設(shè)電梯中有一質(zhì)量可以忽略的滑輪

1、 例題例題2-1 設(shè)電梯中有一質(zhì)量可以忽略的滑輪，在滑輪兩側(cè)用輕設(shè)電梯中有一質(zhì)量可以忽略的滑輪，在滑輪兩側(cè)用輕繩懸掛著質(zhì)量分別為繩懸掛著質(zhì)量分別為m1和和m2的重物的重物A和和B，已知，已知m1m2當(dāng)電梯當(dāng)電梯（1）勻速上升，（）勻速上升，（2）勻加速上升時(shí)，求繩中的張力和物體）勻加速上升時(shí)，求繩中的張力和物體A相對(duì)于電梯的加速度相對(duì)于電梯的加速度a 。解解 （1）取地面為參考系，如圖（）取地面為參考系，如圖（a）所示。把）所示。把A與與B隔離開隔離開來，分別畫出它們的示意圖如圖（來，分別畫出它們的示意圖如圖（b）?？梢钥闯?，每個(gè)質(zhì)）?？梢钥闯?，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都受兩個(gè)力的作用：繩子的向上拉力和質(zhì)點(diǎn)的

2、重力。點(diǎn)都受兩個(gè)力的作用：繩子的向上拉力和質(zhì)點(diǎn)的重力。m1m2ararxyOym1a1Tm1gya2Tm2gm2當(dāng)電梯勻速上升時(shí)，物體對(duì)電梯的加速度等于它們對(duì)地面當(dāng)電梯勻速上升時(shí)，物體對(duì)電梯的加速度等于它們對(duì)地面的加速度。選取的加速度。選取y軸的正方向向上，則軸的正方向向上，則B以以a 向上運(yùn)動(dòng)，而向上運(yùn)動(dòng)，而A以以a 向下運(yùn)動(dòng)。因繩子的質(zhì)量可忽略，所以輪子兩側(cè)繩的向向下運(yùn)動(dòng)。因繩子的質(zhì)量可忽略，所以輪子兩側(cè)繩的向上拉力相等。由牛頓第二定律得上拉力相等。由牛頓第二定律得由上列兩式消去由上列兩式消去T，解得：，解得： amgmT11 （1） amgmT22 （2）gmmmma2121 （3）把把

3、a 代入（代入（1），得），得gmmmmT21212 （4）由此解得由此解得)(11 aamgmT （5）)(22 aamgmT （6）)(2121gammmma （7）)(22121gammmmT （8）（2 ）當(dāng)電梯以加速）當(dāng)電梯以加速 上升時(shí)，上升時(shí)，A相對(duì)于地面的加速度相對(duì)于地面的加速度a1=a-a , B相對(duì)于地面的加速度相對(duì)于地面的加速度a1=a+a ,因此因此a 如在式（如在式（7）與式（）與式（8）中用）中用-a代替代替a，可得電梯以加速度，可得電梯以加速度a下降時(shí)的結(jié)果：下降時(shí)的結(jié)果：由此可以看出，當(dāng)由此可以看出，當(dāng)a=g時(shí)，時(shí)，a 與與T都等于都等于0，亦即滑輪、質(zhì)點(diǎn)都，亦

4、即滑輪、質(zhì)點(diǎn)都成為自由落體，兩個(gè)物體之間沒有相對(duì)加速度。成為自由落體，兩個(gè)物體之間沒有相對(duì)加速度。)(2121agmmmma （9）)(22121agmmmmT （10）顯然，如果顯然，如果a=0,上兩式就歸結(jié)為式（上兩式就歸結(jié)為式（3）與式（）與式（4）。）。 例題例題2-2 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m、懸線長(zhǎng)度為、懸線長(zhǎng)度為 l 的擺錘，掛在架子上，的擺錘，掛在架子上，架子固定在小車上，如圖（架子固定在小車上，如圖（a）所示。求在下列情況下懸線的）所示。求在下列情況下懸線的方向（用擺的懸線與豎直方向所成的角方向（用擺的懸線與豎直方向所成的角 表示和線中的張力：表示和線中的張力：（1）當(dāng)）當(dāng) 小

5、車沿水平面以加速度小車沿水平面以加速度a1作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)；作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)；（2）當(dāng)小車以加速度）當(dāng)小車以加速度a2沿斜面（斜面與水平面成沿斜面（斜面與水平面成 角）向上角）向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)。作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)。mmmxyOlT1 a1GmmxyOT2 a2G由以上兩式可以解出：由以上兩式可以解出：11sinmaTx 方向：方向：0cos1 mgTy 方向：方向：解解 （1）當(dāng)小車以加速度）當(dāng)小車以加速度a1 向右作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺向右作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，擺的懸線將向左傾斜。在擺錘相對(duì)于小車來說處于相對(duì)靜止的懸線將向左傾斜。在擺錘相對(duì)于小車來說處于相對(duì)靜止時(shí)，擺錘的加速度也是時(shí)

6、，擺錘的加速度也是a1 ，擺的懸線與豎直方向成，擺的懸線與豎直方向成 角。角。這時(shí)擺錘所受合力等于這時(shí)擺錘所受合力等于ma1,方向水平向右。對(duì)擺錘來說，方向水平向右。對(duì)擺錘來說，它受到兩個(gè)力的作用：重力它受到兩個(gè)力的作用：重力G 和繩子對(duì)它的拉力和繩子對(duì)它的拉力T1 ， T1 和和 G 的合力必在水平面內(nèi)，等于的合力必在水平面內(nèi)，等于ma1, 方向向右。取坐標(biāo)軸方向向右。取坐標(biāo)軸方向如圖（方向如圖（b）所示，即得）所示，即得121agmT gatgarcgatg11, 22sin)90cosmaGTx （方向：方向：0cos)90sin2 GTy（方向：方向：22sin)sinmamgT （于

7、是于是 cos)cos2mgT （2）當(dāng)小車以加速度）當(dāng)小車以加速度 a2 沿斜面向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，沿斜面向上作勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在擺錘相對(duì)于小車來說處于相對(duì)靜止時(shí)，擺錘的加速度也是在擺錘相對(duì)于小車來說處于相對(duì)靜止時(shí)，擺錘的加速度也是a2 ，擺的懸線與豎直方向成，擺的懸線與豎直方向成 角。這時(shí)，對(duì)擺錘來說，它受角。這時(shí)，對(duì)擺錘來說，它受到重力到重力 和繩的拉力和繩的拉力 的作用，這兩個(gè)力的合力等于的作用，這兩個(gè)力的合力等于ma2，方向方向沿斜面向上。取坐標(biāo)軸方向如圖（沿斜面向上。取坐標(biāo)軸方向如圖（c），即得），即得由以上兩式可以解出：由以上兩式可以解出：222222222sin2cos)

8、sin(agagmgagmT cossin)(2gagtg cossin2gagtgarc這里，如果這里，如果a =0， a2 a1，這就是情況（，這就是情況（1），由上式可看），由上式可看出出T2將等于將等于T1， = 。又如果。又如果a2 gsin ,這就是小車在這就是小車在斜面上自由下滑的情況，這時(shí)斜面上自由下滑的情況，這時(shí)T2 mgcosmg，而，而 = ，可見這時(shí)懸線方向與斜面相垂直?？梢娺@時(shí)懸線方向與斜面相垂直。 讀者可以想見，利用一個(gè)系統(tǒng)（例如小車中的單擺懸讀者可以想見，利用一個(gè)系統(tǒng)（例如小車中的單擺懸線的取向，可測(cè)知這個(gè)系統(tǒng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度。線的取向，可測(cè)知這個(gè)系統(tǒng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)

9、的加速度。 例題例題2-3 一重物一重物m用繩懸起（圖），繩的另一端系在天用繩懸起（圖），繩的另一端系在天花板上，繩長(zhǎng)花板上，繩長(zhǎng)l=0.5。重物經(jīng)推動(dòng)后，在一水平面內(nèi)作勻速率。重物經(jīng)推動(dòng)后，在一水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=1r/s。這種裝置叫做圓錐擺。求這時(shí)繩和。這種裝置叫做圓錐擺。求這時(shí)繩和豎直方向所成的角度。豎直方向所成的角度。解解 重物作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，重物作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度是向心加速度。根據(jù)加速度是向心加速度。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，合外力牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，合外力的方向應(yīng)與加速度的方向相的方向應(yīng)與加速度的方向相同。因此本題中重物所受合同。因此本題中重物所受合外

10、力亦即繩子拉力外力亦即繩子拉力T和重力和重力G （=mg）的合力）的合力 F ，必定指，必定指向圓心。通常把這種引起向向圓心。通常把這種引起向心加速度的合外力稱為向心心加速度的合外力稱為向心力。向心力的量值等于質(zhì)點(diǎn)力。向心力的量值等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和向心加速度的乘積。的質(zhì)量和向心加速度的乘積。GT OTsin Tcos TGxy式中式中 為繩和豎直方向所成的角。在水平面內(nèi)，重物所受的為繩和豎直方向所成的角。在水平面內(nèi)，重物所受的合力合力F的大小為的大小為Tsin ,所以所以mgGT cos（1）maT sin（2）式中式中a為向心加速度。由（為向心加速度。由（1）、（）、（2）兩式可得）兩式可得在

11、豎直方向上，重物所受的力是平衡的，即在豎直方向上，重物所受的力是平衡的，即gatg cossin從圖中可以看出圓的半徑從圖中可以看出圓的半徑R=lsin ,圓周長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)為2 lsin ，所以，所以重物在圓周上運(yùn)動(dòng)的速率重物在圓周上運(yùn)動(dòng)的速率v= 2 lsin ,而向心加速度而向心加速度 sin4sin)sin2(2222lnlnlRva 將式將式（4）代入代入（3）得）得lng224cos 代入代入已知數(shù)據(jù)得已知數(shù)據(jù)得3160497. 05 . 0148 . 9cos2 即即 從上式可以看出，物體的轉(zhuǎn)速從上式可以看出，物體的轉(zhuǎn)速n愈大，愈大， 也愈大，而與也愈大，而與重物的質(zhì)量重物的質(zhì)量m無

12、關(guān)。無關(guān)。 應(yīng)該指出，工廠里常見的離心加速器應(yīng)該指出，工廠里常見的離心加速器就是根據(jù)圓錐擺原理制成的。就是根據(jù)圓錐擺原理制成的。maRBG例題例題2.4 計(jì)算一小球在水中豎直沉降的速度。已知小球的質(zhì)計(jì)算一小球在水中豎直沉降的速度。已知小球的質(zhì)量為量為 m 。水對(duì)小球的浮力為。水對(duì)小球的浮力為 B ，水對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的粘性力為，水對(duì)小球運(yùn)動(dòng)的粘性力為 R=Kv，式中，式中K是和水的粘性、小球的半徑有關(guān)的一個(gè)常量。是和水的粘性、小球的半徑有關(guān)的一個(gè)常量。dtdvmKvBmg即即解解 先對(duì)小球所受的力作一分先對(duì)小球所受的力作一分析：重力析：重力G ，豎直向下；浮力，豎直向下；浮力B，豎直向上；粘性力，豎

13、直向上；粘性力R ，豎，豎直向上（圖直向上（圖a）。取向下方向?yàn)椋?。取向下方向?yàn)檎?，根?jù)牛頓第二定律，小球正，根據(jù)牛頓第二定律，小球的運(yùn)動(dòng)方程可寫為的運(yùn)動(dòng)方程可寫為aGmBRvvT0.632vT0M/KtmKvBmgdtdva或或（1） 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，設(shè)小球初速為零，由式（時(shí)，設(shè)小球初速為零，由式（1）可知，此時(shí)加速）可知，此時(shí)加速度有最大值。度有最大值。 Bmga 當(dāng)小球速度當(dāng)小球速度 v逐漸增加時(shí)，其加速度就逐漸減小了。令逐漸增加時(shí)，其加速度就逐漸減小了。令KBvmgvT（2） 于是式（于是式（1）可化作）可化作 mvvKdtdvTdtmKvvdvTtvTdtmKvvdv00tmKvvvT

14、Tln或或 對(duì)上式兩邊取積分，則有對(duì)上式兩邊取積分，則有 （3）tmKTTevvvtmKTevv1TTvevv632. 011式（式（4）表明小球沉降速度）表明小球沉降速度 v 隨隨t增大的函數(shù)關(guān)系，增大的函數(shù)關(guān)系，如圖如圖b所示。所示。 由式（由式（4）可知，當(dāng)）可知，當(dāng)t時(shí)，時(shí)，v=vT，而當(dāng)而當(dāng)（4）mKt 時(shí)時(shí) ，Tu b 因小球在粘性介質(zhì)中的沉降速度與小球半徑有關(guān)，利用因小球在粘性介質(zhì)中的沉降速度與小球半徑有關(guān)，利用不同大小的小球有不同沉降速度的事實(shí)，可用來分離大小不不同大小的小球有不同沉降速度的事實(shí)，可用來分離大小不同的球形微粒。同的球形微粒。mKt 所以，只要所以，只要 時(shí)，就可

15、以認(rèn)為時(shí)，就可以認(rèn)為v vT。我們把。我們把vT叫做極限叫做極限速度，它是小球沉降所能達(dá)到的最大速度。也就是說，當(dāng)下降時(shí)間速度，它是小球沉降所能達(dá)到的最大速度。也就是說，當(dāng)下降時(shí)間符合符合 條件時(shí)，小球即以極限速度勻速下降。條件時(shí)，小球即以極限速度勻速下降。mKt 所有物體在氣體或液體中降落，都存在類似情況。物體越是所有物體在氣體或液體中降落，都存在類似情況。物體越是緊密厚實(shí)，它沉降速度就越大。典型例子如下：雨滴，緊密厚實(shí)，它沉降速度就越大。典型例子如下：雨滴，7.6m/s；煙粒，；煙粒，10-3 m/s；人；人 7.6m/s。xgBGF lgdtdvmgxl ）（ 例題例題2-5 有一密度為

16、有一密度為 的細(xì)棒，長(zhǎng)度為的細(xì)棒，長(zhǎng)度為l，其上端用細(xì)線懸著，其上端用細(xì)線懸著，下端緊貼著密度為下端緊貼著密度為 的液體表面?，F(xiàn)將懸線剪斷，求細(xì)棒在的液體表面?，F(xiàn)將懸線剪斷，求細(xì)棒在恰好全部沒入液體中時(shí)的沉降速度。設(shè)液體沒有粘性。恰好全部沒入液體中時(shí)的沉降速度。設(shè)液體沒有粘性。解解 根據(jù)已知條件，液體沒有粘根據(jù)已知條件，液體沒有粘性，所以在下落時(shí)細(xì)棒只受到兩性，所以在下落時(shí)細(xì)棒只受到兩個(gè)力：一是重力個(gè)力：一是重力 G ，方向豎直，方向豎直向下；一是浮力向下；一是浮力B ，方向豎直，方向豎直向上，如圖所示。其中向上，如圖所示。其中B 是個(gè)變是個(gè)變力，當(dāng)棒的浸沒長(zhǎng)度為力，當(dāng)棒的浸沒長(zhǎng)度為x時(shí)，時(shí)，

17、B= xg(為方便計(jì)，棒的截面積被為方便計(jì)，棒的截面積被假設(shè)為假設(shè)為1個(gè)單位）。取豎直向下個(gè)單位）。取豎直向下為為x的正方向，棒所受合外力為的正方向，棒所受合外力為xx lGB 因所求的是當(dāng)浸沒長(zhǎng)度因所求的是當(dāng)浸沒長(zhǎng)度x為為l時(shí)的棒速，所以上式中的變量時(shí)的棒速，所以上式中的變量t應(yīng)應(yīng)消去而只保留消去而只保留x和和v兩個(gè)變量?？紤]到這三個(gè)變量之間有關(guān)系兩個(gè)變量。考慮到這三個(gè)變量之間有關(guān)系. 把它代入上式，并整理成如下形式：把它代入上式，并整理成如下形式：dtdxmv mvdvgdxxl ）（ 這樣就可以積分了。這樣就可以積分了。 vvlvdvlmvdvgdxxl000 ）（最后求得最后求得 lg

18、lg2 v例題例題2-6 質(zhì)量質(zhì)量M=3t 的重錘，從高度的重錘，從高度h=1.5處自由落到受鍛壓處自由落到受鍛壓的工件上（圖），工件發(fā)生變形，如果作用的時(shí)間（的工件上（圖），工件發(fā)生變形，如果作用的時(shí)間（1）=0.1s，（，（2） =0.2s。試求錘對(duì)工件的平均沖力。試求錘對(duì)工件的平均沖力。 解解 解法一：取重錘解法一：取重錘為研究對(duì)象。在為研究對(duì)象。在這這段時(shí)間內(nèi)，作用在錘段時(shí)間內(nèi)，作用在錘上的了有兩個(gè)：重力上的了有兩個(gè)：重力G，方向向下；工件，方向向下；工件對(duì)錘的支持力對(duì)錘的支持力N，方，方向向上。此支持力是向向上。此支持力是個(gè)變力，在這極短時(shí)個(gè)變力，在這極短時(shí)間間 內(nèi)迅速變化，我內(nèi)迅速

19、變化，我們平均支持力們平均支持力 來代來代替。替。NhGN自由落體公式，可以求出錘剛接觸工件時(shí)的速度為自由落體公式，可以求出錘剛接觸工件時(shí)的速度為在這極短時(shí)間在這極短時(shí)間 內(nèi)，錘的速度由初速度內(nèi)，錘的速度由初速度v0變到末速度變到末速度v=0。如取豎直向上的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，那么，根據(jù)動(dòng)量如取豎直向上的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，那么，根據(jù)動(dòng)量定理得到定理得到ghv20 ghMMvGN2)00 （）（ 由此得由此得)121(2 ghMgGghMN 將將M、h、 的數(shù)據(jù)代入，求得的數(shù)據(jù)代入，求得NNNs531019. 0)18 . 95 . 121 . 01(8 . 9103 . 01 . 01

20、時(shí)，時(shí)，）（ NNNs631017. 0)18 . 95 . 1201. 01(8 . 9103 . 001. 02 時(shí)，時(shí)，）（ 重錘對(duì)工件的平均沖力重錘對(duì)工件的平均沖力 的大小等于工件對(duì)錘的平均支的大小等于工件對(duì)錘的平均支持力持力 所以所以 ，但方向豎直向下。，但方向豎直向下。由上面的計(jì)算知道，錘的自重對(duì)平均沖力是有由上面的計(jì)算知道，錘的自重對(duì)平均沖力是有影響影響的。但在第的。但在第二種情況中，錘對(duì)工件的平均沖力比錘的自重要大幾十倍，因二種情況中，錘對(duì)工件的平均沖力比錘的自重要大幾十倍，因此，在計(jì)算過程中，可以此，在計(jì)算過程中，可以忽略忽略錘的自重的影響。錘的自重的影響。 NN NNN65

21、1017. 01019. 0 和和 解法二：動(dòng)量定理不僅用于錘與工件接觸的短暫時(shí)間，也可解法二：動(dòng)量定理不僅用于錘與工件接觸的短暫時(shí)間，也可用于鍛壓時(shí)的整個(gè)過程。設(shè)錘自由落下用于鍛壓時(shí)的整個(gè)過程。設(shè)錘自由落下h高度的時(shí)間為高度的時(shí)間為t，顯，顯然然ght2 0)( tGN)121()1( ghMgtGN 由此得由此得這和解法一的結(jié)果相同這和解法一的結(jié)果相同 在這鍛壓的整個(gè)過程中，重力在這鍛壓的整個(gè)過程中，重力 的作用時(shí)間為（的作用時(shí)間為（t+ )，它的沖，它的沖量大小等于量大小等于G （t+ )，方向豎直向下；，方向豎直向下；N 的作用時(shí)間為的作用時(shí)間為，它，它的沖量大小為的沖量大小為 N ，

22、方向豎直向上。由于重錘在這整個(gè)過程，方向豎直向上。由于重錘在這整個(gè)過程的初、末速度均為零，所以它的初、末動(dòng)量均為零。如取豎的初、末速度均為零，所以它的初、末動(dòng)量均為零。如取豎直向上的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，那么，根據(jù)動(dòng)量定理得到直向上的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，那么，根據(jù)動(dòng)量定理得到例題例題2-7 一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及及M的的物體物體A和和B（圖），（圖），M大于大于m。B靜止在地面上，當(dāng)靜止在地面上，當(dāng)A自由下自由下落落h距離后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速距離后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時(shí)兩物體的速度，以及度，以及B能上升的

23、最大高度。能上升的最大高度。 解解 已知物體已知物體A自由下自由下落落h 距離時(shí)，正好繩距離時(shí)，正好繩子拉緊，此時(shí)子拉緊，此時(shí)A的速的速度為度為 ghv2 MAT1T2G2G1mmMB 當(dāng)繩子拉緊時(shí)，當(dāng)繩子拉緊時(shí)，A和和B除受到重力外，還同時(shí)受到繩子除受到重力外，還同時(shí)受到繩子的沖力作用，經(jīng)過極短時(shí)間的沖力作用，經(jīng)過極短時(shí)間t后，它們以相等的速率后，它們以相等的速率V運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，B的的速度向上，速度向上，A的速度向下，因此的速度向下，因此B在受到?jīng)_量的前后速度在受到?jīng)_量的前后速度分別為分別為0及及V，而，而A分別為分別為-V（我們以向上的速度為正，向（我們以向上的速度為正，向下的為負(fù)）。根據(jù)動(dòng)

24、量定理，得下的為負(fù)）。根據(jù)動(dòng)量定理，得 )()(11mvmVtGT 0)(22 mVtGT 式中式中T1是是A所受的向上的沖力，所受的向上的沖力，T2是是B所受的向上的沖力。所受的向上的沖力。 T1 和和T2相等，都等于這時(shí)繩子中的張力。相等，都等于這時(shí)繩子中的張力。A和和B所受的重力與沖所受的重力與沖力相比較，可以忽略不計(jì)。因力相比較，可以忽略不計(jì)。因T1= T2，從式（，從式（2）和式（）和式（3）得）得mMmvV 將式（將式（1）中的）中的v代入，得代入，得 mMghmV 2 繩子拉緊后，繩子拉緊后，A和和B兩物體分別作向下和向上的加速運(yùn)動(dòng)，加兩物體分別作向下和向上的加速運(yùn)動(dòng)，加速度速度

25、a可根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求得：可根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求得： gmMmMa B以初速以初速V上升，其加速度方向與速度方向相反，設(shè)最后上升，其加速度方向與速度方向相反，設(shè)最后B上升的高度為上升的高度為H，這時(shí)它的瞬時(shí)速度為零，于是，這時(shí)它的瞬時(shí)速度為零，于是 aHV202 )()(2)2(22222222mMhmgmMghmaVH 例題例題2-8 礦砂從傳送帶礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶落到另一傳送帶B，其速度，其速度v1=4m/s，方向與豎直方向成方向與豎直方向成300角，而傳送帶角，而傳送帶B與水平成與水平成150角，其速度角，其速度v2=2m/s。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)為。如傳送帶的運(yùn)送量恒定，設(shè)

26、為k=20kg/s，求落到傳送，求落到傳送帶帶B上的礦砂在落上時(shí)所受的力。上的礦砂在落上時(shí)所受的力。解解 設(shè)在某極短的時(shí)間設(shè)在某極短的時(shí)間t內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為內(nèi)落在傳送帶上礦砂的質(zhì)量為m，即即m=k t，這些礦砂動(dòng)量的增量為，這些礦砂動(dòng)量的增量為AB30300 030300 015150 015150 0v1mv1mv2 (mv)其量值可用矢量差方法求得其量值可用矢量差方法求得參看圖參看圖 (b)于是于是12)(vmvmvm smmvm/75cos24224)(22 )(mvtF 這些礦砂在這些礦砂在t時(shí)間內(nèi)的平均作用時(shí)間內(nèi)的平均作用力力為為 ，根據(jù)動(dòng)量定理，根據(jù)動(dòng)量定理，F(xiàn)Ntsmt

27、ktvmF6 .79/98. 3)( 29sin75sin)(2 vmvm即作用力即作用力 近似地沿豎直方向向上。近似地沿豎直方向向上。F作用力作用力 的方向與的方向與 的方向相同，圖的方向相同，圖 (b)中的中的角角可由下式求得可由下式求得F)(vm 2.9 2.9 一柔軟繩長(zhǎng)一柔軟繩長(zhǎng) l l ，線密度，線密度 r r，一端著地開始自由下落，一端著地開始自由下落， 下落的任意時(shí)刻，給地面的壓力為多少？下落的任意時(shí)刻，給地面的壓力為多少？解法一：解法一：解：解：以落地部分為研究對(duì)象，以落地部分為研究對(duì)象，運(yùn)用牛頓第二定律運(yùn)用牛頓第二定律tPFdd )-d(d0d)(ylvvmPylgNF )

28、(3ylgNN 0 0y yl ly y注意注意：m m是指落地部分質(zhì)量。是指落地部分質(zhì)量。解法二：解法二：以以 d dt t 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)將要落地的將要落地的 d dy y 段段繩子繩子為研究對(duì)象，運(yùn)用牛頓第二定律為研究對(duì)象，運(yùn)用牛頓第二定律)d(d0dd1yvvmPygNF 0 0y yl ly yN N1 1d dmgmgmgmgd dy y21NNN gylN)(2 11NN 注意注意：d dm m是指將要落地部分質(zhì)量，恒為正值，是指將要落地部分質(zhì)量，恒為正值，d dy y是繩子長(zhǎng)度增量，是代數(shù)量，在此為負(fù)值。是繩子長(zhǎng)度增量，是代數(shù)量，在此為負(fù)值。解法三：解法三：CCamF 將整個(gè)繩子

29、當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)組，運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將整個(gè)繩子當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)組，運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理glNFC lm 22ddtyaCC lylyyylyC220)(2 0 0y yl ly yy yC C解法四：解法四：以整個(gè)繩子為研究對(duì)象，以整個(gè)繩子為研究對(duì)象，運(yùn)用牛頓第二定律運(yùn)用牛頓第二定律yvmvPglNF 0 0y yl ly y 例題例題2-10裝有貨物的木箱，重裝有貨物的木箱，重G980N，要把它運(yùn)上汽車。，要把它運(yùn)上汽車?，F(xiàn)將長(zhǎng)現(xiàn)將長(zhǎng)l3m的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木的木板擱在汽車后部，構(gòu)成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成300角，木箱與斜面間的角，木箱與

30、斜面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)滑動(dòng)摩擦系數(shù) =0.20，繩的拉力，繩的拉力 與斜面成與斜面成100角，大小為角，大小為700N，如圖，如圖 (a)所示。求：（所示。求：（1）木箱所受各力所作的功；）木箱所受各力所作的功；（2）合外力對(duì)木箱所作的功；（）合外力對(duì)木箱所作的功；（3）如改用起重機(jī)把木箱直）如改用起重機(jī)把木箱直接吊上汽車，能不能少做些功？接吊上汽車，能不能少做些功？F30300 0FFfrGN10100 0rf解：解： 木箱所受的力為：拉力木箱所受的力為：拉力F ，方向與斜面成，方向與斜面成100角向上；角向上；重力重力G ，方向豎直向下；斜面對(duì)木箱的支持力，方向豎直向下；斜面對(duì)木箱的支持力N

31、 ，方向垂，方向垂直于斜面向上，斜面對(duì)木箱的摩擦力直于斜面向上，斜面對(duì)木箱的摩擦力 方向和斜面平行，方向和斜面平行，與木箱運(yùn)動(dòng)方向相反，如圖與木箱運(yùn)動(dòng)方向相反，如圖 (b).已知已知l=3m,每個(gè)力所作的功每個(gè)力所作的功可計(jì)算如下?？捎?jì)算如下。JJFlA311007. 2985. 0370010cos JJFlA321047. 15 . 0398060180cos ）（）（重力重力 所做的功所做的功A2G（1）拉力）拉力F 所做的功所做的功A1090cos3 NlA正壓力正壓力 所做的功所做的功A3Nrf 摩擦力摩擦力 所作的功所作的功A4；分析木箱在垂直分析上的受力；分析木箱在垂直分析上的受

32、力情況，由于木箱在垂直于斜面方向上沒有運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第情況，由于木箱在垂直于斜面方向上沒有運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律得二定律得030cos10sin GFNNFGN72710sin30cos 由此可求得摩擦力由此可求得摩擦力NNNfr14572720. 0 JJlfAr4353145180cos4 因?yàn)橹亓湍Σ亮υ谶@里是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的力，所以它們因?yàn)橹亓湍Σ亮υ谶@里是阻礙物體運(yùn)動(dòng)的力，所以它們對(duì)物體所作的功對(duì)物體所作的功 都是負(fù)值。都是負(fù)值。JAAAAA1654321 （3）如改用起重機(jī)把木箱吊上汽車，這時(shí)所用拉力）如改用起重機(jī)把木箱吊上汽車，這時(shí)所用拉力 至至少要等于重力少要等于重力 。在這

33、個(gè)拉力（。在這個(gè)拉力（F=980N）的作用下，木箱）的作用下，木箱移動(dòng)的豎直距離是移動(dòng)的豎直距離是lsin300。因此拉力所作的功為。因此拉力所作的功為F G（2）根據(jù)合力所作功等于各分力功的代數(shù)和，算出合）根據(jù)合力所作功等于各分力功的代數(shù)和，算出合力所作的功力所作的功JJFlA31047. 15 . 03098030sin 它等于重力它等于重力 所作的功，而符號(hào)相反（因?yàn)檫@時(shí)合外力所作的功，而符號(hào)相反（因?yàn)檫@時(shí)合外力 所作的功為零）。與（所作的功為零）。與（1）中）中 F 作的功相比較，用了起重作的功相比較，用了起重機(jī)能夠少作功。我們還發(fā)現(xiàn)，雖然機(jī)能夠少作功。我們還發(fā)現(xiàn)，雖然 F 比比 F

34、大，但所作的大，但所作的功功A卻比卻比A1為小，這是因?yàn)楣Φ拇笮〔煌耆Q于力的為小，這是因?yàn)楣Φ拇笮〔煌耆Q于力的大小，還和位移的大小及位移與力之間的夾角有關(guān)。為大小，還和位移的大小及位移與力之間的夾角有關(guān)。為了把木箱裝上汽車，我們所需要作的最小功等于克服重了把木箱裝上汽車，我們所需要作的最小功等于克服重力所作的功，其大小為力所作的功，其大小為1.47103J, 這對(duì)于斜面或是利用這對(duì)于斜面或是利用起重機(jī)甚至其他機(jī)械都是一樣的。機(jī)械不能省功，但能起重機(jī)甚至其他機(jī)械都是一樣的。機(jī)械不能省功，但能省力或省時(shí)間，正是這些場(chǎng)合，使我們對(duì)功的概念的重省力或省時(shí)間，正是這些場(chǎng)合，使我們對(duì)功的概念的重要

35、性加深了認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)在，在（要性加深了認(rèn)識(shí)?，F(xiàn)在，在（1）中推力）中推力 F 所多作的功所多作的功JJJ3331060. 01047. 11007. 2 起的是什么作用呢？我們說：第一，為了克服摩擦力，用起的是什么作用呢？我們說：第一，為了克服摩擦力，用去去435J的功，它最后轉(zhuǎn)變成熱量；第二，余下的的功，它最后轉(zhuǎn)變成熱量；第二，余下的165J的功的功將使木箱的動(dòng)能增加。將使木箱的動(dòng)能增加。例題例題2-11 利用動(dòng)能定理重做例題利用動(dòng)能定理重做例題2-5。glglgdxxldxBGAll220021)( 應(yīng)用動(dòng)能定理，因初速度為應(yīng)用動(dòng)能定理，因初速度為0，末速度末速度v可求得如下可求得如下所得結(jié)果相同，而現(xiàn)在的解所得結(jié)果相同，而現(xiàn)在的解法無疑是大為簡(jiǎn)便法無疑是大為簡(jiǎn)便2222212121lvmvglgl gllv )2( 解：解： 如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對(duì)它如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對(duì)它 作的功為作的功為xx lGB 例題例題2-12 傳送機(jī)通過滑到將長(zhǎng)為傳送機(jī)通過滑到將長(zhǎng)