XX屆高考數(shù)學(xué)輪數(shù)列的應(yīng)用專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案

1、XX 屆高考數(shù)學(xué)輪數(shù)列的應(yīng)用專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案5 數(shù)列的應(yīng)用知識(shí)梳理實(shí)際生活中的銀行利率、企業(yè)股金、產(chǎn)品利潤、人口增 長、工作效率、濃度問題等常常通過數(shù)列知識(shí)加以解決.理解“復(fù)利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象 出來的數(shù)列模型也不同.實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題，首先要弄清首項(xiàng)、公差，其次是弄清是求某一項(xiàng)還是求某些項(xiàng)的和的問題.點(diǎn)擊雙基已知an是遞增的數(shù)列，且對(duì)于任意 n N*,都有 an=n2+ 入n 成立，則實(shí)數(shù)入的取值范圍是A.入 0B.入v0c.入=0D.入 3解析：由題意知 anvan+1 恒成立，即 2n+1 +X 0 恒成 立，得入-3.答案：D設(shè) al, a2,，a50 是從1, 0

2、, 1 這三個(gè)整數(shù)中取值的數(shù)列，若 a1+a2+a50=9,且 2+2+2=107,則 a1,a2,，a50中有 0 的個(gè)數(shù)為A.10B.11C.12D.13解析：將已知的等式展開整理得 a12+a22+a32+a502=39,故此 50 個(gè)數(shù)中有 11 個(gè)數(shù)為 0.答案：B如下圖，它滿足：第 n 行首尾兩數(shù)均為 n；表中的遞推 關(guān)系類似楊輝三角，則第n 行第 2 個(gè)數(shù)是_解析： 設(shè)第n行的第2個(gè)數(shù)為an， 不難得出規(guī)律， 則 an+1=an+n,累加得 an=a1+1+2+3+=.答案：已知 an=logn+1，觀察下列運(yùn)算 a1?a2=log23 ?log34= =2,al?a2?a3?a

3、4?a5?a6=log23 ?log34 ?？Iog67 ?log78= ? ?=3.定義使 a1?a2?a3?？ a 為整數(shù)的叫做企盼數(shù).試確定當(dāng)a1?a2?a3?？a=XX 時(shí)，企盼數(shù)=_ .解析： 由 a1?a2?？ a=?？ =log2=XX， 解之得=2XX -2.答案：2XX- 2典例剖析【例 1】某市 XX 年底有住房面積 1200 萬平方米，計(jì)劃 從 XX年起，每年拆除 20 萬平方米的舊住房.假定該市每年 新建住房面積是上年年底住房面積的 5%.分別求 XX 年底和 XX 年底的住房面積；求 2024 年底的住房面積.剖析：本題實(shí)質(zhì)是一個(gè)等比數(shù)列的求和問題解:XX 年底的住房

4、面積為 1200 - 20=1240,XX 年底的住房面積為 1XX- 20 - 20=1282, XX 年底的住房面積為 1240 萬平方米，XX 年底的住房 面積為 1282 萬平方米.024 年底的住房面積為XX0- 2019-XX20- 20=1XX0- 20X2522.64 , 2024 年底的住房面積約為 2522.64 萬平方米.評(píng)述：應(yīng)用題應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)知識(shí)解決，然后回到實(shí)際問題，給出答案.【例 2】由于美伊戰(zhàn)爭的影響，據(jù)估計(jì)，伊拉克將產(chǎn)生60100 萬難民，聯(lián)合國難民署計(jì)劃從 4 月 1 日起為伊難民運(yùn) 送食品.天運(yùn)送 1000t，第二天運(yùn)送 1100t，以后每天

5、都比前 一天多運(yùn)送100t ,直到達(dá)到運(yùn)送食品的最大量， 然后再每天 遞減 100t，連續(xù)運(yùn)送 15 天，總共運(yùn)送 21300t，求在第幾天 達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.剖析：本題實(shí)質(zhì)上是一個(gè)等差數(shù)列的求通項(xiàng)和求和的問題.解：設(shè)在第 n 天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量則前 n 天每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為1000，公差為 100的等差數(shù)列.an=1000+?100=100n+900.其余每天運(yùn)送的食品量是首項(xiàng)為100n+800，公差為100 的等差數(shù)列.依題意，得000n+x100+X=21300.整理化簡得 n2 31n+198=0.解得 n=9 或 22.答：在第 9 天達(dá)到運(yùn)送食品的最大量.評(píng)述：對(duì)數(shù)列

6、應(yīng)用題要分清是求通項(xiàng)問題還是求和問題【例 31XX 年底某縣的綠化面積占全縣總面積的40%從 XX 年開始，計(jì)劃每年將非綠化面積的 8%錄化，由于修路 和蓋房等用地，原有綠化面積的 2%被非綠化.設(shè)該縣的總面積為 1, XX 年底綠化面積為 a1 = ,經(jīng)過 n 年后綠化的面積為 an+1，試用 an 表示 an+1;求數(shù)列an的第 n+1 項(xiàng) an+1;至少需要多少年的努力，才能使綠化率超過60%.剖析：當(dāng)年的綠化面積等于上年被非綠化后剩余面積加 上新綠化面積.解：設(shè)現(xiàn)有非綠化面積為 b1,經(jīng)過 n 年后非綠化面積為bn+1.于是 a1+b1=1, an+bn=1.依題意，an+1 是由兩部

7、分組成，一部分是原有的綠化面 積 an減去被非綠化部分 an 后剩余的面積 an,另一部分是新 綠化的面積bn，于是an+仁 an+bn=an+=an+.an+1=an+， an+1 =.數(shù)列an 是公比為，首項(xiàng) al =的等比數(shù)列.an+1=+n.an+160% +n,nv,nv Ig2,n6.5720.至少需要 7 年，綠化率才能超過 60%.思考討論你知道他是怎么想出an 中的來的嗎？闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)某林廠年初有森林木材存量 S3,木材以每年 25%勺增長 率生長，而每年末要砍伐固定的木材量 x3 ,為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次 砍伐后的木材的存量增加 50%則 x 的值是A.B.c.D.解析：一次砍

8、伐后木材的存量為S x;二次砍伐后木材存量為S x: x.由題意知 2S x x=S,解得 x=.答案：c一批花盆堆成三角形垛，頂層一個(gè)，以下各層排成正三角形，逐層每邊增加一個(gè)花盆，若第n 層與第 n+1 層花盆總數(shù)分別為 f 和 f，則 f 與 f 的關(guān)系為A.f f=n+1B.f f=nc.f=f+2nD.f f=1答案：A從 XX 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到銀行存入一萬元 定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p,且保持不變，并約定每年到期存款均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新一年的定期存款，到XX 年 1 月 1 日將所有存款及利息全部取回，則可取回的錢的總數(shù)為 _萬元.解析：存款從后向前考慮+2+5=:7

9、 .注：XX 年不再存款.答案：7 某工廠去年產(chǎn)值為 a,計(jì)劃在今后 5 年內(nèi)每年比上年產(chǎn) 值增加10%,則從今年起到第5 年，這個(gè)廠的總產(chǎn)值為解析：每年的總產(chǎn)值構(gòu)成以 a=1.1a 為首項(xiàng)，公比為 1.1 的等比數(shù)列，S5=11 x a.答案：11 x a從盛滿 aL 純酒精容器里倒出 1L,然后再用水填滿，再 倒出 1L混合溶液后，再用水填滿，如此繼續(xù)下去，問第九 次、第十次共倒出多少純酒精.解：每次用水填滿后酒精濃度依次為，2, 3,，故每次倒出的純酒精為 1, 2，n- 1,.第九、十兩次共倒出的純酒精為+ 9= 8培養(yǎng)能力已知直線 I 上有一列點(diǎn) P1, P2,，Pn,，其中 n N

10、*, x1=1, x2=2，點(diǎn) Pn+2 分有向線段所成的比為 入.寫出 xn+2 與 xn+1, xn 之間的關(guān)系式；設(shè) an=xn+1 xn，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得xn+2=.a 仁 x2 x1=1,an+1=xn+2 xn+1 = xn+1 = = an,=,即an是以 a1=1 為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列. an=n 1.已知點(diǎn)的序列 An, nN*，其中 xl = 0, x2 = a, A3 是 線段AIA2 的中點(diǎn)，A4 是線段 A2A3 的中點(diǎn)，An 是線段 An 2An1 的中點(diǎn)，.寫出 xn 與 xn 1、xn 2 之間的關(guān)系式；設(shè) an = xn +

11、 1 xn,計(jì)算 al , a2, a3,由此推測數(shù)列an 的通項(xiàng)公式，并加以證明.解：當(dāng) n3 時(shí)，xn=.a1=x2 x1=a, a2=x3 x2= x2= = a,a3=x4 x3= x3= = =a,由此推測： an=n 1a.證明如下：因?yàn)閍1=a0, 且 an=xn+1 xn= xn=an 1,所以an=n- 1a.探究創(chuàng)新下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：.aij 12a2j.a3j .a4j ai1ai2ai3ai4ai5 aij其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij 表示位于第 i 行第j 列的數(shù).寫出 a45 的值；寫出 aij 的計(jì)算公式；證明：正整數(shù) N 在該等差數(shù)陣中的充要條件是

12、2N+1 可以分解成兩個(gè)不是 1 的正整數(shù)之積.解：a45=49.解：該等差數(shù)陣的行是首項(xiàng)為4，公差為 3 的等差數(shù)列:a1j=4+3，第二行是首項(xiàng)為 7，公差為 5 的等差數(shù)列：a2j=7+5，第 i 行是首項(xiàng)為 4+3，公差為 2i+1 的等差數(shù)列，因此 aij=4+3+=2ij+i+j=i+證明：必要性：若 N 在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i、j 使得 N=i+j ，從而 2N+1=2i+2j+1=，即正整數(shù) 2N+1 可以分解成兩個(gè)不是 1 的正整數(shù)之積.充分性：若 2N+1 可以分解成兩個(gè)不是 1 的正整數(shù)之積， 由于2N+1 是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是 1 的奇數(shù)之積，即存 在正整數(shù)

13、、I，使得 2N+1 =從而 N=+I=al ，可見 N 在該等差數(shù)陣中.綜上所述，正整數(shù) N 在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是 1 的正整數(shù)之積.思悟小結(jié)等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題常見于：產(chǎn)量增減、價(jià)格升降、細(xì)胞繁殖等問題，求利率、增長率等問題也常歸結(jié)為數(shù)列建 模問題.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題時(shí)應(yīng)注意：分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列；分清是求 an 還是求 Sn，特別要準(zhǔn)確地確定項(xiàng)數(shù) n.數(shù)列的綜合問題常與函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相互聯(lián) 系和滲透.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛解應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，要 加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí).分期付款問題要弄清付款方式，不同方式抽象

14、出的數(shù)學(xué) 模型則不一樣.“等額還款方式”采用“雙向儲(chǔ)蓄”的方法比較簡便 .強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、方程思想的應(yīng)用.拓展題例【例 1】杭州某通訊設(shè)備廠為適應(yīng)市場需求，提高效益， 特投入 98 萬元引進(jìn)世界先進(jìn)設(shè)備奔騰 6 號(hào)，并馬上投入生 產(chǎn).年需要的各種費(fèi)用是 12 萬元，從第二年開始，所需費(fèi)用 會(huì)比上一年增加 4萬元，而每年因引入該設(shè)備可獲得的年利 潤為 50 萬元.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解決下列問題：引進(jìn)該設(shè)備多少年后，開始盈利？引進(jìn)該設(shè)備若干年后，有兩種處理方案：種：年平均盈利達(dá)到最大值時(shí)，以26 萬元的價(jià)格賣出；第二種：盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以 8 萬元的價(jià)格賣出.問哪種方案較為合算？并說明理由解：

15、設(shè)引進(jìn)設(shè)備 n 年后開始盈利，盈利為 y 萬元，則 y=50n-98= 2n2+40n 98，由 y 0,得 10 vnv10+./ n N*,. 3 n 17,即 3 年后開始盈利.方案一：年平均盈利為，=-2n- +40- 2+40=12,當(dāng)且僅當(dāng) 2n=，即 n=7 時(shí)，年平均利潤最大，共盈利 12X 7+26=110 萬元.方案二：盈利總額 y=- 22+102, n=10 時(shí)，y 取最大值102,即經(jīng)過 10 年盈利總額最大，共計(jì)盈利 102+8=110 萬元.兩種方案獲利相等，但由于方案二時(shí)間長，所以采用方案一合算.【例 2】據(jù)某城市 XX 年末所作的統(tǒng)計(jì)資料顯示，到XX年末，該城

16、市堆積的垃圾已達(dá)50 萬噸，侵占了大量的土地，并且成為造成環(huán)境污染的因素之一.根據(jù)預(yù)測，從 XX 年起該城市還將以每年 3 萬噸的速度產(chǎn)生新的垃圾，垃圾的資源化逐年減少，但不會(huì)少于15 萬噸.和回收處理已經(jīng)成為該市城市建設(shè)中的重要問題假設(shè) 1992 年底該城市堆積的垃圾為10 萬噸，從 1993年到 XX 年這十年中，該城市每年產(chǎn)生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，試求1993 年該城市產(chǎn)生的新垃圾約有多少萬噸？如果從 XX 年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%現(xiàn)有 b1 表示 XX 年底該市堆積的垃圾數(shù)量，b2 表示 XX 年底該市堆積的垃圾數(shù)量.bn 表示 XX+n 年底該城市堆積的垃圾數(shù)量，求 b1 ;試歸納出 bn 的表達(dá)式.解：設(shè) 1993 年該城市產(chǎn)生的新垃圾為x 萬噸.依題意，得