第5章微分中值定理及其應(yīng)用

1、第五章 微分中值定理及其應(yīng)用l 引言本章，我們將利用微分學(xué)理論進(jìn)一步研究函數(shù)高一級(jí)的分析性質(zhì)。我們知道，函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象，因此，刻劃函數(shù)的各種分析性質(zhì)、揭示函數(shù)的幾何特征，是認(rèn)識(shí)、了解函數(shù)的主要手段，特別是通過(guò)幾何特征更能直觀地認(rèn)識(shí)、了解和研究函數(shù)。到目前為止，我們已經(jīng)了解了函數(shù)的連續(xù)性，已經(jīng)掌握了用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的連續(xù)性和求曲線的切線，顯然，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能用來(lái)精確刻劃函數(shù)，不能解決更復(fù)雜的函數(shù)的問(wèn)題，如單調(diào)性、零點(diǎn) 、漸進(jìn)性等，因此，必須發(fā)展更高級(jí)的工具和理論，研究函數(shù)更高級(jí)的分析性質(zhì)。我們知道，導(dǎo)數(shù)是更高一級(jí)的分析性質(zhì)，因此， 我們自然期望用導(dǎo)數(shù)這一工具去分析、解決這些問(wèn)題。另外，進(jìn)一步

2、分析我們知道：導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征，而我們往往要了解函數(shù)的整體性態(tài)，這也需要我們研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。因此，我們期望用導(dǎo)數(shù)更進(jìn)一步揭示函數(shù)的分析性質(zhì)，以便更精確地刻劃函數(shù)，這正是本章的目的。本章的主要內(nèi)容是微分中值定理，它不僅是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，更在后續(xù)課程中有著非常重要的作用，可以說(shuō)，它是微分學(xué)的核心。本章以研究導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)為主線，圍繞微分中值定理及其應(yīng)用展開討論。1 微分中值定理一、 Fermat定理先引入函數(shù)的極值概念。設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上有定義，。定義1.1 若存在的鄰域，使得對(duì)于任意的，有，則稱點(diǎn)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)極大值點(diǎn)，稱f（）為相應(yīng)的極大值。類似，若存在

3、的鄰域，使得對(duì)于任意的，有，則稱點(diǎn)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)極小值點(diǎn)，稱f（）為相應(yīng)的極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。注、從定義可知，極值是局部概念。注、極值（點(diǎn)）不唯一。注、極值點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)。因而，端點(diǎn)不是極值點(diǎn)。注、極大值和極小值不存在確定的大小關(guān)系，極大值不一定大于極小值，極小值也不一定小于極大值。注、極值點(diǎn)的幾何性質(zhì)：對(duì)連續(xù)函數(shù)而言，在極值點(diǎn)處，函數(shù)曲線的走向發(fā)生變化。注、不連續(xù)點(diǎn)也可能成為極值點(diǎn)。如定義在（0，1）上的Riemann函數(shù)R(x)在無(wú)理點(diǎn)連續(xù)，在有理點(diǎn)不連續(xù)，但可以證明：每個(gè)無(wú)理點(diǎn)都是極小值點(diǎn)，每個(gè)有理點(diǎn)都是極大值點(diǎn)。事實(shí)上，無(wú)理點(diǎn)是極小

4、值點(diǎn)是顯然的，下證對(duì)任意的為函數(shù)的極大值點(diǎn)。（和連續(xù)性的證明類似）由于滿足的正整數(shù)至多有限個(gè)，因此，對(duì)應(yīng)的有理點(diǎn)也至多有有限個(gè)，不妨設(shè)為，取，則對(duì)任意的，必有故，為極大值點(diǎn)。此例還說(shuō)明：函數(shù)在極值點(diǎn)的兩側(cè)并非單調(diào)的。注、極值與最值最值相對(duì)于給定的區(qū)間來(lái)說(shuō)是整體性質(zhì)且具唯一性（最值點(diǎn)不一定唯一），最值可能在端點(diǎn)達(dá)到，最大值必然大于最小值（除非常數(shù)函數(shù)），這些都與極值性質(zhì)形成區(qū)別。另外，內(nèi)部最值點(diǎn)必是極值點(diǎn)，反之不一定。極值和最值都是函數(shù)的重要特征，也是工程技術(shù)領(lǐng)域中經(jīng)常遇到的問(wèn)題，那么，如何計(jì)算函數(shù)的極值和最值并確定相應(yīng)的點(diǎn)？為此，我們先從幾何上分析，尋找極值點(diǎn)應(yīng)具備的特性。對(duì)光滑函數(shù)來(lái)說(shuō)，在極

5、值點(diǎn)處應(yīng)有水平的切線，即。這是一個(gè)非常明顯的幾何特征，這就是將要引入的Fermat定理，刻劃了極值點(diǎn)存在的必要條件。.定理1.1若函數(shù)f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，且為f(x)的極值點(diǎn)，則 。分析抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)的判斷，且僅給出此點(diǎn)的局部極值性質(zhì)，涉及到函數(shù)局部性質(zhì)且與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的，便是導(dǎo)數(shù)的定義，因此，本定理用導(dǎo)數(shù)的定義證明。證明：不妨設(shè)為f(x)的極值大點(diǎn)，則存在，使得時(shí)，有；又f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，因而，另一方面，由定義，故，必有。其幾何意義是：可導(dǎo)極值點(diǎn)處的切線平行于軸。注、定理1.1給出極值點(diǎn)的必要條件，反之并不成立。如，有，但x=0不是極值點(diǎn)。注、定理的證明中隱藏了這樣一個(gè)結(jié)論：設(shè)f(x)在點(diǎn)具有

6、右側(cè)導(dǎo)數(shù)，1）、若0，則存在，使得當(dāng)時(shí)，成立；2）、若存在，使得當(dāng)時(shí)，成立，則。對(duì)左側(cè)導(dǎo)數(shù)有類似的性質(zhì)。注、還可以用極限性質(zhì)證明定理1.1：證法2、由于f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，由定義，則由極限性質(zhì)，則， （）其中，故 ， （）因此，若，則存在，當(dāng)時(shí)，成立 ，因而，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，這與為f(x)的極值點(diǎn)矛盾，故不成立。 同樣，也不成立，因而，必成立。為便于極值點(diǎn)的計(jì)算，引入駐點(diǎn)的概念。定義1.2設(shè)f(x)可微，使得的點(diǎn)稱為f(x)的駐點(diǎn)。推論1.1設(shè)f(x)可微，則為f(x)的極值點(diǎn)的必要條件是為f(x)的駐點(diǎn)。顯然，函數(shù)在極值點(diǎn)的兩側(cè)，連續(xù)函數(shù)的曲線發(fā)生變化，因此，極值點(diǎn)成為刻劃函數(shù)曲線的一個(gè)主要指標(biāo)，

7、這也是我們關(guān)心極值點(diǎn)的原因之一。而定理1.1和其推論給出了尋找極值點(diǎn)的方法，即在駐點(diǎn)中確定極值點(diǎn)，也即利用導(dǎo)函數(shù)求出駐點(diǎn)，然后判斷駐點(diǎn)處的極值性質(zhì)。那么，駐點(diǎn)存在嗎？這便是我們下一個(gè)要解決的問(wèn)題。二、Rolle定理 定理1.2、若f(x)滿足如下條件：（1）在上連續(xù)；（2）在)內(nèi)可導(dǎo)；（3），則存在，使得。分析首先，定理1.2回答了駐點(diǎn)的存在性問(wèn)題；其次，證明思路的分析。要證明的結(jié)論是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)或函數(shù)的駐點(diǎn)，這是一個(gè)定量的結(jié)論；而掌握的已知的相關(guān)的是定理1.1，為此只需說(shuō)明函數(shù)有內(nèi)部極值點(diǎn)。從所給的條件看，只有連續(xù)性條件與極值有關(guān)，即閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最值，因此，只需說(shuō)明有內(nèi)部最值即可。

8、證明：由條件在上連續(xù)，則在a,b上必取得最大值M和最小值m。1、若M=m,則為常數(shù)函數(shù)，故，結(jié)論自然成立。2、若Mm，由于，,則M和m必有一個(gè)在(a,b)內(nèi)達(dá)到。不妨設(shè)存在，使得，因而為極小值點(diǎn)，故。在定理1.2的條件下，駐點(diǎn)必存在，從證明過(guò)程中還可知，此駐點(diǎn)實(shí)際上就是極值點(diǎn)，因而，定理1.2也可視為極值存在的充分條件。定理1.2的幾何意義的進(jìn)一步分析：定理1.2表明，在點(diǎn)存在水平切線，由于此時(shí)兩個(gè)端點(diǎn)的連線也是水平的，因此，定理1.2的幾何意義也可表達(dá)為：曲線上存在點(diǎn)，使得此點(diǎn)的切線平行于端點(diǎn)的連線。那么，此結(jié)論能否推廣到端點(diǎn)連線非水平的情形？回答是肯定的。這便是更進(jìn)一步的中值定理。三、La

9、grange 中值定理定理1.3若函數(shù)滿足條件：（1）在上連續(xù)；（2）在)內(nèi)可導(dǎo)。則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得。特別地，當(dāng)時(shí)，既是Rolle定理。分析由于定理1.3是定理1.2 的推廣，像這類命題的證明，常用的方法是將其轉(zhuǎn)化為定理1.2 的情形，即轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，顯然，這個(gè)導(dǎo)函數(shù)應(yīng)該是那么，函數(shù)的表達(dá)式是什么？ 證明：記，則可以驗(yàn)證 滿足Rolle定理的條件，因而，由定理1.2，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，即。注、輔助函數(shù)的構(gòu)造不唯一。如還可以將端點(diǎn)連線的方程取為該函數(shù)：或 。注、定理1.3的結(jié)論也通常寫為形式 。注、由于存在一點(diǎn)，等價(jià)于存在使得，故定理1.3的結(jié)論還可以寫為：使得或，此時(shí)，便

10、于控制參數(shù)且不一定要求ba。若取b=a+h,還有常用的形式：，0b0時(shí)，。分析這是一個(gè)雙參量不等式，考慮用中值定理證明，為此，將結(jié)論轉(zhuǎn)化為中值定理的形式或，然后確定相應(yīng)的函數(shù)形式，根據(jù)函數(shù)形式選用合適的中值定理，轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)數(shù)界的估計(jì)。本例，結(jié)論形式轉(zhuǎn)化為中值定理的形式為：證明如下結(jié)論，顯然，應(yīng)取。證明：在b,a上對(duì)用定理3，則存在，使得故。注、若取b1，則雙參量不等式就變成了單參量不等式，因而，這樣的不等式同樣用中值定理證明。習(xí)題1 1、設(shè)，證明于（0, 1）中至少有一根。2、（i）、設(shè)a+b+c=0, 證明在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根。（ii）、設(shè)實(shí)數(shù)滿足，證明方程在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根。

11、3、設(shè)在(a, b)可導(dǎo)，且，證明存在，使得。4、設(shè)在a, b連續(xù)，證明在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。5、設(shè)在連續(xù)，在可導(dǎo)且存在，證明存在且.6、設(shè)在a, b連續(xù)，在(a, b)可導(dǎo)，證明存在，使得。7、設(shè)在a, b連續(xù)，在(a, b)可導(dǎo)，且，證明對(duì)任意的實(shí)數(shù)，存在，使得。8、設(shè)在a, b可導(dǎo)，證明存在，使得。（提示：對(duì)在上用中值定理）9、設(shè)在可導(dǎo)，且，證明。10、證明下列不等式： 1）、； 2）、； 3）、； 4）、，其中。2 微分中值定理的應(yīng)用本節(jié)，我們利用微分中值定理研究函數(shù)的分析和幾何性質(zhì)。一、函數(shù)的分析性質(zhì)下面，利用上述的中值定理，給出一些結(jié)論，也可以視為中值定理的應(yīng)用。定理2.

12、1 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)且，則恒為常數(shù)。分析 要證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，只需證明任意兩點(diǎn)的函數(shù)值相等，因而，題目要求用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在任意兩點(diǎn)處的函數(shù)值的關(guān)系，這正是，中值定理所作用對(duì)象的特點(diǎn)，故，中值定理是首選工具。證明：對(duì)任意的，利用Lagrange中值定理，存在，使得故，由的任意性得，其中C為常數(shù)。進(jìn)一步還有。推論2.1設(shè)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且，則至多相差一個(gè)常數(shù)，即存在常數(shù)c，使得。導(dǎo)數(shù)是比連續(xù)更高一級(jí)的分析性質(zhì)，因而，可導(dǎo)應(yīng)該連續(xù)，下面，我們將導(dǎo)出這個(gè)結(jié)論，我們先引入一個(gè)介于二者之間的一個(gè)概念。定義2.1、設(shè)f(x)在a,b上有定義，若對(duì)任意的，都成立則稱在a,b上滿足Lipschit

13、z條件，其中L稱為L(zhǎng)ipschitz系數(shù)（常數(shù)）。也稱為L(zhǎng)ipschitz（連續(xù)）函數(shù)。由定義，很顯然，Lipschitz連續(xù)函數(shù)一定是一致連續(xù)函數(shù)，因而，也是連續(xù)函數(shù)，反之，不一定成立。下面的結(jié)論反映了Lipschitz連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。推論2.2、若f(x)在a,b上具有有界的導(dǎo)數(shù)，則為a,b上的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。證明：不妨設(shè) ，則由Lagrange定理，對(duì)任意的，存在，使得故，為a,b上的Lipschitz連續(xù)函數(shù)。 從上述結(jié)論可知，Lipschitz連續(xù)是介于一致連續(xù)和可導(dǎo)之間的一個(gè)分析概念，因此，若按光滑性將這幾個(gè)概念排列的話，從低到高的順序?yàn)椋哼B續(xù)一致連續(xù)Lipschit

14、z連續(xù)可導(dǎo)。事實(shí)上，Lipschitz連續(xù)也是一個(gè)在后續(xù)課程中常遇到的一個(gè)概念，那里我們將要證明：Lipschitz連續(xù)函數(shù)是幾乎處處可導(dǎo)函數(shù)。進(jìn)一步研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。定理2.2、設(shè)在(a,b)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至多有第二類間斷點(diǎn)，即若為的間斷點(diǎn)，則和至少有一個(gè)不存在。分析：由于結(jié)論形式是否定式，通常用反證法證明。因此，假設(shè)二者都存在，要證明二者相等且等于此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，因而，矛盾。因此，本定理相當(dāng)于已知和，證明因此，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)左右極限的關(guān)系。我們知道，導(dǎo)數(shù)定義本身就是一個(gè)極限，因此，自然的思路就是將極限轉(zhuǎn)化為左右極限，并將函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)，這正是中值定理的功能。證明：設(shè)為的

15、間斷點(diǎn)，且和都存在，即 和 都存在。 下面，我們將證明二者相等且等于此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，因而在點(diǎn)連續(xù)，與假設(shè)條件矛盾。由條件，f(x)在(a,b)可導(dǎo)，因而在可導(dǎo)，故 （1）存在，因而，利用極限性質(zhì)，則 （2） （3）（注、利用了極限存在的充要條件左右極限存在且相等。將其轉(zhuǎn)化為左右極限的目的是將其與導(dǎo)函數(shù)在的左右極限聯(lián)系起來(lái)，因此，需要將右端轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)形式，可以借助中值定理達(dá)到目的。）當(dāng)且充分接近時(shí)，使得x,，在x,用中值定理，則存在，使得 ，由（2），則 ，因而，由假設(shè)條件的存在性，則；類似，故，因而在點(diǎn)連續(xù)，與條件矛盾。注、定理2.2表明：在可導(dǎo)條件下，(a,b)中的點(diǎn)要么是連續(xù)點(diǎn)，要么是第二類

16、間斷點(diǎn)，不可能有第一類和可去間斷點(diǎn)。注、定理2.2中，可導(dǎo)的條件是必須的。如。X=0是的第一類間斷點(diǎn)。這并不與定理2.2矛盾，因?yàn)閒(x)在x=0點(diǎn)不可微，不滿足定理2. 2的條件。 例1、設(shè)，考察導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷，考察間斷點(diǎn)的類型。解、顯然，時(shí)，f(x)可導(dǎo)且此時(shí)。又，故因而，f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)可導(dǎo)。顯然，由初等函數(shù)的連續(xù)性，時(shí)連續(xù)。且注意到和都不存在，故x=0為第二類的間斷點(diǎn)。下面的定理非常有趣。定理2.3設(shè)f(x)在a,b可導(dǎo)且，則存在，使得。分析這是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的最直接的工具是Rolle定理，但，本題Rolle定理的條件不滿足，不能直接用Rolle定理。在

17、不能直接利用定理結(jié)論的情形下，常規(guī)的處理方法是利用定理的證明思想；我們知道，證明Rolle定理的思想是尋找內(nèi)部最值點(diǎn)，因而，可以考慮用這種證明思想證明本定理，故，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)分析端點(diǎn)值的性質(zhì)，從而確定一個(gè)內(nèi)部最值點(diǎn)。 證明：由于f(x)在a,b可導(dǎo)，因而連續(xù)，故f(x)在a,b可達(dá)到最大值M和最小值m。下面，用剩下的條件說(shuō)明最值至少有一個(gè)在內(nèi)部達(dá)到。由于。不妨設(shè)。由導(dǎo)數(shù)定義則由極限保號(hào)性，存在，使得故，。故x=a不是f(x)的最小值點(diǎn)。 同樣，利用可得，存在使得，故x=b不是f(x)的最小值點(diǎn)。因而，最小值不能在端點(diǎn)達(dá)到，必在內(nèi)部達(dá)到，即存在，使得，由Fermat定理： 。

18、由定理2.3可以得到導(dǎo)函數(shù)的介值定理。定理2.4、設(shè)f(x)在a,b可導(dǎo)且，則對(duì)任意的，存在，使得。 注、函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)都有介值定理，但是，比較這兩個(gè)結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)二者的差別：函數(shù)的介值定理必須要求函數(shù)具有連續(xù)性，但導(dǎo)函數(shù)的介值定理并不要求導(dǎo)函數(shù)具有連續(xù)性。即對(duì)導(dǎo)函數(shù)而言，不管導(dǎo)函數(shù)是否連續(xù)，都成立介值定理。二 幾何性質(zhì)在函數(shù)的研究中，由于能給出函數(shù)性質(zhì)的直觀表現(xiàn)，因而，函數(shù)的幾何特性是非常重要的。下面，我們利用中值定理研究函數(shù)的幾何性質(zhì)，為精確刻劃函數(shù)曲線特性提供依據(jù)。1、單調(diào)性單調(diào)性是函數(shù)的基本幾何特性，它用來(lái)確定函數(shù)曲線的走向。下面的定理用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性。定理2.5、設(shè)f(x)在區(qū)

19、間連續(xù)，在（a，b）可導(dǎo)，則f(x)在上單調(diào)遞增（減）的充要條件是，.證明：僅證明單調(diào)遞增的情形。必要性：設(shè)f(x)在上單調(diào)遞增，對(duì)任意的，利用f(x)的單調(diào)性和在的可導(dǎo)性，則由任意性，則。充分性 設(shè)，對(duì)任意的，則由中值定理，存在,使得故 ，因而f(x)在單調(diào)遞增。更進(jìn)一步，還有：定理2.6若在a,b連續(xù)，在(a, b)可導(dǎo)，則當(dāng)時(shí)，在a,b嚴(yán)格單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在a,b嚴(yán)格單調(diào)遞減。用證明定理2.5的方法可以證明定理6。注、定理2.6的逆不成立。如，則嚴(yán)格遞增，但有。注、單調(diào)性是相對(duì)于給定區(qū)間的整體性質(zhì)，只能說(shuō)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，不能說(shuō)在某一點(diǎn)的單調(diào)性。注、即使有，也不一定能斷定在的某領(lǐng)域內(nèi)

20、是遞增的，如，可以計(jì)算，因而，但在x=0的任何領(lǐng)域內(nèi)都不是單調(diào)的。事實(shí)上，取則；而若取則，因而，不存在x=0的任何領(lǐng)域，使在此領(lǐng)域內(nèi)不變號(hào)。但是，若增加導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)，則結(jié)論成立。注、定理2.5和定理2.6的主要用途在于用它研究函數(shù)的單調(diào)性，確定單調(diào)區(qū)間。例2、 討論的單調(diào)性，并畫出其略圖。解、由于，故 1x0，則可計(jì)算 ，因而，是x0時(shí)的上凸函數(shù)，由定義并取即可。 注、至此，我們已經(jīng)掌握證明不等式的3種方法：利用中值定理、利用單調(diào)性、利用凸性來(lái)證明，這些方法都必須熟練掌握。 下面繼續(xù)函數(shù)形態(tài)的研究。有了單調(diào)性、凸性和拐點(diǎn)，基本上可以較為準(zhǔn)確刻劃函數(shù)在有限區(qū)間上的形態(tài)，為在無(wú)限遠(yuǎn)處刻劃函數(shù)的形態(tài)

21、，還必須了解函數(shù)的另一個(gè)幾何特性漸進(jìn)性。4、漸進(jìn)性給定曲線，考察曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)處的性態(tài)。定義2.3若有直線，使得l上的點(diǎn)M(x,y)到的距離滿足 ，則稱直線為曲線l當(dāng)時(shí)的漸近線。 類似可以定義曲線當(dāng)時(shí)的漸近線。注、為了計(jì)算漸近線，我們通常用曲線和直線上在同一垂線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差近似表示，因此，定義中可以用近似代替。由此可以定義水平漸近線和垂直漸近線：定義2.4 若a0，即，則稱直線yb為曲線的水平漸近線。若，則稱直線xc是曲線的垂直漸近線。引入漸近線的目的就是為了研究函數(shù)的無(wú)窮遠(yuǎn)形態(tài)，從而，可以刻劃函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的曲線特征。如有水平漸近線y=0，因而，當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，曲線越來(lái)越靠近x軸。也可在有

22、限點(diǎn)處討論漸進(jìn)性質(zhì)，如，則x=0是其垂直漸近線。下面，討論漸近線的確定方法。由定義，為確定漸近線，只需確定常數(shù)a和b，這需要計(jì)算距離。我們近似用曲線和直線上在同一垂線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示。因而等價(jià)于又等價(jià)于，故必有。例11、求的漸近線。解、先計(jì)算當(dāng)時(shí)的漸近線。代入公式可得：故，時(shí)的漸近線為 。 類似可計(jì)算時(shí)的漸近線為 。5、函數(shù)的作圖有了上述一系列概念，就可以較為準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖形了。主要步驟有： 1）、確定函數(shù)的定義域； 2）、討論函數(shù)基本的幾何性質(zhì)，如對(duì)稱性，奇偶性，周期性； 3）、計(jì)算駐點(diǎn)、拐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)； 4）、確定單調(diào)區(qū)間、凸性區(qū)間； 5）、確定漸近線。 6）、作圖。例12、作函數(shù)的圖

23、形。解、函數(shù)的定義域?yàn)?，由于?因而，有唯一的駐點(diǎn) ，且時(shí) ，時(shí) ，故f(x)在遞減，在遞增。且為極小值點(diǎn)，最小值為。 由于，得拐點(diǎn)，且f(x)在上，因而是下凸，在上，因而是上凸的。 由于，故，x=0是時(shí)函數(shù)的漸近線，y=1是時(shí)函數(shù)的漸近線。 由此，作圖如下：習(xí)題21、證明。2、設(shè)在滿足其中，證明在上恒為常數(shù)。3、證明在一致連續(xù)。4、設(shè)，證明不可能是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。5、設(shè)在可導(dǎo)，若在上單調(diào)，證明在上連續(xù)。6、設(shè)在內(nèi)可微，且，證明 存在。7、設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，存在，使得。8、設(shè)在1,2上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可微，證明存在，使得9、設(shè)在內(nèi)可微且，證明。10、證明不等式1）、

24、2) 、3）、4、。11、設(shè)在x0點(diǎn)達(dá)到極大值1，且（1，1）點(diǎn)為其拐點(diǎn)，求a、b、c，并作出函數(shù)圖象。12、 計(jì)算在其定義域內(nèi)的最值。13、計(jì)算的單調(diào)區(qū)間并計(jì)算其最值。14、研究下列函數(shù)的單調(diào)性、凸性區(qū)間、漸進(jìn)性，并畫出略圖。1）、；2）、；3）、；4）、。5）、。3. Taylor公式 本節(jié)，將從近似計(jì)算的角度進(jìn)一步分析微分中值定理，由此導(dǎo)出非常重要的Taylor公式。一、背景近似計(jì)算是在實(shí)際工作，特別是工程技術(shù)領(lǐng)域經(jīng)常遇到的問(wèn)題，這些問(wèn)題中，通常要求計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)或某一點(diǎn)附近的近似值，只要求：計(jì)算結(jié)果近似，只需滿足某種精度要求，但計(jì)算過(guò)程必須簡(jiǎn)單。對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，滿足上述要求并不難，對(duì)精

25、度要求不高的函數(shù)，也不難，因?yàn)槲⒎值囊刖褪菫榱四撤N程度上的近似計(jì)算，如若函數(shù)f(x)在點(diǎn)可微，則由定義，因而，有近似公式 或故，若要計(jì)算附近的點(diǎn)x處的近似值，只需計(jì)算此點(diǎn)的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。例1開方的計(jì)算。記，易計(jì)算，故有近似公式因此，可以近似計(jì)算x=0點(diǎn)附近的值，如，。由上述過(guò)程可知，利用微分的定義進(jìn)行近似計(jì)算，實(shí)質(zhì)是利用自變量改變量的一階線性量作近似計(jì)算，實(shí)際操作中，過(guò)程很簡(jiǎn)單，問(wèn)題也很突出：由于略去的是的僅僅高于一階的量，因此，精度很低，那么，如何提高精度？分析上述近似原理可以發(fā)現(xiàn)，上述的近似計(jì)算精度低的原因是只計(jì)算了的一階量，略去了高于一階的量，省略的量太大，因此，可

26、以設(shè)想，為提高精度，必須盡可能保留的高階量，注意到，因此，希望保留的的高階量應(yīng)是整數(shù)階的量，即形如的形式，因此，可以根據(jù)精度要求，確定要保留的最高的階數(shù)n，即希望通過(guò)下述形式的多項(xiàng)式來(lái)近似計(jì)算，即相當(dāng)于用多項(xiàng)式近似代替f(x)或相當(dāng)于將f(x)在點(diǎn)展開成多項(xiàng)式。那么，對(duì)給定的函數(shù)f(x)，能否展開成上述多項(xiàng)式形式？有什么條件和要求？如何展開？為此，先分析上述多項(xiàng)式形式在近似計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)。一、多項(xiàng)式函數(shù)上述分析表明：在近似計(jì)算或理論分析中，我們希望能用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，這將會(huì)帶來(lái)很大的方便。一般來(lái)說(shuō)，最簡(jiǎn)單的是多項(xiàng)式，因?yàn)槎囗?xiàng)式是關(guān)于變量的各種運(yùn)算在計(jì)算中有很大的優(yōu)勢(shì)。我們

27、簡(jiǎn)單作一下分析。給定多項(xiàng)式函數(shù)上述形式在近似計(jì)算中的優(yōu)勢(shì)是非常明顯的，因?yàn)橄禂?shù)是已知的，主要的計(jì)算量是非常簡(jiǎn)單的的量的計(jì)算。而關(guān)于精度，可以根據(jù)精度要求，適當(dāng)保留前面的項(xiàng)，舍去后面的項(xiàng)。如設(shè)，要使誤差不超過(guò)，只需計(jì)算前五項(xiàng)，因?yàn)榇藭r(shí)的誤差為。因此，當(dāng)時(shí)，可以根據(jù)精度要求，很方便地進(jìn)行近似計(jì)算。再分析處的性質(zhì)。對(duì)給定的上述多項(xiàng)式函數(shù)，容易計(jì)算，因此，若f(x)是任意階可導(dǎo)函數(shù)且在處有上述展開式，則展開式必是顯然，n=1時(shí)，正是一階微分展開式。因此，剩下的問(wèn)題是如何進(jìn)行上述展開？二、Taylor公式下面，我們利用中值定理依次得到函數(shù)的多項(xiàng)式展開。設(shè)在可導(dǎo)，用中值定理，則，存在，使得若還有在點(diǎn)連續(xù)，

28、則當(dāng)x充分接近，其中 代入得這就是微分的定義。略去無(wú)窮小量，得到一階近似公式：其中稱為f(x)的一階近似多項(xiàng)式，此時(shí)近似的誤差為這是一階誤差，精度低。為提高精度繼續(xù)研究，希望從中分離出更高階的無(wú)窮小量?？紤]假設(shè)所涉及到的函數(shù)滿足所需的光滑性，注意到，由Cauchy中值定理，在x與之間，存在，使得再次利用中值定理和極限性質(zhì)，存在和無(wú)窮小量，使得其中。將的表達(dá)式代入，得其中稱為f(x)的二次近似多項(xiàng)式。誤差為類似的過(guò)程繼續(xù)下去，可得三階近似其中，此時(shí)誤差為由此，可以猜想，只要f(x)有更高的光滑性，可以得到更高階的近似公式，事實(shí)上，可以歸納證明下面展開定理。定理3.1 若在點(diǎn)的某鄰域有直到階連續(xù)導(dǎo)

29、數(shù)，則對(duì)任意，其中稱為展開式的Peano型余項(xiàng)，上述公式稱為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor公式或Taylor展開式。注、上述分析過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的Taylor展開式只在點(diǎn)的附近成立，并且Peano余項(xiàng)的結(jié)構(gòu)不很清楚，在實(shí)踐中不易運(yùn)用，我們可以得到余項(xiàng)結(jié)構(gòu)更為清楚的Taylor展開式，這就是下面的定理。定理3.2 若在上有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任意，成立，其中（在與之間）稱為L(zhǎng)agrange型余項(xiàng)。分析 對(duì)Lagrange型余項(xiàng)進(jìn)行證明思路與對(duì)Peano余項(xiàng)的Taylor公式的證明思想類似，但是，需要作必要的修正。事實(shí)上，若記，只需證明，聯(lián)系上述的分析思路，等價(jià)于證明這與前面分析過(guò)

30、程中處理的對(duì)象類似，但是，直接用同樣方法處理會(huì)出現(xiàn)困難，原因是不易處理，事實(shí)上，為此，我們利用構(gòu)造輔助函數(shù)的方法克服這一困難。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)則，且直接計(jì)算得 。再令，則，由Cauchy中值定理，在與之間存在，使得即故。注、記，稱其為f(x)的n次Taylor多項(xiàng)式或n階近似公式。注、由于Lagrange余項(xiàng)的結(jié)構(gòu)更加清晰，更容易運(yùn)用，今后幾乎所有相關(guān)的題目都利用這個(gè)定理解決。注、定理中，若取，相應(yīng)的Taylor公式稱為Maclaurin公式。注、常見的帶Lagrange型余項(xiàng)的Maclaurin公式：，三、應(yīng)用主要介紹兩個(gè)方面的應(yīng)用，其一，用已知的常用的Taylor 公式導(dǎo)出一些函數(shù)的展開

31、式；其二，用于極限的計(jì)算。例2 計(jì)算的n次Maclaurin公式，其中a0。分析：這類題目有兩種處理方法，其一為直接計(jì)算各階導(dǎo)數(shù)，然后代入公式；其二為利用已知的函數(shù)展開式，即將函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知展開式的函數(shù)形式，然后代入。第二種方法相對(duì)簡(jiǎn)單。解、由于，代入已知的的展開式，得。例3 求 在處的4階Taylor公式。解、令，則時(shí)，故而，代入得。注、例3屬于復(fù)合函數(shù)的展開，這類題目典型的解題方法是，將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)已知展開式的函數(shù)的復(fù)合，然后代入已知的展開式，此時(shí)，要把握的技巧是:在利用已知函數(shù)的展開式時(shí)，將其展開至合適的階數(shù)，以避免增加無(wú)謂的計(jì)算量；同時(shí)，要注意選用合適的復(fù)合形式，如本例不能用如下的展開

32、：其中。然后在將展開式代入。 原因是，上述利用的展開式是在u=0處的展開式，而時(shí)，不趨于0。還可以利用導(dǎo)數(shù)關(guān)系得到展開式，即下述定理。定理3.2、若在點(diǎn)的某鄰域有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則f(x)的n+1次Taylor展開式的導(dǎo)數(shù)正是導(dǎo)函數(shù)的n次Taylor展開式，即，若，則其中，、都是對(duì)應(yīng)的余項(xiàng)。這個(gè)定理的證明是顯然的，略去。我們看一個(gè)應(yīng)用。例4 計(jì)算在x=0點(diǎn)的Taylor展開式。解、我們已知而，因此，若設(shè)由定理3.2，則比較得故，又，故或者. 利用Taylor展開式計(jì)算極限。例5 計(jì)算 。解、將、展開到4階，得，代入立即可得 。注、思考為何將、展開到4階？ 例6 計(jì)算 。分析 這個(gè)極限的計(jì)算不能

33、直接用等價(jià)代換的方法，用Taylor展開式可以計(jì)算，先盡可能化簡(jiǎn)，再用展開式。解、由于。 利用這種方法時(shí)，有時(shí)需要將函數(shù)變形。例8 計(jì)算分析 先化簡(jiǎn)，分離確定的項(xiàng)，再用Taylor展開式。解、利用有理化方法，則原式例8計(jì)算。分析：由于在處沒有函數(shù)的展開式，因此，須先將極限轉(zhuǎn)化為有限點(diǎn)處的極限。解、令，則將展開：代入得 。例9確定a、b，使得。解、令，則 原式要使結(jié)論成立，則。注、在用Taylor展開式處理無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限時(shí)，先將極限轉(zhuǎn)化為有限點(diǎn)處的極限，然后在利用此點(diǎn)的展開式。習(xí)題3 1、 求下列函數(shù)的Maclaurin展開式。 1）、； 2）、 3）、； 4）、。2、將下列函數(shù)在x0點(diǎn)展開到。

34、 1）、； 2）、； 3）、； 4）、。3、利用Taylor展開式計(jì)算下列極限。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； 7）、8）、 9)、； 10）、；11）、。 4、設(shè)在上滿足Lagrange中值定理，則成立結(jié)論：存在，使得其中。試分別對(duì)和及計(jì)算，結(jié)果是否相同？為什么？5、設(shè)a、b、c使得。6、設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)有界。7、設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)三階可導(dǎo)，且，證明：、在內(nèi)有界。8、設(shè)在連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，證明：存在，使得。9、利用Taylor展開式證明：。4 法則 本節(jié)，我們討論待定型極限的計(jì)算，給出一個(gè)非常重要的計(jì)算法則法則。一 、待定型極限待定型極限

35、是計(jì)算極限時(shí)經(jīng)常遇到的一類極限。我們已經(jīng)知道：函數(shù)的極限運(yùn)算滿足如下運(yùn)算法則。如設(shè)時(shí)，則，。上述運(yùn)算法則表明，只要二者的極限確定了，則其四則運(yùn)算的極限在一定的條件下也確定了，這類極限是確定型極限。然而，有一類極限，其極限值不能由因子的極限唯一確定。如，對(duì)，則時(shí)，但考察下述極限：因此，盡管因子、的極限確定，但是的極限不確定，不滿足運(yùn)算法則。把這類極限稱為待定型極限。若以因子的極限表示，待定型極限通常有如下類型： 基本型： 型、型； 擴(kuò)展型：型、 型、型、型、型。而型和擴(kuò)展型都可以轉(zhuǎn)化為型。 對(duì)待定型極限，由于不滿足運(yùn)算法則，因而，不能用運(yùn)算法則計(jì)算其極限，處理這類極限的主要方法就是法則。二、法則

36、。只給出基本型的法則。定理4.1、（型）設(shè)、在內(nèi)可導(dǎo)且滿足： 1）、；2）、（為有限或無(wú)限），則分析：從定理形式可以知道，關(guān)鍵要建立函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，相應(yīng)的工具是中值定理。證明：令，則 在連續(xù)，在可導(dǎo)，且。因而，對(duì)任意，利用Cauchy中值定理，存在，使得故。 定理4.2、（型）設(shè)、在內(nèi)可導(dǎo)且滿足： 1）、；2）、（為有限或無(wú)限），則分析：由于不具備定理4.1的條件1），因此，不能直接補(bǔ)充x=a處的函數(shù)值從而構(gòu)造滿足Cauchy中值定理?xiàng)l件的F(x)和G(x)，從定理2的結(jié)構(gòu)看，類似數(shù)列的Stolz定理，故可以采用類似的證明方法。證明：只證明A為有限的情形。任取，則故因而，利用中值定理，存

37、在，使得由于 ，故對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)取，則對(duì)任意的，由于，故，因而又，故存在，使得時(shí)， 因而，當(dāng)時(shí)，故。 注、和Stolze定理一樣，條件是可去的，從證明中也可以看到這一點(diǎn)。注、當(dāng)A為無(wú)限時(shí)，利用故對(duì)任意M0，存在，當(dāng)時(shí)， 故因而。 又，因而，利用A=0時(shí)的定理4.2，則，即。即A為無(wú)限時(shí)，定理4.2也成立。注、定理4.1和定理4.2可以推廣到其它的極限過(guò)程。即將改為時(shí)，上述結(jié)論仍成立。三、應(yīng)用應(yīng)用法則計(jì)算極限時(shí)，要首先注意條件是否滿足。例1、計(jì)算。解、這是型待定型極限，用兩次定理1得例2、計(jì)算。解、這是 型待定型極限，由定理4.2，得。例3、計(jì)算。解、這是 型待定型極限，連續(xù)利用定理2，得注、使用LHospital法則計(jì)算待定型極限時(shí)，應(yīng)注意：（1）、