is worth doing badly.沒(méi)有人能沒(méi)有人能“教教”數(shù)學(xué)，能激發(fā)學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是高明的老師數(shù)學(xué)，能激發(fā)學(xué)生去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就

2、是高明的老師.觀(guān)察 歸納與推理大數(shù)學(xué)家歐拉的話(huà)大數(shù)學(xué)家歐拉的話(huà) 今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀(guān)察所發(fā)現(xiàn)的，并且早在用嚴(yán)格論證確認(rèn)其真實(shí)性之前就被發(fā)現(xiàn)了. 甚至到現(xiàn)在還有許多關(guān)于數(shù)的性質(zhì)是我們所熟悉而不能證明的；只有觀(guān)察才使我們知道這些性質(zhì). 因此我們認(rèn)識(shí)到，在仍然是很不完善的數(shù)論中，還得把最大的希望寄托于觀(guān)察之中；這些觀(guān)察將導(dǎo)致我們繼續(xù)獲得以后盡力予以證明的新的性質(zhì). 例1 觀(guān)察下面的式子并歸納你所得的結(jié)論. 6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11；. 這類(lèi)僅以觀(guān)察為旁證而仍未被證明的知識(shí)，必須謹(jǐn)慎地與真理區(qū)別開(kāi)來(lái)；

3、這類(lèi)知識(shí)是通常所說(shuō)的用歸納所獲得的. 然而我們已經(jīng)看到過(guò)單純的歸納我們已經(jīng)看到過(guò)單純的歸納曾導(dǎo)致過(guò)錯(cuò)誤曾導(dǎo)致過(guò)錯(cuò)誤. 因此，我們不要輕易把觀(guān)察所發(fā)現(xiàn)的和僅以歸納為旁證的關(guān)于數(shù)的那樣一些性質(zhì)信以為真. 誠(chéng)然，我們應(yīng)該把這樣一種發(fā)現(xiàn)當(dāng)作一種機(jī)會(huì)，去更精確地研究所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，以便證明它或推翻它；在這兩種情況中，我們都會(huì)學(xué)到一些有用的東西.大數(shù)學(xué)家歐拉的話(huà)大數(shù)學(xué)家歐拉的話(huà)例2 Fermat關(guān)于素?cái)?shù)的猜想 在n0，1，2，3，4時(shí)均為質(zhì)數(shù)，從而猜想對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n， 是質(zhì)數(shù).221nnF nF歸納法歸納法 我們要解決一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，可以先分析這個(gè)問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)單的、特殊的情況.從中發(fā)現(xiàn)并歸納出一般規(guī)律或

4、作出某種猜想，從而找到解決問(wèn)題的途徑.這種從特殊到一般的思維方法稱(chēng)為歸納法歸納法. 不完全歸納法和完全歸納法不完全歸納法和完全歸納法例3 給出一組式子：（1） 您能發(fā)現(xiàn)關(guān)于上述式子中的一些規(guī)律嗎？（2） 請(qǐng)您運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，或者通過(guò)試錯(cuò)的 法（利用計(jì)算器），給出第5個(gè)式子；（3） 請(qǐng)您證明您所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.222222222222345512137242594041例4 下面是由一些數(shù)字組成的三角形，試研究它的組成規(guī)律，從而確定其中的 的數(shù)值 .10111001225542005101416166161564632160 xx例5 一串?dāng)?shù)1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21

5、，稱(chēng)為帕多瓦數(shù)列.請(qǐng)您陳述這個(gè)數(shù)列的一個(gè)規(guī)律，并且寫(xiě)出其中的第14個(gè)數(shù)和第18個(gè)數(shù). 例6一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為l,m,n,.lmn這里l,m,n都是正整數(shù)且對(duì)于給定的n,所述條件的不同三角形的個(gè)數(shù)，即求出三求滿(mǎn)足角形的個(gè)數(shù)依賴(lài)于n的一般規(guī)律 .例7 有100張的一摞卡片，玲玲拿著它們，從最上面的一張開(kāi)始按如下的順序進(jìn)行操作：把最上面的第一張卡片舍去，把下一張卡片放在這一摞卡片的最下面.再把原來(lái)的第三張卡片舍去，把下一張卡片放在最下面.反復(fù)這樣做.直到手中只剩下一張卡片，那么剩下的這張卡片是原來(lái)那一摞卡片的第幾張？注注1：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問(wèn)題：此題實(shí)質(zhì)上是著名的約瑟夫斯問(wèn)題：傳說(shuō)古

6、代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令傳說(shuō)古代有一批人被蠻族俘虜了，敵人命令他們排成圓圈，編上號(hào)碼然后把他們排成圓圈，編上號(hào)碼然后把1號(hào)殺了，號(hào)殺了，把把3號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最號(hào)殺了，總之每隔一個(gè)人殺一個(gè)人，最后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯后剩下一個(gè)人，這個(gè)人就是約瑟夫斯. .如果如果這批俘虜有這批俘虜有111人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是人，那么約瑟夫斯的號(hào)碼是多少？多少？作業(yè)1考察表 按照上述算例找出它們的一般規(guī)律并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)式子表示出來(lái)，而且證明它.1012341 8567898271011 1213 1415 162764 2觀(guān)察下列各個(gè)和式的值 （1） 1+3，1+3+5，1+3+5+7，. （2） 1，1+8，1+8+27，1+8+27+64，. 這有一個(gè)簡(jiǎn)單