平行四邊形證明題例題講解

1、 經(jīng)緯教育 平行四邊形證明題 經(jīng)典例題（附帶詳細(xì)答案）1如圖，是平行四邊形對角線上兩點，求證：【答案】證明：平行四邊形中， 又，2如圖6，四邊形ABCD中，ABCD，B=D，求四邊形ABCD的周長【答案】20、解法一: 又 即得是平行四邊形 四邊形的周長 解法二: 連接 又 四邊形的周長 解法三: 連接又 即是平行四邊形四邊形的周長3.（在四邊形ABCD中，D=60，B比A大20，C是A的2倍，求A，B，C的大小【關(guān)鍵詞】多邊形的內(nèi)角和【答案】設(shè)（度），則，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得， 解得， 4（如圖，是四邊形的對角線上兩點，求證：（1）（2）四邊形是平行四邊形【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì),判定【

2、答案】證明：（1），又，（2）由（1）知，四邊形是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）5）25如圖13-1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.（1）求的值；（2）延長交正方形外角平分線（如圖13-2），試判斷的大小關(guān)系，并說明理由；（3）在圖13-2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】解：（1）四邊形ABCD為正方形四邊形是平行四邊形解法：在邊上存在一點，使四邊形是平行四邊形證明：在邊上取一點，使，連接、四邊形為平行四邊形6（2009年廣州市）如圖9，在ABC中，D、E、F分別為邊

3、AB、BC、CA的中點。證明：四邊形DECF是平行四邊形。【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】D.E、F分別為AB.BC.CA的中點，DFBC，DEAC，四邊形DECF是平行四邊形.7（2009年包頭）已知二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點，直線（）與軸交于點（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在直線（）上有一點（點在第四象限），使得為頂點的三角形與以為頂點的三角形相似，求點坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，拋物線上是否存在一點，使得四邊形為平行四邊形？若存在，請求出的值及四邊形的面積；若不存在，請說明理由【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)、相似三角形、運動變化、拋物線解：（1）根據(jù)題意，得解得 （2）當(dāng)

4、時，得或，當(dāng)時，得，點在第四象限，當(dāng)時，得，點在第四象限，（3）假設(shè)拋物線上存在一點，使得四邊形為平行四邊形，則，點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點的坐標(biāo)為，點在拋物線的圖象上，（舍去），當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點的坐標(biāo)為，點在拋物線的圖象上，（舍去），注：各題的其它解法或證法可參照該評分標(biāo)準(zhǔn)給分8（2009年莆田）已知：如圖在中，過對角線的中點作直線分別交的延長線、AB、DC、BC的延長線于點E、M、N、F。（1）觀察圖形并找出一對全等三角形：_，請加以證明；（2）在（1）中你所找出的一對全等三角形，其中一個三角形可由另一個三角形經(jīng)過怎樣的變換得到？【關(guān)鍵詞】四邊形、全等三角形、變換（1）；證明：四邊

5、形是平行四邊形 又證明：四邊形是平行四邊形 又；證明：四邊形是平行四邊形 又（2）繞點旋轉(zhuǎn)后得到或以點為中心作對稱變換得到8分9(2009年溫州)在所給的99方格中，每個小正方形的邊長都是1按要求畫平行四邊形，使它的四個頂點以及對角線交點都在方格的頂點上(1)在圖甲中畫一個平行四邊形，使它的周長是整數(shù)；(2)在圖乙中畫一個平行四邊形，使它的周長不是整數(shù)(注：圖甲、圖乙在答題紙上)【關(guān)鍵詞】平行四邊形的性質(zhì)，判定【答案】解：（1）（2）10（2009年中山）在中，以為直徑作，（1）求圓心到的距離（用含的代數(shù)式來表示）；（2）當(dāng)取何值時，與相切【關(guān)鍵詞】利用平行四邊形證明線段相等【答案】（1）分別

6、過兩點作，垂足分別為點，點，就是圓心到的距離四邊形是平行四邊形，在中，圓心到CD的距離PF為（2），為的直徑，且，當(dāng)時，與相切于點，即，當(dāng)時，與相切11(2009年寧德市)（本題滿分8分）如圖：點在同一直線上，AD=BE，AC=DF，ACDF，請從圖中找出一個與E相等的角，并加以證明（不再添加其他的字母與線段）【關(guān)鍵詞】平行四邊形的判定【答案】解法1：圖中CBAE 證明：ADBEADDBBEDB即ABDE ACDF AFDE 又ACDFABCDEF CBAE 解法2：圖中FCBE 證明：ACDF，ACDF四邊形ADFC是平行四邊形 CFAD，CFAD ADBE CFBE，CFBE 四邊形BEF

7、C是平行四邊形 FCBE 12（2009年山東青島市）如圖，在梯形ABCD中，點由B出發(fā)沿BD方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由DC出發(fā)沿DA方向勻速運動，速度為1cm/s，交于Q，連接PE若設(shè)運動時間為（s）（）解答下列問題：（1）當(dāng)為何值時，？（2）設(shè)的面積為（cm2），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出此時的值；若不存在，說明理由（4）連接，在上述運動過程中，五邊形的面積是否發(fā)生變化？說明理由【關(guān)鍵詞】全等三角形的性質(zhì)與判定、相似三角形判定和性質(zhì)、平行四邊形有關(guān)的計算【答案】解：（1）而，當(dāng)（2）平行且等于，四邊形是平行四邊形，過B作，交于，過作

8、，交于，又，（3）若，則有，解得（4）在和中， 在運動過程中，五邊形的面積不變13 (2009年達(dá)州)如圖10，O的弦ADBC,過點D的切線交BC的延長線于點E，ACDE交BD于點H，DO及延長線分別交AC.BC于點G、F.(1)求證：DF垂直平分AC；（2）求證：FCCE；（3）若弦AD5，AC8，求O的半徑. 【關(guān)鍵詞】圓,平行四邊形,勾股定理【答案】（1）DE是O的切線，且DF過圓心ODFDE又ACDEDFACDF垂直平分AC （2）由（1）知：AG=GC又ADBCDAG=FCG又AGD=CGFAGDCGF（ASA）AD=FCADBC且ACDE四邊形ACED是平行四邊形AD=CEFC=C

9、E5分（3）連結(jié)AO； AG=GC，AC=8cm，AG=4cm在RtAGD中，由勾股定理得 GD=AD2-AG2=52-42=3cm 設(shè)圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3在RtAOG中，由勾股定理得 AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得 r=256 O的半徑為256cm.經(jīng)典例題（附帶答案2）例1 一個平行四邊形的一個內(nèi)角是它鄰角的3倍，那么這個平行四邊形的四個內(nèi)角各是多少度？分析 根據(jù)平行四邊形的對角相等，鄰角互補可以求出四個內(nèi)角的度數(shù)解 設(shè)平行四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為x，則它的鄰角的度數(shù)為3x，根據(jù)題意，得，解得， 這個平行四邊形的四個內(nèi)角的度數(shù)分別為45，135，4

10、5，135例2 已知：如圖，的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，的周長比的周長多8cm，求這個平行四邊形各邊的長分析 由平行四邊形對邊相等，可知平行四邊形周長的一半30cm，又由的周長比的周長多8cm，可知cm，由此兩式，可求得各邊的長解 四邊形為平行四邊形， ， ， 答：這個平行四邊形各邊長分別為19cm，11cm，19cm，11cm說明：學(xué)習(xí)本題可以得出兩個結(jié)論：（1）平行四邊形兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半（2）平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差例 3 已知：如圖，在中，交于點O，過O點作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，

11、說明理由分析 觀察圖形，從而可說明 證明 在中，交于O， ， 例4 已知：如圖，點E在矩形ABCD的邊BC上，且，垂足為F。求證： 分析 觀察圖形，與都是直角三角形，且銳角，斜邊，因此這兩個直角三角形全等。在這個圖形中，若連結(jié)AE，則與全等，因此可以確定圖中許多有用的相等關(guān)系。證明 四邊形ABCD是矩形， ，又，。 例5 O是ABCD對角線的交點，的周長為59，則_，若與的周長之差為15，則_，ABCD的周長=_. 解答：ABCD中，. 的周長 . 在ABCD中，. 的周長的周長 ABCD的周長 說明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將與的周長的差轉(zhuǎn)化為兩條線段的差. 例6 已知：如圖，A

12、BCD的周長是，由鈍角頂點D向AB，BC引兩條高DE，DF，且，. 求這個平行四邊形的面積. 解答：設(shè). 四邊形ABCD為平行四邊形， . 又四邊形ABCD的周長為36， ， 解由，組成的方程組，得. . 說明：本題考查平行四邊形的性質(zhì)及面積公式，解題關(guān)鍵是把幾何問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題. 經(jīng)典例題（附帶詳細(xì)答案3）例1 （2006年河北）如圖1，平行四邊形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分BAD交BC邊于點E，則線段BE、EC的長度分別是（ ）。A、2和3B、3和2C、4和1D、1和4解析：因四邊形ABCD是平行四邊形，故AD/BC，AD=BC。所以DAE=BEA。又AE平分BAD，故B

13、AE=DAE=BEA。所以AB=BE=3，CE=53=2。故選B。例2 （2006年棗莊市）如圖2，平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是（ ）A、10m12B、2m22C、1m11D、5m6解析：因四邊形ABCD是平行四邊形，故AO=CO，DO=BO，又AC=12，BD=10，則AO=6，BO=5。故65m6+5，即1m11。故選C。例3 （2006年北京市海淀區(qū)）如圖3，平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC和AD上的點，并且BE=DF。求證：。證明：因四邊形ABCD是平行四邊形，故AB=CD，B=D。又BE=DF，所以A

14、BECDF（SAS）。點評：平行四邊形具有以下性質(zhì)：兩組對邊分別平行；兩組對邊分別相等；兩組對角分別相等；對角線互相平分。二、考查平行四邊形的判定例4 （2006年攀枝花市）如圖4，AD=BC，要使四邊形ABCD是平行四邊形，還需補充的一個條件是_。解析：可選擇AD/BC，AB=CD，A+B=80，C+D=180等條件中的一個。此題是答案不唯一的開放題，所添的條件靈活多樣，主要考查平行四邊形的判定方法。例5 如圖5，四邊形ABCD中，AB/DC、E是BC的中點，AE、DC的延長線相交于點F，連接AC、BF。四邊形ABFC是什么四邊形？說明你的理由。解析：因AB/DC，故CFA=BAF。又E是B

15、C的中點，故CE=BE。又CEF=BEA，則CEFBEA。則EF=EA。故四邊形ABFC是平行四邊形。點評：平行四邊形的判定方法有很多：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。證明四邊形是平行四邊形，要根據(jù)題目所給的條件及圖形的特點，選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒āＨ?、考查性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用例6 如圖6，在平行四邊形ABCD中，點E、F在BD上，且BF=DE。（1）寫出圖中所有你認(rèn)為全等的三角形；（2）延長AE交BC的延長線于點G，延長CF交DA的延長線于點H（請補全圖形），并證明四邊形AGCH是平行四邊形。解析：（1）圖中全等的三角形有ABECDF，AEDCFB，ABDCDB。（2）補全后的圖形如圖7所示。因四邊形ABCD